अध्याय 9

रे आयनिकी और प्रकाशिक यंत्र

MCQ I

~~ 9.1 एक प्रिज्म केर होने वाले दिश पर एक किरण का दिक्कती दिश के बारे में यदि प्रिज्म का कोण $5^\circ$ हो और प्रिज्म का मांगन नंबर 1.5 हो, तो प्रिक्षीय कोण होता है

(a) $7.5^\circ$.

(b) $5^\circ$.

(c) $15^\circ$.

(d) $2.5^\circ$.

~~ 9.2 एक प्रिज्म पर वायु से एक गिलास स्लैब के लिए छोटी सी सफेदी की तेजी सामने से अस्वीकृत है। स्लैब के मार्फत यात्रा करने के बाद, पहली रंग जो सामने आता है, है

(a) नीला।

(b) हरा।

(c) वायलेट।

(d) लाल।

~~ 9.3 निम्नलिखित विवरण के साथ एक वस्तु से बायीं ओर मिलने वाली एक सङ्कुचक लैंस करीबी गति $5 मी / सेकंड$ की एक समान गति से आती है और फोकस पर रुक जाती है। छाया

(a) एक समान गति से लैंस से दूर हो जाती है $5 मी / सेकंड$।

(b) एक समान तीव्रता के साथ लैंस से दूर हो जाती है।

(c) एक असमान तीव्रता के साथ लैंस से दूर हो जाती है।

(d) एक असमान तीव्रता के साथ लैंस की ओर चली जाती है।

~~ 9.4 विमान में एक यात्री कभी भी इंद्रवासन नहीं देखेगा

(a) एक इंद्रधनुष नहीं देखेगा।

(b) केंद्रबिन्दुमात्र व द्वितीयक इंद्रधनुष देख सकता है।

(c) केंद्रबिन्दुमात्र व द्वितीयक इंद्रधनुष देख सकता है।

(d) कभी भी द्वितीयक इंद्रधनुष नहीं देखेगा।

~~ 9.5 आपको चार प्रकाश स्रोतें दी गई हैं जिनमें से प्रत्येक एक रंग की एकल प्रकाश प्रदान करती है - लाल, नीला, हरा और पीला। माध्य दो माध्यमों के संघटन के इंटरफेस में एक पीले प्रकाश की क्षैतिज रोशनी के लिए प्रकाश भंग पदर्थ के कोण परामर्श होता है $90^\circ$। यदि पीले प्रकाश का स्रोत में बिना प्रकाश के कोण को बदलते हुए अन्य प्रकाश का स्रोत की ओर बदला जाए, तो निम्नलिखित कथन में से कौन सही है?

(a) लाल प्रकाश का बेमुख प्रकाश पूर्ण आंतर प्रतिबिंबण करेगा।

(b) लाल प्रकाश का बेमुख प्रकाश नर्मल की ओर मुड़े हुए रुहाई के दौरान तोड़ता है।

(c) नीले प्रकाश का बेमुख प्रकाश पूर्ण आंतर प्रतिबिंबण करेगा।

(d) हरे प्रकाश का बेमुख प्रकाश नार्मल से दूर मुड़े हुए रुहाई के दौरान जक्कों की ओर मोड़ेगा।

~~ 9.6 एक रज्जु ढाली की मुरवी सतह की कक्षरता की त्रिज्या $20 सेमी$ है। यदि लेंस के पदार्थ का अपवर्तक संकेतांक 1.5 हो, तो यह करेगा

(a) मात्र उन वस्तुओं के लिए एक ढाली लेंस के रूप में काम करेगा जो इसकी मुरवी सतह पर हों।

(b) वस्तुओं के लिए एक अवबल लेंस के रूप में काम करेगा जो इसकी मुरवी सतह पर हों।

(c) विषय की ओर निर्विसंगत रूप से काम करेगा, अपनी ओर पर वस्तु रखने पर निर्विसंगत ढाली लेंस के रूप में काम करेगा।

(d) विषय की ओर लंबवत रूप से काम करेगा, अपनी ओर पर वस्तु रखने पर निर्विसंगत ढाली लेंस के रूप में काम करेगा।

