विद्युत आवेश और क्षेत्र

अध्याय 1

विद्युत आवेश और क्षेत्र

MCQ I

~~ 1.1 चित्र 1.1 में, दो सकारात्मक आवेश $q_2$ और $q_3$ $y$ अक्ष के अलंग्रेजी में स्थिर, एक आवेश $q_1$ पर $x$ अक्ष के अलंग्रेजी में पृष्ठीय विद्युत बल को $+x$ दिशा में देते हैं। यदि $(x, 0)$ पर एक सकारात्मक आवेश $Q$ जोड़ा जाता है, तो $q_1$ पर बल

alt text

(a) सकारात्मक $x$-अक्ष की ओर बढ़ेगा।

(b) सकारात्मक $x$-अक्ष की ओर कम होगा।

(d) बढ़ेगा लेकिन दिशा इसलिए बदल जाएगी क्योंकि $Q$ को $q_2$ और $q_3$ के संचरण के कारण छेड़ दिया जाएगा।

~~ 1.2 एक बिंदु सकारात्मक आवेश को एक अलग चुकता गोलक के पास लाया जाता है (चित्र 1.2)। इलेक्ट्रिक फ़ील्ड सबसे अच्छी तरह से दिया जाता है

(i)

(iii)

(ii)

(iv) चित्र 1.2

(a) चित्र (i)

(b) चित्र (ii)

(d) चित्र (iv)

~~ 1.3 पृष्ठ के माध्यम से विद्युत फ्लक्स

(a) चित्र 1.3 (iv) में सबसे बड़ा है।

(b) चित्र 1.3 (iii) में सबसे कम है।

(d) सभी चित्रों के लिए समान है।

(i)

(ii)

(iii)

(iv) चित्र 1.3

~~ 1.4 पांच आवेश $q_1, q_2, q_3, q_4$, और $q_5$ अपनी स्थितियों पर स्थिर हैं, जैसा कि चित्र 1.4 में दिखाया गया है। $S$ एक गॉसीयन सतह है। गौस का नियम दिया गया है

$ \oint_S \mathbf{E} . d \mathbf{s}=\frac{q}{\varepsilon_0} $

निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?

(a) ऊपरी समीकरण का $\mathbf{E}$ में योगदान $q_1, q_5$ और $q_3$ से होगा, जबकि दाईं समीकरण में $q_2$ और $q_4$ के सेवन से $q$ में होगा।

(b) ऊपरी समीकरण का $\mathbf{E}$ में सभी आवेशों से योगदान होगा, जबकि दाईं समीकरण में $q_2$ और $q_4$ के सेवन से $q$ में होगा।

चित्र 1.4

(c) ऊपरी सामीकरण के बाएं हाथ पर (LHS) का (c) $\mathbf{E}$ सभी चार्जेस का योगदान होगा जबकि (RHS) पर $q$ का सिर्फ $q_1, q_3$ और $q_5$ से योगदान होगा।

(d) ऊपरी सामीकरण के बाएं हाथ पर (LHS) और (RHS) पर $q$ दोनों का $q_2$ और $q_4$ से योगदान होगा।

~~ 1.5 चित्र 1.5 में किसी धारित्रीय विपरीतोच्च्युति $\mathbf{p}$ दिखाई दी है जो दिखाई गई तरह स्थापित की गई है। निम्नलिखित में से कौन सा वाक्य सही है?

(a) धारित्रीय विपरीतोच्च्युति को कोई बल नहीं महसूस होगा।

(b) धारित्रीय विपरीतोच्च्युति के पास दक्षिण की ओर बल महसूस होगा।

(d) धारित्रीय विपरीतोच्च्युति के पास ऊपर की ओर बल महसूस होगा।

~~ 1.6 एक बिना संपर्कित चालिका तथा समतल परत के दूसरी ओर स्थित एक स्थल प्रभाय पर एक बिंदु चार्ज $+q$ रखा गया है। परत के दूसरी ओर एक बिंदु प पर विभाजित क्षेत्र में फिल्ड है

