एलसी ओस्सिलेशन्स

1. मूल अवधारणाएं:

• परिचय:

  • एलसी सर्किट में एक इंडक्टर और एक कैपैसिटर सीरीज या पैरालल में जुड़ते हैं।
  • कैपैसिटर चार्ज होने पर और सर्किट बंद होने पर, संग्रहित विद्युतीय ऊर्जा इंडक्टर और कैपैसिटर के बीच तालमेल से आपूर्ति होती है, जिससे ओस्सिलेशन होते हैं।

• इंडक्टेंस और कैपेसीटेंस:

  • इंडक्टेंस (L): करंट की परिवर्तन में विरोध करने की एक कंडक्टर की गुणधर्म, हेनरी में मापा जाता है।
  • कैपेसिटेंस (C): एक कंडक्टर की विद्युत चार्ज संग्रह करने की क्षमता, फैरेड में मापी जाती है।

• ऊर्जा संग्रहण:

  • इंडक्टर में संग्रहित ऊर्जा: (E_L = \frac{1}{2} LI^2)
  • कैपेसिटर में संग्रहित ऊर्जा: (E_C = \frac{1}{2} CV^2)

2. एलसी ओस्सिलेशन्स का डिफरेंशियल समीकरण:

• निर्माण:

  किर्चहोफ़ के वोल्टेज कानून और इंडक्टर और कैपेसिटर में करंट और वोल्टेज के बीच संबंधों का उपयोग करके, हम डिफरेंशियल समीकरण प्राप्त करते हैं:

  $$L\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{q}{C}=0$$

• समाधान:

  इस समीकरण के समाधान साइन्यूसोइडल फ़ंक्शन होते हैं:

  $$q(t) = Q_{max} \cos(\omega t + \phi)$$

  यहां (Q_{max}) अधिकतम चार्ज है, $\omega$ कोणीय आवृत्ति है, और $\phi$ फेज खंड है।

• कोणीय आवृत्ति और समयावधि:

  कोणीय आवृत्ति: (\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}) समयावधि: (T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{LC} )

3. एलसी ओस्सिलेशन्स में ऊर्जा संरक्षण:

• सिद्धांत:

  तालमेल के दौरान सर्किट में कुल ऊर्जा (विद्युत और चुंबकीय ऊर्जा का योग) स्थिर रहती है।

• सिद्धि:

  $$E_{total} = E_L + E_C = \frac{1}{2}LI^2 + \frac{1}{2}CV^2$$

दौरे के साथ समय के साथ अवकलन लेकर और डिफ़रेंशियल समीकरण का उपयोग करके, हमें मिलता है:

$$\frac{dE_{total}}{dt} = LI\frac{dI}{dt} + CV\frac{dV}{dt} = 0$$

इसलिए, कुल ऊर्जा स्थिर रहती है।

4. फेज अंतर और अंतराल:

• फेज अंतर:

  एलसी सर्किट में करंट (I) और वोल्टेज (V) 90 डिग्री फेज में भिन्न होते हैं। जब करंट अधिकतम होता है, तब वोल्टेज शून्य होता है, और उल्टा।

• अंतरगत:

अधिकतम करंट धारणा: (I_{max} = \frac{Q_{max}}{\sqrt{L}}) अधिकतम वोल्टेज धारणा: (V_{max} = Q_{max}\sqrt{\frac{1}{C}})

5. गुणवत्ता कारक:

• परिभाषा:

  गुणवत्ता कारक (Q) प्रति ओस्सिलेशन में ऊर्जा का हानि को प्रतिष्ठान करता है। $$Q = \frac{\omega_0L}{R}$$ यहां $\omega_0$ संरेश आवृत्ति है और R सर्किट में प्रतिरोध है।

• महत्व:

  उच्च Q कम ऊर्जा का हानि और अधिक सुस्थित ओस्सिलेशनों को दर्शाता है।

6. ढ़लते एलसी ओस्सिलेशन्स:

• कारण:

  सर्किट में प्रतिरोध के कारण ऊर्जा का हानि ढ़लाने का कारण है।

• डिफ़रेंशियल समीकरण: $$L\frac{d^2q}{dt^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0$$

• समाधान: ( q(t) = Q_0 e^{-\alpha t} \cos(\omega ’ t + \phi) )

  यहां (Q_0) प्रारंभिक चार्ज है, $\alpha$ प्रकटन सांख्यिकी है, $\omega ‘$ ढ़लती कोणीय आवृत्ति है, और $\phi$ फेज खंड है।

• सघनता नियम और लॉगरिदम घटाना:

  सघनता नियम: (\alpha = \frac{R}{2L}) लॉगरिदम घटाना: (\delta = \frac{2\pi \alpha}{T})

7. LC चालकों में आवर्ति:

• शर्त:

  आवर्ति तब होती है जब लागू वोल्टेज के कोणीय आवृत्ति एलसी परिपथ की प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति के समान होती है: (\omega = \omega_0).

• तीव्रता:

  आवर्ति की तीव्रता गुणांक (Q) द्वारा वर्णित की जाती है। अधिक Q एक तेज़ आवर्ति की संकेतक है।

• बैंडविड्थ और चुनवता:

  बैंडविड्थ (BW): आवृत्ति की चाहते में पाए जाने वाले आवृत्ति सीमा का फ्रीक्वेंसी सीमा जहां अधिकतम आवृत्ति के उच्चारण का अंश घटता है इसके चौथाई भाग का। चुनवता: सर्किट का यह क्षमता जो संकेतों की अलग-अलग आवृत्तियों के बीच भेदभाव कर सकती है। अधिक Q उच्च चुनवता की ओर इशारा करता है।

8. जुड़ें हुए LC परिपथ:

• परिचय:

  जब एक से अधिक LC परिपथ मिलकर संविदा-आपेक्षितता के माध्यम से कार्यरत होते हैं तो वे जुड़े हुए LC परिपथ के रूप में जाने जाते हैं।

• सम्पर्क गुणांक:

  इंद्रचक्रों के बीच चुंबकीय संपर्क के माप की दर्जा को निर्धारित करता है। (0 \le k \le 1).

• ऊर्जा संक्रमण:

  ऊर्जा जुड़े परिपथों के बीच ओसिलेट होती है, जिसमें आवृत्ति और आपातमान चुंबकीय संपर्क के आधार पर निर्भरता होती है।

• सामान्य ओसिलेशन मोड:

  दो अलग संबंधित परिपथों के संचालन के दो अलग-अलग आवृत्तियाँ।

9. एलसी ओसिलेशन का अनुप्रयोग:

• एलसी ओसिलेटर:

  विभिन्न इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों में उपयोग के लिए साइनसॉइडल ओसिलेशन उत्पन्न करते हैं।

• ट्यूनिंग सर्किट:

  इलेक्ट्रॉनिक संदर्भ में उपयोग किया जाता है जैसे रेडियो और टेलीविजन में इलेक्ट्रोमैग्नेटिक स्पेक्ट्रम से एक विशेष आवृत्ति को चुनने के लिए।

• फ़िल्टर:

  इलेक्ट्रॉनिक सर्किटों में इस्तेमाल होते हैं जो निश्चित आवृत्ति बैंड को पास या नकारने के लिए होते हैं।

• ऊर्जा भंडारण उपकरण:

  कैपेसिटर्स और इंडक्टर्स LC परिपथों में विद्युतीय ऊर्जा को संग्रहीत कर सकते हैं।