~~ 9.7 ऋणुक्षेत्र द्वारा अपवर्तन में संलिप्त घटनाओं की तुलना किनसे होती है

(a) एक समतल दर्पण द्वारा प्रकाश के प्रकाशित होने की तुलना।

(b) वायु में दुर्गम द्वारार के दौरान प्रकाश के पूर्ण आंतरिक प्रतिबिंबण की तुलना।

(c) जल की अणुओं द्वारा प्रकाश की प्रसारण की तुलना।

(d) हवामंडल के तत्वों द्वारा प्रकाश की वितरण की तुलना।

~~

९.८ कांकवक मिंटर पर पड़ने वाली प्रकाश की दिशा PQ द्वारा दर्शाई जाती है, जबकि प्रतिबिम्बन के बाद वह दिशाएँ जिनमें किरण यात्रा करेगी, वे 1, 2, 3 और 4 रेखाओं के द्वारा दर्शाई जाती हैं (चित्र 9.1)। चारों किरणों में से कौन सी किरण प्रतिबिम्बित किरण की दिशा सही रूप से दर्शाती है?

चित्र 9.1

(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4

~~ ९.९ तेरेबेन्टीन का ऑप्टिकल घनत्व पानी की तुलना में अधिक होता है जबकि इसका भार घनत्व की तुलना में कम होता है। चित्र 9.2 में तेरेबेन्टीन के ऊपर तैरती हुई एक परत दिखाई देती है। चित्र 9.2 में तेरेबेन्टीन में पड़ने वाली चार किरणों में से किस में सही पथ दिखाया गया है?

(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4

चित्र 9.2

~~ ९.१० एक कार सीधे सड़क पर स्थिर रफ़्तार $60 , किमी/घंटा$ की गति से चल रही है। पिछड़े की दिशा दर्शक की दृष्टिश्रान्त के साथ यह खोजती है कि पिछड़ी गाड़ी $100 , मीटर$ की दूरी पर है और $5 , किमी/घंटा$ की गति से आपूर्ति कर रही है। पिछड़े की दृष्टिश्रान्त में गाड़ी का पता लगाने के लिए, ड्राइवर हर $2 , सेकंड$ के बाद अपनी कार के पिछ्ली दृष्टि और साइड मिरर में देखना शुरू करता है, जब तक कि अन्य गाड़ी उसे ओवरटेक नहीं कर लेती है। यदि दोनों गाड़ियाँ अपनी गतियों को बनाए रख रही थीं, तो निम्नलिखित कथन (काथ) में से कौन से सत्य हैं?

(a) पिछड़ी गाड़ी की गति $65 , किमी/घंटा$ है।

(b) साइड मिरर में पिछड़ी गाड़ी ड्राइवर को $5 , किमी/घंटा$ की गति से आपूर्ति होने की दिखाई देंगी।

(c) पिछड़े की दृष्टिश्रान्त में दूसरी आप्रवेशित गाड़ी की गति दिखाई देगी जब तक गाड़ियों के बीच की दूरी कम होती है गति कम होती नजर आएगी।

(d) साइड मिरर में, गाड़ियों के बीच की दूरी कम होने पर आप्रवेशित कार की गति बढ़ती नजर आएगी।

~~ ९.११ कुछ प्रयोगशालाओं में विकसित कुछ ऐसे पदार्थ होते हैं जिनका नकारात्मक पृष्ठांकन संख्या होती है (चित्र 9.3)। एक किरण जो माध्यम 1 (हवा) से माध्यम 2 (ऐसा माध्यम) में प्रवेश करती है, उसका पथ निम्नलिखित से जाने गा

MCQ II

~~ ९.१२ एक प्लेन नाल में स्थित पानी में डूबा हुआ एक आयताकार पदार्थ विकर्ण होता है। नाल के करीब से देखा जाए तो पदार्थ तिरियमाल दिखता है क्योंकि