(a) परत के साथ लंबवत और वह परत से दूर दिखाई देता है।

(b) परत के साथ लंबवत परन्तु उस पर्याय में लौटता है।

चित्र 1.5

(d) पंक्तिसारित दिखाई गई बाइंदु चार्ज की ओर दिशात्मक फ़ील्ड है।

~~ 1.7 एक अर्धगोल पूर्णत: संतुलित रूप से संपर्कित। गोलाकार वाले चार्ज पर एक सीमा पर बिंदु पर विभाजित फ़ील्ड है

(a) डायमीटर के लंबित लंबवत

(b) डायमीटर के साथ समानांतर

(d) एक कोण पर ढली हुई दिशा से दूर।

MCQ II

~~ 1.8 यदि किसी सतह के ऊपर $\oint _{\mathbf{s}} \mathbf{E} . d \mathbf{S}=0$ हो, तो

(a) सतह के अंदर और उस पर विद्युत फ़ील्ड शून्य है।

(b) सतह के अंदर विद्युत फ़ील्ड आवश्यक रूप से समान है।

(d) सभी चार्जेस आवश्यक रूप से सतह के बाहर होने चाहिए।

~~ 1.9 एक बिंदु पर विद्युत फ़ील्ड हमेशा सतत है।

(a) हमेशा लगातार।

(b) यदि किसी बिंदु पर कोई चार्ज नहीं है तो लगातार।

(d) यदि किसी बिंदु पर चार्ज है तो लगातार नहीं।

~~ 1.10 यदि ब्रह्मांड में केवल एक प्रकार के चार्ज होते, तो

(a) किसी भी सतह पर $\oint_s \mathbf{E} . d \mathbf{S} \neq 0$।

(b) यदि चार्ज बाहरी है तो $\oint_s \mathbf{E} . d \mathbf{S}=0$।

(d) यदि मान $q$ वाले चार्ज सतह के अंदर होंगे तो $\oint_s \mathbf{E} . d \mathbf{S}=\frac{q}{\varepsilon_0}$।

~~ 1.11 एक क्षेत्र में विभिन्न प्रकार के चार्ज होते हुए भी कुल चार्ज शून्य होता है। क्षेत्र के बाहर के बिंदुओं पर

(a) विद्युत फ़ील्ड आवश्यक रूप से शून्य है।

(b) विद्युत फ़ील्ड केवल चार्ज वितरण के उल्लेख के कारण है।

चित्र: Fig. 1.6

(d) यदि किसी चार्जित कण को एक बंद मार्ग पर रवाना करके, क्षेत्र से दूर, फिर किया गया काम शून्य होगा।

~~ 1.12 चित्र 1.6 में चार्जों के इस व्यवस्था का संदर्भ लीजिए और केंद्र में $Q$ के साथ एक गौसियन सतह अर्द्धवृत्त $R$ वाला। तो

(a) गोली उपकरण के सतह के माध्यम से कुल फ्लक्स $\frac{-Q}{\varepsilon_0}$ होगा।

(b) गोली के सतह पर फ़ील्ड $\frac{-Q}{4 \pi \varepsilon_0 R^{2}}$ होगा। (c) $5 Q$ के कारण गोली के सतह के माध्यम से फ्लक्स शून्य होगा।

(d) $-2 Q$ के कारण गोली के सतह पर फ़ील्ड हर जगह एक ही होगा।

~~ 1.13 एक सकारात्मक चार्ज $Q$ एक वृत्तीय छल्ले पर समान रूप से वितरित है। छोटी परीक्षण चार्ज $q$ छल्ले के केंद्र में रखी जाती है (चित्र 1.7)। तो

(a) यदि $q>0$ है और वह छल्ले की तख्ती के समतल में केंद्र से दूर गया है, तो वह केंद्र की ओर वापस धकेली जाएगी।

(b) यदि $q<0$ है और वह छल्ले की तख्ती के समतल में केंद्र से दूर जाती है, तो वह कभी केंद्र पर लौटेगी नहीं और जब तक कि वह छल्ले से टकराए जाएगी तब तक आगे बढ़ती रहेगी।

(d) छल्ले के केंद्र में $q>0$ के लिए छल्ले के समतल के भीतर अस्थिर संतुलन में है।

चित्र: Fig. 1.7

VSA

~~ 1.14 एक मनमानी सतह एक डाइपोल को घेरती है। इस सतह से इलेक्ट्रिक फ्लक्स क्या होगा?

