Spring-Mass सिस्टम क्या होता है?

स्प्रिंग-मास सिस्टम एक प्रकार का सिस्टम है जिसका उपयोग सरल सदाग्र गति में होने वाले वस्तु की अवधि की गणना करने के लिए किया जा सकता है। इसके अलावा, इसे कम्प्यूटर ग्राफिक्स और पैर की त्वचा के उभरने की आवर्तन की प्रतिरूपण सिमुलेशन जैसे विभिन्न अनुप्रयोगों के लिए भी उपयोग किया जा सकता है।

मास और स्प्रिंग की अवधि के बीच संबंध क्या होता है?

एक बंद पर्यावरण में मास m और स्प्रिंग स्थानिकता k वाली एक स्प्रिंग का विचार करें, जो सरल सदाग्र गति (एसएचएम) को दिखाता है।

$$T = \frac{2\pi \sqrt{m}}{k}$$

उपरोक्त समीकरण से, यह स्पष्ट है कि ओसिलेशन की अवधि गुरुत्वाकर्षण गति और अंतरिक्षशक्ति से अव्यवस्थित है। इसके अलावा, एक स्थिर बल आवर्तन की अवधि पर प्रभाव नहीं डाल सकता। इसके अतिरिक्त, समय अवधि मास के सीधे अनुपात में होता है जो स्प्रिंग से जुड़े वस्तु का है। इसलिए, जब इससे भारी वस्तु जुड़ी होती है, तो यह धीमी गति से झूलेगा।

स्प्रिंग-मास सिस्टम की व्यवस्थाएं

• स्प्रिंग-मास सिस्टम दो तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है: 1. 2.

स्प्रिंगों का पैरलेल कॉम्बिनेशन

Young’s Modulus of Elasticity, $$Y = \frac{Stress}{Strain} = \frac{\frac{F}{A}}{\frac{\Delta L}{L}}$$

यहाँ,

F = स्प्रिंग को विस्तार या संकुचित करने के लिए दबाने की आवश्यकता बल

A = जिसके ऊपर बल लागू हो रहा है क्षेत्र

L = सामान्य लंबाई बाद का सामग्री

ΔL = लंबाई में परिवर्तन

(\frac{Y\Delta L}{L}=\frac{F}{A})

(\begin{array}{l}F=\frac{Y}{L}\left( \Delta L \right)\end{array})

(\begin{array}{l}K=\frac{Y}{A} \div L\end{array})

(\begin{array}{l}K \propto \frac{1}{L}\end{array})

इसलिए, समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है:

‘(\begin{array}{l}F = K\cdot x\end{array})’

नयी खंडों की तन्त्रिका स्थिर होगी 2K।

(\begin{array}{l}K\propto \frac{1}{L}\end{array} )

इसलिए, (K = \frac{2K}{L})

स्प्रिंग का संयतन: वीडियो

स्प्रिंग कंस्टेंट की समझ

एक स्प्रिंग मास प्रणाली की काल अवधि कैसे ढूंढें?

![स्प्रिंग मास प्रणाली]()

चरण:

1. SHM का माध्यमिक स्थान ढूंढें (जहां निर्माण बल 0 के बराबर होता है) एक आड़ा स्प्रिंग-मास प्रणाली में।

स्प्रिंग की प्राकृतिक लंबाई है संतुलन बिंदु की स्थान।

वस्तु को अपने संतुलन स्थान (या) औसत स्थान से एक छोटी सी दूरी (x) से विस्थापित करें। विस्थापित हो रहे दूरी x के लिए संरक्षण बल दिया जाता है

F = -kx (1)

शरीर का त्वरण निम्नलिखित प्रकार से होता है

(\begin{array}{l}a = \frac{kx}{m}\end{array})

कण का त्वरण निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है

(\begin{array}{l}a=\frac{d^2x}{dt^2}…(2)\end{array} )

(1) और (2) को समतुल्य करना

(\frac{k}{m} = {{\omega }^{2}})

‘\(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\)’

साधारित समय अवधि के मान्यानुमान में ω की मान्यानुमान में वापस करें।

(\begin{array}{l}T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\end{array})

$$T = 2\sqrt{\frac{Mass}{Force\,constant}}$$

स्प्रिंग-मास प्रणालियों पर समस्याएं

उपाय सामग्री: \(\begin{array}{l}v=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{y}^{2}}} \end{array}\)

(\begin{array}{l} \Rightarrow {{v}^{2}}={{\omega }^{2}}\left( {{y}^{2}}-{{A}^{2}} \right)\end{array})

(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{\omega }^{2}}}{{{v}^{2}}}=\left( {{y}^{2}}-{{A}^{2}} \right) \end{array})

(\begin{array}{l} \frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}+{{y}^{2}}={{A}^{2}} \\Rightarrow (1) \end{array})

$$A^2 = \frac{v_1^2}{\omega^2} + y_1^2 = \frac{v_2^2}{\omega^2} + y_2^2$$

(\begin{array}{l}\frac{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{{{\omega }^{2}}}=y_{1}^{2}-y_{2}^{2}\end{array} )

(\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}{y_{2}^{2}-y_{1}^{2}}={{\omega }^{2}}\end{array} )

‘\(\omega = 2\pi f\)’

$$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{v_1^2 - v_2^2}{y_2^2 - y_1^2}\right]^{\frac{1}{2}}$$

Q.3: ध्रुव की अधिकतम विस्थापन क्या है?

