प्रयत्नशीलता का क्षण गति में समयगत जब मानव के महत्वपूर्ण अवधारणा है, क्योंकि यह आमतौर पर ऐसे सवालों में पूछा जाता है जो घुमावण गति में मास के साथ जुड़े भौतिकी समस्याओं को संबोधित करते हैं। इसका मुख्य उपयोग घुमावी की गति की है। आगामी अनुच्छेदों में, हम इस विषय में गहराई से जाएंगे।

प्रयत्नशीलता क्या है?

प्रयत्नशीलता (जिसे कोणीय द्रव्यमान या घुमावी प्रतिरोध भी कहा जाता है) ऐसी मात्रात्मक होती है जो जिसी भी जड़ की कोणीय त्वरण को प्रतिस्थान करती है। यह घुमावी धनात्मक कोणीय सतह की आपातकालीन गति की गणना करके प्राप्त किया जाता है। सरल शब्दों में, यह घुमावणी धनात्मक गति में एक विशिष्ट कोणीय त्वरण के लिए आवश्यक टॉर्क की मात्रा होती है। प्रयत्नशीलता की संकेतिक इकाई kg m² होती है।

प्रयत्नशीलता (MOI) आमतौर पर किसी निर्धारित घुमावणी के अक्ष की प्रति निर्धारित होती है। इसका अधिकांश घुमावण की अक्ष के चारों ओर मास के व्यवस्थापन पर निर्भर करता है, और अक्ष का चयन के अनुसार MOI बदल सकता है।

सूची

• [प्रयत्नशीलता का सूत्र] (# सूत्र)
• [प्रयत्नशीलता पर प्रभाव डालने वाले कारक क्या हैं?] (# प्रभाव-कारक-MOI)
• [एकजुट तत्वों की प्रयत्नशीलता] (#तत्वों की प्रयत्नशीलता)
• [कठोर शरीरों की प्रयत्नशीलता] (#कठोर-शरीरों के लिए)
• [प्रयत्नशीलता की गणना] (# प्रयत्नशीलता-की-गणना)
• [विभिन्न वस्तुओं के लिए प्रयत्नशीलता] (# विभिन्न-वस्तुओं के लिए-प्रयत्नशीलता)
• [समांतर अक्षों का सिद्धांत] (# समांतर अक्षों का सिद्धांत)
• [घुमाव की त्रिज्या] (#घुमाव की त्रिज्या)
• [हल किए गए उदाहरण] (# हल किए गए उदाहरण)

प्रयत्नशीलता सूत्र

सामान्य रूप में, प्रयत्नशीलता को इस रूप में व्यक्त किया जाता है: I = m × r²

यहां,

$$m=\sum m\times v$$

r = घुमावण के अक्ष से दूरी।

संकरणरूप: $$I={\int }_0^M{r}^{2}dm$$

⇒ प्रयत्नशीलता की [मातृछाया फ़ार्मूला] (https://sathee.prutor.ai/hi/ncert-books/neet-ncert-solutions/neet-physics/units-and-dimensions/) $$= दिया gm^1ली2तय!!. होती है।

प्रयत्नशीलता की भूमिका रोचक है क्योंकि यह शिरोमनि में भार की भूमिका के साधारित के साथ युग्मनित है। यह एक शरीर की घुमावण गति में बदलाव के लिए एक आपात रोचक है और केवल एक विशिष्ट अकड़ी ढांचे और निर्दिष्ट घुमावण अक्ष के लिए स्थिर है।

प्रयत्नशीलता $I=मुद्रितm_i{र}_i^2।$ (1)

गति $K={\displaystyle \frac{1}{2}}I{\omega }^2$ (2)

प्रभावित करने वाले कारक

ऐसे प्रभाव को बढ़ाते हैं जो प्रयत्नशीलता को प्रभावित करते हैं:

• वस्तु का घनत्व
• शरीर का आकार और आकार
• घुमाने के अक्ष (अक्ष के संबंध में भार का वितरण)

हम घुमावक शरीर प्रणालियों को इस प्रकार से वर्गीकरण कर सकते हैं:

1. विचलित (तत्वों की प्रणालि)

2. निरंतर (कठोर शरीर)

कणों की कोष्ठक अंदरणी केंद्रगत्तता को कैसे दर्शाया जाता है

$$I=\sum m_i{r}_i^2$$ [समीकरण (1) से]

यदि कण i पारमी की बाहुल्यांकन दूरी, जिसका मास्स m_i है, धुरी से लेकर आँचलीसा निर्दिष्ट होती है।

उदाहरण:

