Mathematical Reasoning Question 4

Question 4 - 25 January - Shift 2

Let $\Delta, \nabla \in{\wedge, \vee}$ be such that $(p \to q) \Delta(p \nabla q)$ is a tautology. Then

(1) $\Delta=\wedge, \nabla=\vee$

(2) $\Delta=\vee, \nabla=\wedge$

(3) $\Delta=\vee, \nabla=\vee$

(4) $\Delta=\wedge, \nabla=\wedge$

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Answer: (3)

Solution:

Given $(p \to q) \Delta(p \nabla q)$

Option 1: $\Delta=\wedge, \nabla=\vee$

$p$ $q$ $(p \to q)$ $(p \vee q)$ $(p \to q) \wedge(p \vee q)$
$T$ $T$ $T$ $T$ $T$
$T$ $F$ $F$ $T$ $F$
$F$ $T$ $T$ $T$ $T$
$F$ $F$ $T$ $F$ $F$

Option 2: $ \Delta=\vee, \nabla=\wedge$

$p$ $q$ $(p \to q)$ $(p \wedge q)$ $(p \to q) \vee(p \wedge q)$
$T$ $T$ $T$ $T$ $T$
$T$ $F$ $F$ $F$ $F$
$F$ $T$ $T$ $F$ $T$
$F$ $F$ $T$ $F$ $T$

Option 3: $ \Delta=\vee, \nabla=\vee$

$p$ $q$ $(p \to q)$ $(p \vee q)$ $(p \to q) \vee(p \wedge q)$
$T$ $T$ $T$ $T$ $T$
$T$ $F$ $F$ $T$ $T$
$F$ $T$ $T$ $T$ $T$
$F$ $F$ $T$ $F$ $T$

Hence, it is tautology.

Option 4: $\Delta=\wedge, \nabla=\wedge$

$p$ $q$ $(p \to q)$ $(p \wedge q)$ $(p \to q) \wedge(p \wedge q)$
$T$ $T$ $T$ $T$ $T$
$T$ $F$ $F$ $F$ $F$
$F$ $T$ $T$ $F$ $F$
$F$ $F$ $T$ $F$ $F$