(a) नाल के करीब के बिंदुओं का दिखाई देने वाला गहरापन पानी की सतह के पास होता है, जो दूसरे बिंदुओं से दूर होते हैं।

(b) आंख के द्वारा चित्र के प्रतिबिम्बित पिन का कोण वायु में पदार्थ के वास्तविक कोण से छोटा होता है।

(c) नाल के करीब के बिंदुओं में से कुछ बिंदु पूर्ण आंतरिक प्रतिबिम्बण के कारण दूसरे से दृश्यमान नहीं हो सकते हैं।

(d) नाल में पानी लेंस की तरह कार्य करता है और पदार्थ का विस्तार करता है।

~~ ९.१३ छोटे संकेत 1 से लगभग बीच में पिन सहित शीशा $ABCD$ का द्विपद पदार्थ का पृष्ठांक 1.६ है। पदार्थ की पिछली सतह से देखा जाए तो पिन निम्न माध्यममें से किस द्वारा दिखाई देगा?

के ढांचे: (अ) के बगीचे के पास दिखाई देने लगते हैं। (ब) के डी के बगीचे के पास दिखाई देने लगते हैं। (सी) $एडी$ के बीच के केंद्र में दिखाई देने लगते हैं।

(ड) सब दिखाई नहीं देते हैं।

चित्र 9.4

~~ 9.14 प्राथमिक और विधियांत्रिक इंद्रधनुषों के बीच, एक गहरा पट्टा होता है जिसे अलेक्झांडर का गहरा पट्टा कहा जाता है। यह इसलिए है क्योंकि

(अ) इस क्षेत्र में छित्रित प्रकाश विनाशकर्तात्मक प्रक्रियाओं में घुसता है।

(ब) इस क्षेत्र में कोई प्रकाश नहीं घुसता है। (सी) इस क्षेत्र में प्रकाश शोषित होता है।

(ड) सूरज के पड़ते प्रकाश के प्रति छित्रित किरणों के द्वारा आंख द्वारा मेजित किरणों का आयतन करें को लगभग $42^{\circ}$ से $50^{\circ}$ तक बनता है।

~~ 9.15 यात्री चश्मा उपयोग किया जाता है, व्यक्ति जिसे देखा जाना है, उन्हें सामान्य नजदीकी बिन्दु से आंख के पास ले जा सकता है। इससे परिणामस्वरूप

(अ) आंख में व्यक्ति द्वारा लगाये गए इंधन को आंख पर दिखाई देने के लिए लगायानुमान कोण बड़ा होता है और इसलिए अधिक जानकारी में देखा जाता है।

(ब) एक काल्पनिक उभरा हुआ चित्र का निर्माण।

(सी) क्षेत्र दृश्य में वृद्धि।

(ड) नजदीकी बिंदु पर अनंत का विस्तार हो जाता है।

~~ 9.16 एक खगोलीय भास्कर द्विमूर्ति द्वारा होती है जिसमें एक फोकस संवेदनशीलता $20 मीटर$ और एक आंखेड़े की फोकस संवेदनशीलता $2 सेमी$ होती है।

(अ) द्विमूर्ति नलिका की लंबाई $20.02 मीटर$ होगी।

(ब) विस्तार $1000$ होगा।

(सी) बनाए गए छवि को उलटा कर दिया जाता है।

(ड) अपरेचन लोप को बढ़ावा देगा और छवि का क्रोमेटिक विपरीतता कम करेगा।

VSA

~~ 9.17 लाल प्रकाश के लिए लेंस की फोकल लंबाई, नीले प्रकाश से क्या अधिक, समान या कम होगी?

~~ 9.18 औसत व्यक्ति की पास के नजदीकी दृष्टि $25 सेंटीमीटर$ होती है। दृष्टि की कोणीय महाकाशी के साथ कोणीय संवेदना $10$ के साथ एक वस्तु को देखने के लिए, माइक्रोस्कोप की शक्ति क्या होनी चाहिए?

~~ 9.19 असममित्र द्वयस्तबध्द ओघली पतली लेंस उसके धुरस्ता में एक बिन्दु वस्तु का छवि देती है। क्या छवि का स्थान बदल जाएगा अगर लेंस उलट दी जाए?

~~ 9.20 तीन अमिश्रित द्रव्यों का घनत्व $d_1>d_2>d_3$ और प्रतिदीप्ति संकेत $\mu_1>\mu_2>\mu_3$ की एक पत्रों में बहाया जाता है। प्रतेक तरल स्तम्भ की ऊचाई $\frac{h}{3}$ है। एक डॉट बॉटम पत्रों में बनाई जाती है। पासीन दृष्टि के लिए, डॉट की प्रतीत गहराई क्या होगी?

~~ 9.21 एक ग्लास प्रिज्म $(\mu=\sqrt{3})$ के लिए न्यूनतम उड़ाना का कोण प्रिज्म के कोण के बराबर होता है। प्रिज्म का कोण क्या होगा?

~~ 9.22 एक उत्पाद $L$ की लंबाई वाले कवारे दर्पण के मुख्य धुंधली बाहरी अग़ुच्छ में रखा जाता है। वस्तु का दूजा दूरी $यू$ है। अगर दर्पण की फोकस संवेदनशीलता $f$ है, तो छवि की लंबाई क्या होगी? आप ले सकते हैं $L«|v-f|$।

9.23 वहाँ कक्ष के एकांतर संक्षेप आवास रेखा का ऊपरी भाग छहाने का बैठा है। कसोटीय सतह का किनारा ’ $R$ ’ है (चित्र 9.5)। जब कसोटी के किनारे से देखा जाता है, तो दिस दिखाई देता है। किसी टोपी पर लागू होते हैं। बहिर्मुखऊ तरलतम में रेफ्रैक्टिविटी $\mu$ है और धुंधले किनारे से देख लिया जाता है। क्या बौवलय के शीर्ष से कितनी दूर पर टोपियों को रखा गया है?

कंटेंट का हिंदी संस्करण क्या होगा:

9.24 फोकस दूरी $25 cm$ का एक पतला उत्तेजक लेंस दो टुकड़ों में काटा जाता है, मुख्य ध्यानक्षेत्र से $0.5 cm$ ऊपर। शीर्ष भाग $(0,0)$ पर रखा जाता है और एक वस्तु $(-50 cm, 0)$ पर रखी जाती है। छवि के संदर्भबिन्दु की संदर्भीयां ढूंढ़ें।

~~ 9.25 कई प्रयोगशाला व्यवस्थाओं में स्रोत और स्क्रीन को एक दूरी द्वारा ठीक किया जाता है, कहें $D$ और लेंस हिल सकता है। दिखाइए कि कम से कम दो स्थान हैं जहां लेंस पर छवि बनती है। इन दो बिन्दुओं के बीच की दूरी और इन दो बिन्दुओं के लिए छवि की आकार का अनुपात ढूंढ़ें।

~~ 9.26 एक जार, जिसकी ऊचाई $h$ है, से एक साफ पदार्थ अवरोधी $ \mu $ भरा गया है (आरेख. 9.6)। जार के नीचे की सतह पर केंद्र में एक बिंदु है। जब शीर्ष सतह पर केंद्र के चारों ओर सतत हों, तो एक व्यास की न्यूनतम व्यास ढूंढ़ें, जिससे जब प्लेस किया जाता है, तो बिंदु अदृश्य हो जाता है।

आरेख. 9.6

~~ 9.27 एक मियोपिक वयस्क का दूर बिन्दु $0.1 m$ है। उसकी समायोजन की शक्ति 4 डायोप्टर है। (i) दूरस्थ वस्तुएँ देखने के लिए कौन सी शक्ति लेंस की आवश्यकता होगी? (ii) उसका निकट बिन्दु बिना चश्मे के क्या होगा? (iii) चश्मे के साथ उसका निकट बिन्दु क्या होगा? (चश्मे की आंतरिकतम से कक्ष की छवि दूरी को मानें $2 cm$.)

साधारित्म

9.28 दर्पण सूत्र $\mu \geq \sqrt{2}$ वाले एक पदार्थ के लिए दिखाई दे, किसी भी कोण पर दिखाई देने वाली प्रकाश एक ठीक की ओर चलेगी।

~~ 9.29 एक विशाल ऊचाई वाली ऊँचाई के स्तंभ (यानी, क्षैतिज आयाम « लंबवत आयाम) में एक पवित्र तरल और एक विचार की मिश्रण अणुओं का विस्तार करता है और इसलिए लंबवत आयाम के साथ एक अपेक्षित में प्रकाश के मार्ग से भटकती है। हॉरिजॉन्टल दूरी $d « h$ यात्रा में भटकाव ढूंढ़ें।

~~ 9.30 यदि प्रकाश एक भारी वस्तु के पास से गुजरता है, तो गुरुत्वाकर्षणी क्रिया रेतियों के प्रकाश में एक मोड़ने का कारण बनती है। इसे माध्यम के प्रभावशील प्रतिस्थापनिक सूचकांक में बदलने के कारण माना जा सकता है

$n(r)=1+2 G M / r c^{2}$

जहां $r$ बिंदु की दूरी है, जो भारी वस्तु के केंद्र से है, $G$ वैश्विक गुरुत्वाकर्षण स्रोत, $M$ वस्तु का मास है और $c$ वक्यूम में प्रकाश की गति है। एक गोलाकार वस्तु के आदान-प्रदान से प्रकाश का भटकाव ढूंढ़ें।

~~

9.31 एक अनंत लंबवत सिलेंडर जिसका त्रिज्या $R$ है, एक असाधारण अद्भुत सामग्री से बना है जिसका प्रतिवर्ती सूचकांक -1 है (चित्र 9.7)। सिलेंडर को दो समतलों के बीच रखा जाता है जिनकी लगामें $y$ दिशा के साथ रहती हैं। सिलेंडर का केंद्र $O$ $y$-अक्ष पर स्थित है। एक पतला लेजर बीम निचली प्लेट से $y$ दिशा में मुख्यतः दीर्घविस्तीर्ण स्रोत से प्रेषित की जाती है। लेजर स्रोत $x$ दूरी पर हॉरिजंतल दिशा में एक व्यास से है। $x$ की श्रेणी तय करें जिससे निचली प्लेन से निकली रोशनी ऊपरी प्लेन तक नहीं पहुंचती है।

(i) एक मोटाई लेंस को एक स्रोत (S) और एक अवलोकक (O) के बीच रखा जा सकता है (चित्र 9.8)। लेंस की मोटाई को $w(b)=w_0-\frac{b^{2}}{\alpha}$ के रूप में बदला जा सकता है, जहां $b$ तलीय दूरी पोल से है। $w_0$ एक स्थिर है। Fermat’s principle का उपयोग करके अर्धविमुक्त रश्मियाँ ऐसी स्थिति पर मिलेंगी जहां से स्रोत से प्रारंभ होती हैं, अवलोकक पर एक समकोणिय बिंदु $O$ पर संचरण का समय अत्यधिक होगा। फोकल लंबाई ढूंढ़ें। चित्र 9.8

(ii) एक गुरुत्वाकर्षण लेंस को एक विभिन्न चौड़ाई वाला लिया जा सकता है $ \begin{aligned} w(b) & =k_1 \ln (\frac{k_2}{b}) & & b _{\min }<b<b _{\max } \\ & =k_1 \ln (\frac{k_2}{b _{\min }}) & & b<b _{\min } \end{aligned} $

दिखाएँ कि एक अवलोकक लेंस के केंद्र के चारों ओर एक छोटे हींगेतु द्वारा एक बिंदु वस्तु का छवि देखेगा जिसमें एक कोणाकार त्रिज्या है

$\beta=\sqrt{\frac{(n-1) k_1 \frac{u}{v}}{u+v} .}$

अध्याय 9

~~ 9.1 (a)

~~ 9.2 (d)

~~ 9.3 (c)

~~ 9.4 (b)

~~ 9.5 (c)

~~ 9.6 (c)

~~ 9.7 (b)

~~ 9.8 (b)

~~ 9.9 (b)

~~ 9.10 (d)

~~ 9.11 (a)

~~ 9.12 (a), (b), (c)

~~ 9.13 (d)

~~ 9.14 (a), (d)

~~ 9.15 (a), (b)

~~ 9.16 (a), (b), (c)

~~ 9.17 लाल रंग के लिए प्रतिबिम्बीय सूचकांक नीले के मुकाबले कम होने के कारण, लेंस पर आपरेंड्रिक रोशनियां लाल रंग के लिए अधिक तोरे हुए होंगी। इसप्रकार नीले के लिए फोकल लंबाई लाल के मुकाबले छोटी होगी।

~~ 9.18 एक सामान्य व्यक्ति की पास नजदीकी दूरी $25 सेमी$ होती है। एक वस्तु को विष्पष्टि $10$ के साथ देखने के लिए,

$m=\frac{D}{f} \Rightarrow f=\frac{D}{m}=\frac{25}{10}=2.5=0.025 m$

$P=\frac{1}{0.025}=40$ डायोप्टर।

~~ 9.19 नहीं। लेंस की पुनरावर्तीता समीकरण को नष्ट करती है।

~~ 9.20 वस्तु को $\mu_2$ से देखने पर, आपारता गहिराई $O_1$ होती है तब

$O_1=\frac{\mu_2}{\mu_1} \frac{h}{3}$

यदि $\mu_3$ से देखे तो आपारता गहिराई $O_2$ होती है।

$O_2=\frac{\mu_3}{\mu_2}(\frac{h}{3}+O_1)=\frac{\mu_3}{\mu_2}(\frac{h}{3}+\frac{\mu_2}{\mu_1} \frac{h}{3})=\frac{h}{3}(\frac{\mu_3}{\mu_2}+\frac{\mu_3}{\mu_1})$

बाहर से देखने पर, आपारित ऊँचाई होती है

$O_3=\frac{1}{\mu_3}(\frac{h}{3}+O_2)=\frac{1}{\mu_3}[\frac{h}{3}+\frac{h}{3}(\frac{\mu_3}{\mu_2}+\frac{\mu_3}{\mu_1})]$

हालांकि जो वक्रीयता से $u$ और $v$ द्वारा देखा जाता है, जैसा लेंस के लिए सूत्र में दिखाया गया है,

$\frac{1}{f}=\frac{1}{v}-\frac{1}{u}$

यह स्पष्ट है कि स्क्रीन पर एक छवि होने के लिए दो स्थितियाँ हो सकती हैं।

पहली स्थिति को जब लेंस $O$ पर हो।

दिया गया है $-u+v=D$

$\Rightarrow u=-(D-v)$

इसे लेंस सूत्र में रखते हैं

$\frac{1}{D-v}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$

जब भी कोई किरण कोण $ i $ में प्रवेश करती है, और यदि किरण कोण $ AC (\phi) $ के साथ विशेष कोण बनाती है तो केवल फेस $ AC $ के बाहर उस किरण की सारणी होती है जो हमें न्यूनतम कोण सीमा की-A-C परकेण करती है

$\Rightarrow \sin \geq \frac{1}{\mu}$

$\Rightarrow \cos r \geq \frac{1}{\mu}$

अथवा, $1-\cos ^{2} r \leq 1-\frac{1}{\mu^{2}}$

i.e. $\sin ^{2} r \leq 1-\frac{1}{\mu^{2}}$

क्योंकि $\sin i=\mu \sin r$

इत्यादि “$\frac{1}{\mu^{2}} \sin ^{2} i \leq 1-\frac{1}{\mu^{2}}$

Or, $\sin ^{2} i \leq \mu^{2}-1$

सबसे छोटा कोण $\phi$ होगा जब $i=\frac{\pi}{2}$ हो। यदि यह स्रावनांक से अधिक हो तो तो सभी अन्य स्रावनांकों में स्रावनांक से अधिक होगा।

इसलिए $1 \leq \mu^{2}-1$

या, $\mu^{2} \geq 2$

$\Rightarrow \mu \geq \sqrt{2}$

~~ 9.29 तालत्मिकांतर मध्ये $x$ और $x+d x$ के बीच रे का एक भाग का विचार करें। $x$ पर घटी के आगन में स्रावनांक को $\theta$ करें और यह नजर $y$ पर पतली स्तंभ में प्रवेश करेगी। मुड़ने के कारण यह $x+d x$ पर $\theta+d \theta$ के साथ और एक ऊँचाई $y+d y$ पर बाहर आएगी। स्नेल नियम के अनुसार

$\mu(y) \sin \theta=\mu(y+d y) \sin (\theta+d \theta)$

या $\mu(y) \sin \theta \simeq(\mu(y)+\frac{d \mu}{d y} d y)(\sin \theta \cos d \theta+\cos \theta \sin d \theta)$

$\simeq \mu(y) \sin \theta+\mu(y) \cos \theta d \theta+\frac{d \mu}{d y} d y \sin \theta$

या $\mu(y) \cos \theta d \theta \simeq \frac{-d \mu}{d y} d y \sin \theta$

$d \theta \simeq \frac{-1}{\mu} \frac{d \mu}{d y} d y \tan \theta$

लेकिन $\tan \theta=\frac{d x}{d y}$ (आभासी से पता चलता है)

इस कारण $\quad d \theta=\frac{-1}{\mu} \frac{d \mu}{d y} d x$

इस कारण $\quad \theta=\frac{-1}{\mu} \frac{d \mu}{d y} \int_o^{d} d x=\frac{-1}{\mu} \frac{d \mu}{d y} d$

~~ 9.30 $r$ और $r+d r$ पर दो तल हों। एक कोण $\theta$ पर $r$ तल पर स्रावनांक मना जाता है और यह $r+d r$ पर जाकर एक कोण $\theta+d \theta$ पर छोड़ती है।

तब से नेल के नियम

$n(r) \sin \theta=n(r+d r) \sin (\theta+d \theta)$

$\Rightarrow n(r) \sin \theta \simeq(n(r)+\frac{d n}{d r} d r)(\sin \theta \cos d \theta+\cos \theta \sin d \theta)$

$ \simeq(n(r)+\frac{d n}{d r} d r)(\sin \theta+\cos \theta d \theta) $

अलगावांकों के गुणन को नजरअंदाज करते हुए

$n(r) \sin \theta \simeq n(r) \sin \theta+\frac{d n}{d r} d r \sin \theta+n(r) \cos \theta d \theta$

$\Rightarrow-\frac{d n}{d r} \tan \theta=n(r) \frac{d \theta}{d r}$

$\Rightarrow \frac{2 G M}{r^{2} c^{2}} \tan \theta=(1+\frac{2 G M}{r c^{2}}) \frac{d \theta}{d r} \approx \frac{d \theta}{d r}$

$\therefore \int_n^{\theta o} d \theta=\frac{2 GM}{c^{2}} \int _{-\infty}^{\infty} \frac{\tan \theta d r}{r^{2}}$

अब $r^{2}=x^{2}+R^{2}$ और $\tan \theta=\frac{R}{x}$

$2 r d r=2 x d x$

$\int_0^{\theta 0} d \theta=\frac{2 GM}{c^{2}} \int _{-\infty}^{\infty} \frac{R}{x} \frac{x d x}{(x^{2}+R^{2})^{\frac{3}{2}}}$

Put $x=R \tan \phi$

$d x=R Sec^{2} \phi d \phi$

$\therefore \quad \theta_0=\frac{2 GMR}{c^{2}} \int _{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{R \sec ^{2} \phi d \phi}{R^{3} \sec ^{3} \phi}$

$=\frac{2 G M}{R c^{2}} \int _{-\pi / 2}^{\pi / 2} \cos \phi d \phi=\frac{4 G M}{R c^{2}}$

उदाहरण समस्याएं-भौतिक विज्ञान

9.31 जैसे की संरचनी का प्रतिबिम्बाशी अनुपात $-1$ है, $\theta_r$ नकारात्मक है और $\theta_r^{\prime}$ सकारात्मक है।