कठोर वस्त्रों की कोष्ठक अंदरणी

एक धारणीय द्रव्यता वितरण की कोष्ठक अंदरणी की गणना से किया जा सकता है। यदि हम एक अनंततम तत्त्व का वजनी तत्त्व dm में विभाजित करें और परिवर्तन के धारणी के झूले से तत्त्व के अक्ष की दूरी को x के रूप में निर्दिष्ट करें, तो कोष्ठक अंदरणी होगी:

I = ∫r²dm (3)

कोष्ठक अंदरणी की गणना

कोष्ठक अंदरणी की गणना के लिए कदम-दर-कदम गाइड नीचे दिया गया है:

धारित छड़ी की कोष्ठक अंदरणी

मान M और लंबाई L की एक धारित छड़ी को ध्यान में लें, और कोष्ठक अंदरणी को नूतनीय बीजक AB पर गणना की जानी चाहिए जिस पर ऑरिजिन 0 पर स्थान है।

‘x’ से प्रवर्तन तत्त्व तक विचार किया गया वजनी तत्त्व ‘dm’ होता है।

छड़ी समान, तो रैखिक कण-घनत्व समान रहता है।

M/L = dm/dx

$$\frac{dM}{dx}=\frac{M}{L}$$

तत्त्व dm की कोष्ठक अंदरणी

dI = dm x 2

$$dI=\frac{M}{L}{x}^2\cdot dx$$

$$I=\frac{-L}{2}{\int }_{-L/2}^{L/2}dI=\frac{M}{L}\times \frac{-L}{2}{\int }_{-L/2}^{L/2}{x}^{2}dx$$

तत्त्व पूरी छड़ी को ढकता है, क्योंकि x -L/2 से +L/2 तक बदलता है, जहां x = -L/2 छड़ी का बायां सिरा है।

$$I=\frac{M}{L}\times [\frac{x^3}{3}+\frac{L}{2}-\frac{L}{2}]$$

$$I=\frac{M{L}^2}{12}$$

इसलिए, धारित छड़ी की कोष्ठक अंदरणी $$(I)=\frac{M{L}^2}{12}$$ है।

गोल छलनी की कोष्ठक अंदरणी

छलनी के तस्वीर की तट पर लकीर, जिसका केंद्र 0 है, की एक धारा को विचार में लिया जाता है। छलनी का त्रिज्या R और उसका भार M के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है। सभी तत्व रोटेशन के अक्ष से R की दूरी पर स्थित होते हैं।

रेखीय कण-घनत्व निरंतर रहता है।

M/(2π) = (dm)/(dθ)

$$dm=\frac{M}{2\pi }\times d\theta$$

$$I=\int R^{2}dm=R^2{\int }_0^{2\pi }\frac{M}{2\pi }d\theta$$

सीमाएं: θ = 0 से 2π (समावेशी)

ट्रांसलेशन नहीं किया जा सका। कृपया माफ़ करें।

लेट अस कन्सीडर थे रेडीआई आफ़ अ स्फीअर अट अन एंगले θ अंड अट अन एंगले θ+ dθ विथ थे अक्सिस OY, अंड तके अन एलिमेंट (थिन रिंग) आफ़ मास द्म विथ रेडीअस R सिन θ आस वे रोटेटे थीज़ रेडीआई अबाउट OY। थे विद्थ ऑफ थिस रिंग इस आर dθ अंड इत्स पेरिफरी इस २πR सिन θ।

थे सुर्फेस मास डेन्सिटी (एम/ए) ओफ़ थे होलो स्फीअर इस कंस्तंट, दुए तो इत्स यूनिफॉरमिटी।

$$एम/ए=\frac{द्म}{द\alpha }$$

$$\frac{एम}{४\pi {र}^{२}}=\frac{द्म}{२\pi रसिन\theta इं.युग.सिन\theta इं.ड\theta }$$

[एम/२] × सिन θ इं. डθ = [एम/४πर^२] × २πर^२. सिन θ इं. डθ

$$आई=\text{इ}ंटएक्{स}^{२}.द्म=\text{इ}ं{ट}_{०}^{\pi }(रसिन\theta {)}^{२}.[एम/२].सिन\theta .ड\theta$$

अस θ इंक्रीसेस फ्रॉम ० तो π, थे एलिमेंटल रिंग्स कंप्लीटली कवर थे स्फीअरिकल सर्फस।

$$आई=(एम{र}^{२})/२\times ०\text{इ}ं{ट}_{०}^{\pi }(सि{न}^{३}\theta .ड\theta )=(एम{र}^{२})/२\times ०\text{इ}ं{ट}_{०}^{\pi }[(सि{न}^{२}\theta )\times सिन\theta ]ड\theta$$

$$\text{इ}ं{ट}_{०}^{\pi }(१-कॉ{स}^{२}\theta ).सिन\theta ड\theta$$

नौ, बी इंटेग्रेटिंग थे अबोवे इक्वेशन उसिंग थे सब्स्टिटुशन मेथड, वे गेट,

उ = -सिन θ डθ

थेन, $दउ=-सिन\theta ड\theta$

Whेन θ = 0, चांगिंग थे लिमित्स रेसुल्त्स इन u = 1

Whेन, $$\theta =\pi$$, $$u=-1$$

आई = (एमर^२)/2 × इंट_२૨ (१ - u^२) du

कण्ठस्थल और एक यूनिफार्म खोखला गोला (आई) का यथार्थ 2एमआरवर्ग बाहर के संघटक के बराबर होता है।

एक यूनिफार्म घन गोला का कक्षीय संज्ञानमान

हम एक त्रिज्या R और भार M का एक गोला मानें। एक त्रिज्या x, भार dm, और मोटाई dx वाला एक पत्रकारी गोला भार होता है। त्रिज्या घनत्व (M/V) सजातीय है क्योंकि सघन गोला समानप्रमाणी है।

M/V = dm/dV

[4/3×πR³] = [4πx².dx]

M/(4/3×πR³)×4πx²dx = [3M/R³]×2dx

कॉंटेंट का हिन्दी संस्करण क्या है: $\mathrm{आई}=\int \mathrm{डी}\mathrm{आई}=\frac{2}{3}\times \int \mathrm{डी}म\cdot {\mathrm{एक्स}}^2$

$2/3\times \int [3\mathrm{एम}/{\mathrm{आर}}^3\mathrm{डी}\mathrm{एक्स}]{\mathrm{एक्स}}^4$

$$\frac{2एम}{आ{र}^3}\times 0{\int }_{आ}{र}^4एक्{स}^4डीएक्स$$

जब कि एक्स 0 से आर तक बढ़ रहा है, तो तत्वात्मक खोल फीर गोल विपरीत सतह को कवर करता है।

$$आई=\frac{2एम}{आ{र}^3}\left[\frac{एक्{स}^5}{5}\right]आ{र}^0$$

(2एम/3) × (5आर/5)

**इसलिए, एक समान माप वाले घनत्वित गोलक का घटाव मौमेंट (आई) = \frac{2मआर^2}{5} होता है।

विभिन्न वस्तुओं के लिए मौमेंट ऑफ इनर्शिया की गणना

जैसा कि हम ऊपर दी गई तालिका में देख सकते हैं, मौमेंट ऑफ इनर्शिया घुमाने के धाराप्रवाह की आधारशिलता पर निर्भर करता है। अब तक, हमने वस्तुओं के मौमेंट ऑफ इनर्शिया की गणना की है जब वे केंद्र के द्वारा शून्य पार करते हैं (आईसीएम)। यदि हम दो विभिन्न धाराओं का चयन करें, तो हम अनुभव करेंगे कि वस्तु घुमाने के बदलते परिवर्तन को अलग तरीके से रोकती है। किसी भी निर्दिष्ट धारा के मौमेंट ऑफ इनर्शिया तक पहुंचने के लिए, निम्नलिखित सिद्धांत उपयोगी होते हैं।

समांतर धाराओं का सिद्धांत

लंबकरण धाराओं का सिद्धांत

समांतर धाराओं का सिद्धांत

किसी वस्तु का मौमेंट ऑफ इनर्शिया जब एक धारा पार करती है तो, जब उसके केंद्र माध्यम से एक धारा द्वारा वह है दिया जाता है, वह उस दिशा में उन्‍हें एक धारा के चेंयरल की माध्यम के मौमेंट ऑफ इनर्शिया है, जिसे वह प्राप्त करेगी,

$\mathrm{आई}=\mathrm{आई}cm+\mathrm{एम}\cdot {ड}^2$

जहाँ डी दो धाराओं के बीच की दूरी है।

ज्ञापन का त्रिज्या

यदि किसी वस्तु के मौमेंट ऑफ इनर्शिया (आई) को एक धारा के चेंयरल में एक दिया जा सकता है तो क, जिसे बताने के लिए, वस्तु के पूरे हिस्से को एकत्रित मानकर खड़े धारा से रुखावटी अयताकारा को लिया गया है, इस तरह उसकी घूर्णनात्‍मक पटली की जांचघांच को बरकरार रखते हुए।

गोलक के त्रिज्या, को क द्वारा खोजा जाता है:

$क=\surd [2/5]\times \mathrm{आर}$

समाधानित उदाहरण

1. उपाधि के तल मापी गई चपटी के समय असम्भव ध्यानित ध्यानित अक्ष के लिए शेष ब्रह्मांड की क्षणगत संवेग को फॉर्मूला का उपयोग करके गणना किया जा सकता है $$I=\frac{1}{2}M{R}^2$$, जहां M चपटी का भार है और R चपटी का त्रिज्या है.

समाधान:

अस्थाई भाग के तलिका की उस पंक्ति के बारे में चिच्छिम की आपस में संवेग का केंद्र तथा यह चपटी ब्रह्मांड के लद्ध चपटी की स्थानांतरित क्षेत्र की क्षणगत संवेग = $I_{cm}+m{d}^2$

$[m\times (R/3{)}^2]/2+m\times [4R^2/9]=m{R}^2/2$

अतः, शेष भाग की उपाधि की क्षणगत: शेष भाग की क्षणगत से किया गया तुलना- उपयोग किया जा सकता है

$9m{R}^2/2-m{R}^2/2=8m{R}^2/2$

इसलिए, शेष भाग की क्षणगत (I_remaining) = 4mR².

2. डोलों के सिस्टम की उभयांकनता क्या है, जिसमें 700 ग्राम और 500 ग्राम भार वाले दो गेंद एबी द्वारा जुड़े हुए हैं?

दिया गया

दिया गया

घुमाव ध्यानित एच पर है

m_X = 700 ग्राम = 0.7 किलोग्राम

m_Y = 500 ग्राम = 0.5 किलोग्राम

r_X = 10 सेमी = 0.1 मीटर

r_Y = 40 सेमी = 0.4 मीटर

समाधान:

I = mX rX² + mY rY²

I = (0.7)× (0.1)² + (0.5)× (0.4)²

I = (0.7) x (0.01) + (0.5) x (0.16)

I = 0.007 + o.08

I = 0.087 किलोग्राम मीटर²

सिस्टम की उभयांकनता 0.087 किलोग्राम मीटर² है

3. दो गेंदों की उभयांकनता क्या है, जैसा कि नीचे दिया गया चित्र में दिखाया जाता है (रॉड का भार अनदेखा करें)?

दिया गया:

m_X = 0.3 किलोग्राम = 300 ग्राम

m_Y = 0.5 किलोग्राम = 500 ग्राम

r_X = 0 मीटर

r_Y = 0.3 मीटर

समाधान:

I = mXr² + mYr²

कन्टेंट का हिंदी संस्करण क्या है:

I = 0.09 + 0.045

I = 0 + 0.045

I = 0.045 किलोग्राम मीटर का वक्रमण

सिस्टम का व्यासगत क्षणबल 0.045 किलोग्राम मीटर है

4. टू 200 ग्राम वाले दो गोलियों का वक्रमणिक धुरी परंपरा के बारे में है?

दिया गया है

गेंद का मास (m1) = m2 = m3 = m4 = 200 ग्राम = 0.2 किलोग्राम

गेंद और वक्रमण की धुरी के बीच की दूरी (r1) = 40 सेमी = 0.4 मीटर

गेंद 2 और वक्रमण की धुरी के बीच की दूरी (r2) = 40 सेमी = 0.4 मीटर

गेंद 3 और वक्रमण की धुरी के बीच की दूरी (r₂) = 40 सेमी = 0.4 मीटर

गेंद 4 और वक्रमण की धुरी के बीच की दूरी (r₂) = 40 सेमी = 0.4 मीटर

हल:

I = m1r²₁ + m2r²₂ + m3r²₃ + m4r²₄

I = 0.2 × (0.4)² + 0.2 × (0.4)² + 0.2 × (0.4)² + 0.2 × (0.4)²

I = 0.128

I = 0.128 किलोग्राम·मीटर²

गेंदों का वक्रमण धुरी परंपरा के बारे में: 0.128 किलोग्राम मीटर²

वक्रमणिक पर आम प्रश्न

क्या एक कठिन शरीर का वक्रमण समंतराल ध्यान की गति के साथ बदलता है?

एक कठिन शरीर का वक्रमण केवल उसके वक्रमणीय ध्यान के प्रति बहुविधता के आधार पर होता है और यह ध्यान की गति के साथ बदलता नहीं है। इसलिए, एक कठिन शरीर का वक्रमण ध्यान की गति के साथ बदलता नहीं होता है।

किस आकृति का वक्रमण एक दिस्क या एक होलो और पतला सिलिंडर उसी व्यास के लिए अधिक होगा?

होलो सिलिंडर का वक्रमण एक दिस्क की तुलना में अधिक होगा क्योंकि इसका भार वक्रमणीय ध्यान से आदिक दूर होता है।

वक्रमणिक एक द्विआयामी मात्र है।

वक्रमणिक एक एकविंशी मात्र है।

एक गोल गोलाकार गोलाकार का व्यास ध्यान की ध्यान के बारे में क्या है?

$I=(\mathrm{⅖})M{R}^2$