Mathematical Reasoning Question 4
Question 4 - 25 January - Shift 2
Let $\Delta, \nabla \in{\wedge, \vee}$ be such that $(p \to q) \Delta(p \nabla q)$ is a tautology. Then
(1) $\Delta=\wedge, \nabla=\vee$
(2) $\Delta=\vee, \nabla=\wedge$
(3) $\Delta=\vee, \nabla=\vee$
(4) $\Delta=\wedge, \nabla=\wedge$
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Answer: (3)
Solution:
Given $(p \to q) \Delta(p \nabla q)$
Option 1: $\Delta=\wedge, \nabla=\vee$
| $p$ | $q$ | $(p \to q)$ | $(p \vee q)$ | $(p \to q) \wedge(p \vee q)$ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ |
Option 2: $ \Delta=\vee, \nabla=\wedge$
| $p$ | $q$ | $(p \to q)$ | $(p \wedge q)$ | $(p \to q) \vee(p \wedge q)$ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ |
Option 3: $ \Delta=\vee, \nabla=\vee$
| $p$ | $q$ | $(p \to q)$ | $(p \vee q)$ | $(p \to q) \vee(p \wedge q)$ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ |
Hence, it is tautology.
Option 4: $\Delta=\wedge, \nabla=\wedge$
| $p$ | $q$ | $(p \to q)$ | $(p \wedge q)$ | $(p \to q) \wedge(p \wedge q)$ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ |
