परिभाषाएँ के विस्तृत नोट (JEE की तैयारी के लिए)

1. मूल अवधारणाएँ:

• जटिल संख्याएँ रास्तीय संख्याओं के संगठित जोड़ हैं, जो (a + bi) के रूप में प्रतिष्ठित होती हैं, जहां (a) और (b) रास्तीय संख्याएँ हैं और (i) विच्छिन्न संख्या है जिसे (i^2 = -1) के द्वारा परिभाषित किया जाता है।

संदर्भ:

• NCERT गणित कक्षा 11, अध्याय 5, जटिल संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण

2. चित्रित प्रतिष्ठान:

• जटिल संख्याओं को चित्रित प्लेन पर चित्रित किया जा सकता है, जो एक द्विआयामी निर्देशांक तंत्र है जहां समकोणीय भाग कोष्ठक भाग को प्रदर्शित करता है और ऊँचाई को विभाजित करता है।

संदर्भ:

• NCERT गणित कक्षा 11, अध्याय 5, जटिल संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण

3. जटिल सहप्रति:

• जटिल संख्या (a + bi) की जटिल सहप्रति है (a - bi)।
• जटिल सहप्रतियों में रास्तीय भाग समान होता है लेकिन इमाजिनरी भाग के चिह्न में अंतर होता है।

संदर्भ:

• NCERT गणित कक्षा 11, अध्याय 5, जटिल संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण

4. आपेक्षिकता और अर्थ:

• जटिल संख्या (a + bi) का आपेक्षिकता (मात्रा) को इस प्रकार दिया जाता है (\sqrt{a^2 + b^2})।
• जटिल संख्या (a + bi) का अर्थ (कोण) वे अप्रमेय संकेत रेखा और आरंभिक रास्तीय धनाक्ष और बिन्दु ((a,b)) को जोड़ने वाली रेखा द्वारा बनाई गई रेखा द्वारा फिराया गया है। इसे (\theta) के रूप में दिखाया जाता है।

संदर्भ:

• NCERT गणित कक्षा 11, अध्याय 5, जटिल संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण

5. दे मौइवर का सिद्धांत:

• दे मौइवर का सिद्धांत कहता है कि किसी भी जटिल संख्या (z = r(\cos\theta + i\sin\theta)) और किसी भी सकारात्मक पूर्णांक (n) के लिए, हमे (z^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)) मिलता है।
• इस सिद्धांत का उपयोग जटिल संख्याओं के घात और वर्गमूल को सरल बनाने के लिए किया जाता है।

संदर्भ:

• NCERT गणित कक्षा 12, अध्याय 5, जटिल संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण

6. गणितीय और लघुलेखीय रूप:

• एक जटिल संख्या (z = a + bi) को गणितीय रूप में व्यक्त किया जा सकता है जैसे (z = r(\cos\theta + i\sin\theta)), जहां (r = \sqrt{a^2 + b^2}) है और (\theta) (z) का आर्गुमेंट है।
• एक जटिल संख्या (z = a + bi) की प्रारंभिक धनाक्ष और (\theta) के रूप में आर्गुमेंट के साथ प्राकृतिक लघुलेखीय भागफल (z = r(\cos\theta + i\sin\theta)) प्राप्त किया जाता है।

संदर्भ:

• NCERT गणित कक्षा 12, अध्याय 5, जटिल संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण

7. अनुप्रयोग:

• जटिल संख्याओं का व्यापक उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में होता है जैसे इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग, यांत्रिक इंजीनियरिंग, सिग्नल प्रसंस्करण और क्वेंटम यांत्रिकी में।

• इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में, जटिल संख्याएँ एसी प्रसारण (AC) परिप्रेक्ष्य, इम्पेडेंस और शक्ति कारकों को प्रतिष्ठित करने और विश्लेषण करने के लिए प्रयोग की जाती हैं।

• मैकेनिकल इंजीनियरिंग में, जटिल संख्याएँ फलन का विश्लेषण और मैकेनिकल प्रणालियों के व्यवहार का विश्लेषण करने के लिए प्रयोग की जाती हैं।

महत्वपूर्ण नोट:

• जटिल संख्याओं में उत्कृष्टता प्राप्त करने के लिए, चित्रित प्रतिष्ठान, जटिल सहप्रति, आपेक्षिकता और अर्थ, दे मौइवर का सिद्धांत और गणितीय और लघुलेखीय रूप को समझने में विभिन्न प्रकार के समस्याओं का हल करने का अभ्यास करें।

• संख्याओं के यथार्थापन के ज्यामितीय व्याख्याओं को समझें और उनके संचालन को समझें।

• पिछले वर्षों के जेईई परीक्षाओं और अभ्यास परीक्षाओं में चुनौतीपूर्ण प्रश्नों और समस्याओं का प्रयास करके अपनी समस्या-समाधान क्षमता को विकसित करें।

• लंबे समय तक संख्याओं के यथार्थापन को समीक्षा और मजबूत करें ताकि वे स्थायित्व बना रहें।