इन ऊर्जा का कौन सा अंश किनेटिक है जब विस्थापन आधा अवकाश है?

किनेटिक और संभावित ऊर्जा दोनों ही कितने विस्थापन पर हैं?

दिया गया है:

यह एक हैडिंग है

हल:

यह एक हैडिंग है

$$KE=\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}\left( {{A}^{2}}-{{y}^{2}} \right)$$

‘(\begin{array}{l}PE = \frac{1}{2}m\omega^2y^2\end{array})’

(\begin{array}{l} \Rightarrow E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \end{array})

(a) जब $$y=\frac{A}{4},$$ KE हो जाती है

(\begin{array}{l}KE=\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}\left( {{A}^{2}}-{{\left( \frac{A}{4} \right)}^{2}} \right)\end{array})

\(\frac{15}{32}m\omega^2A^2\)

100% of E = [(15/16) x 100]%

93% की कुल ऊर्जा किनेटिक ऊर्जा है

KE = PE

(\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{y}^{2}} = \frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}\left( {{A}^{2}}-{{y}^{2}} \right))

‘(\begin{align*}y &= \frac{A}{\sqrt{2}}\end{align*})’

Q.4: जब यह सामान्य संयंत्र के एक तार से खींचा जाता है, तो समयांतराल क्या होता है जबकि यह तीनों तारों से कनेक्ट होता है, प्रत्येक का बलकन कोई कोई समान त्रिज्या है?

\(\begin{array}{l}(a)\ 2\pi \sqrt{\frac{K}{M}}\end{array} \)

\(\displaystyle 2\pi \sqrt{\frac{M}{2K}}\)

\(\displaystyle 2\pi \sqrt{\frac{2M}{3K}}\)

\(\displaystyle 2\pi \sqrt{\frac{2M}{K}}\)

दिया गया है:

यह एक हेडर है

हल:

यह एक हेडर है

इसे उपरी तार द्वारा खींचा जाता है, और एक समान कोणों को बनाने वाला नया है।

(\cos 60{}^\circ = \frac{x}{\Delta x})

(\begin{array}{l}\Rightarrow x\cos 60{}^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\Delta ,x\end{array} )

(\begin{array}{l}\frac{x}{2}=\Delta ,x\end{array})

‘\(\begin{array}{l}{{F}_{net}}=Kx+Kx\cos 60{}^\circ\end{array}\)’

(\begin{array}{l}Kx + \frac{Kx}{2} = \frac{3Kx}{2}\end{array} \Rightarrow 2Kx = 3Kx \Rightarrow Kx = 0\end{array})

(\begin{array}{l}{K_{eqn}}x=\frac{2Kx}{3}\end{array})

(\begin{array}{l} \Rightarrow K_{eqn} = \frac{3K}{2} \end{array})

क्या सामग्री का हिन्दी संस्करण है: ‘(\begin{array}{l}T=2\pi \sqrt{\frac{2M}{3K}}\end{array} )’

प्रश्न 5: जब मध्य स्थिति से गुजरते हुए एम्प्लीट्यूड 0.2 m और प्रारंभिक विस्थापन 60° के साथ के एसएचएम के उपयुक्तता करने वाले कण की चलन समीकरण यह है: $E = 4 × 10^{-3} J$ and $x(t) = 0.2 \sin(2\pi ft + 60^{\circ})$

(\begin{array}{l}(a)\ 0.1\sin \left( 2t + \frac{\pi}{4} \right) \end{array})

$0.2\sin\left(\frac{1}{2}t + \frac{\pi}{3}\right)$

\(\sin \left( t+\frac{\pi }{3} \right) = 0.2 \cdot c\)

$$\left(d\right)\ 0.1\cos \left(2t+\frac{\pi}{4}\right)$$

दिया गया:

यह एक हीडिंग है

समाधान:

यह एक हीडिंग है

कण के गति का समीकरण है

(\begin{array}{l}y = A \sin\left(\omega t + \phi\right)\end{array})

A = 0.2 m, (\omega = \frac{ME}{A^2} = \frac{4\times {{10}^{-3}}J}{(0.2 m)^2} ), (\phi = 60{}^\circ ), ME = 4 x 10\textsuperscript{-3} J

ऊर्जा के लिए

$$E = \frac{1}{2}m\omega^2A^2$$

$$4\times {{10}^{-3}}=\frac{1}{2}\left( 0.2 \right){{\omega }^{2}}{{\left( 0.2 \right)}^{2}}$$

$$\omega^2 = \frac{4 \times 10^{-3} \times 2}{(0.2)(0.2)^2} = \frac{8 \times 10^{-3}}{0.008} = 1 , rad , s^{-1}$$

$y = 0.2 \sin(t + \frac{\pi}{3})$

प्रश्न 6: बिना घर्षण के स्लाइड होने वाले एक 0.1 kg ब्लॉक की शामिली, जो 30° ढाल पर चढ़ाई के सिरे से जुड़ा हुआ है, स्थलाक्षेप टांकी 40 Nm-1 की मांग रहती है, जब यह अपनी मध्य स्थिति से थोड़ा खिंचा जाता है?

(a) $\pi$ सेकंड

$\frac{\pi}{10}$ सेकंड

2π/5 सेकंड

(d) $\frac{\pi}{2}$ सेकंड

दिया गया:

यह एक कथन है

समाधान:

यह एक कथन है

(\begin{array}{l}T=2\pi \sqrt{\frac{0.1}{40}}=0.09817477 \end{array})

\(\frac{\pi}{10}s\)