अब $|\theta_i|=|\theta_r|=|\theta_r^{\prime}|$

आउटकमिंग रे का कुल भट्टा प्रवृत्ति $4 \theta_i$ है।

रेखा प्राप्ति की दिशा अगर निम्न समयपट रेखा में से है तो तो प्राप्ति तट तक नहीं पहुंचेगी $\frac{\pi}{2} \leq 4 \theta_i \leq \frac{3 \pi}{2} \quad$ (कोण सदृश क्रम में $y$ अक्ष वामप्रद पे माप)

$\frac{\pi}{8} \leq \theta_i \leq \frac{3 \pi}{8}$

अब संवेदना $\sin \theta_i=\frac{x}{R}$

$R \sin ^{-1} \frac{x}{R} \leq \frac{3 \pi}{8}$

अर्थात $\frac{\pi}{8} \leq \frac{x}{R} \leq \frac{3 \pi}{8}$

इसलिए $\frac{R \pi}{8} \leq x \leq \frac{R 3 \pi}{8}$ प्रकाश का उत्पन होंगा तब प्राप्ति मंडल तक नहीं पहुंचेगा।

~~ 9.32 (i) $S$ से $P_1$ तक यात्रा के लिए समय

$t_1=\frac{S P_1}{c}=\frac{\sqrt{u^{2}+b^{2}}}{c} \simeq \frac{u}{c}(1+\frac{1}{2} \frac{b^{2}}{u^{2}})$ जब $b<u_0$

$P_1$ से $O$ तक यात्रा के लिए समय

$t_2=\frac{P_1 O}{c}=\frac{\sqrt{v^{2}+b^{2}}}{c} \simeq \frac{v}{c}(1+\frac{1}{2} \frac{b^{2}}{v^{2}})$

लेंस के माध्यमसे यात्रा के लिए समय

$t_l=\frac{(n-1) w(b)}{c}$ जहाँ $n$ अपवर्तनांक है।

इसलिए कुल समय

$t=\frac{1}{c}[u+v+\frac{1}{2} b^{2}(\frac{1}{u}+\frac{1}{v})+(n-1) w(b)]$. यहाँ $\frac{1}{D}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$

इसलिए $t=\frac{1}{c}(u+v+\frac{1}{2} \frac{b^{2}}{D}+(n-1)(w_0+\frac{b^{2}}{\alpha}))$

फरमेस्ट के मूल्यप्रतिका अस्तित्व!

$ \begin{aligned} & \frac{d t}{d b}=0=\frac{b}{C D}-\frac{2(n-1) b}{c \alpha} \\ & \alpha=2(n-1) D \end{aligned} $

है और इसलिए एक संकुचक लेन्स बनती है अगर $\alpha=2(n-1) D$. यह $b$ का आंशिक होगा और इसलिए सभी अधिकतम रेमेढ इमेज पे मिलेगी (जैसे की $b«n$ और $b«v$ ).

क्युकी $\frac{1}{D}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$, इसलिए फ़ोकस लंबधि उ ही होगी।

(ii) इस मामले में

$t=\frac{1}{c}(u+v+\frac{1}{2} \frac{b^{2}}{D}+(n-1) k_1 \ln (\frac{k_2}{b}))$

$\frac{d t}{d b}=0=\frac{b}{D}-(n-1) \frac{k_1}{b}$

$\Rightarrow b^{2}=(n-1) k_1 D$

$\therefore b=\sqrt{(n-1) k_1 D}$

अब इसप्रकार के रेमेढ जहाँ ऊंचाई $b$ हैं वकटुड़ुं निर्माणशील करेंगी। मुख्य रयो का कोण है

$ \beta \simeq \frac{b}{v}=\frac{\sqrt{(n-1) k_1 D}}{v^{2}}=\sqrt{\frac{(n-1) k_1 u v}{v^{2}(u+v)}}=\sqrt{\frac{(n-1) k_1 u}{(u+v) v}} . $