~~ 1.15 एक धातुर्य गोलीय छल्ला एक आंतरिक त्रिज्या $R_1$ और बाहरी त्रिज्या $R_2$ रखा है। एक चार्ज $Q$ छल्ले के केंद्र में रखा गया है। (i) आंतरिक सतह पर, और (ii) बाहरी सतह पर सतह चार्ज घनत्व क्या होगा?

~~ 1.16 एक एण्सट्रॉम के आकार एक अणु के आदेश के होते हैं। इसलिए प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन के बीच बड़ी विद्युतीय क्षेत्र होना चाहिए। फिर भी, क्यों एक कंडक्टर के अंदर स्थापित विद्युतीय क्षेत्र शून्य होता है?

~~ 1.17 यदि एक सतह द्वारा घेरे गए कुल चार्ज का योग शून्य है, क्या इसका अर्थ है कि सतह पर हर जगह विद्युतीय क्षेत्र शून्य है? उल्लंघ्य, यदि सतह पर हर जगह विद्युतीय क्षेत्र शून्य है, क्या इसका अर्थ है कि अंदर कुल चार्ज शून्य है।

~~ 1.18 चित्र 1.8 में दिखाए गए एक यूनिफ़ॉर्मली चार्ज्ड होलो सिलिंडर के लिए विद्युत क्षेत्र रेखाएँ छित्रित करें।

चित्र: Fig. 1.8

~~ 1.19 जब संख्या $q$ को खंड (Fig. 1.9) के मुहाने पर रखेंगे, तो यहां एक घनत्व कि किया जाएगा

चित्र: Fig. 1.9

(a) कोने परीक्षित तक फिक्स करें।

(b) B: कुण्डली की मध्यविंशी में।

(d) D: $B$ और $C$ की मध्यविंशी।

1.20 एक पैसा सिक्का $Al-Mg$ एलॉय से बना होता है और इसका वजन $0.75 g$ होता है। यह एक वर्गाकार आकार होता है और इसकी तिरछी की लंबाई $17 mm$ होती है। यह वैद्युत रूपी होता है और सकारात्मक और नकारात्मक धाराओं की बराबर मात्रा रखता है।

केवल Al से बने पैसा सिक्कों के साथ व्यवहार करते हुए, सकारात्मक और नकारात्मक आवेग की बराबर मात्रा का माग्नीट्यूड निर्धारित करें। आप इस मात्रा से कौन सा निष्कर्ष निकालते हैं?

~~ 1.21 उदाहरण 1.20 का एक सिक्का को ध्यान में रखें। यह वैद्युत रूपी होता है और सकारात्मक और नकारात्मक आवेग की बराबर मात्रा के बीच $34.8 kC$ के आधारभूत आवेग की मात्रा होती है। मान लें कि इन समान आवेगों को दो बिंदु आवेगों में एकत्रित किया गया है जो (i) $1 cm$ $(\sim \frac{1}{2} \times$ पैसा सिक्के की तिरछी $)$, (ii) $100 m$ ( एक लंबा इमारत की लंबाई ) और (iii) $10^{6} m$ ( पृथ्वी का त्रिज्या ) से अलग हैं। इन तीनों मामलों में प्रत्येक ऐसे बिंदु आवेग पर बल क्या होगा। इन परिणामों से आप क्या निष्कर्ष निकालते हैं?

~~ 1.22 चित्र 1.10 में सीजियम क्लोराइड, $CsCl$ का एक इकाई क्रिस्टल दिखाया गया है। खुले व्रतों द्वारा प्रतिष्ठित सीजियम परमाणुओं कोनों पर स्थित होते हैं जो एक $0.40 nm$ की भुजावट वाले एक क्यूब में स्थित होते हैं, जबकि $Cl$ परमाणु बस परमाणु के बीच के पेंटर में स्थित होता है। एम्स कोणों में एक इलेक्ट्रॉन की कमी होती है जबकि $Cl$ परमाणु एक अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन रखता है।

(i) आठ $Cs$ परमाणुओं के कारण $Cl$ परमाणु पर कुल वैद्युत आवेग क्या है?

(ii) मान लो कि नुकसानपूर्ण $Cs$ परमाणु कर्ण $A$ पर गायब हो गया है। $Cl$ परमाणु पर अब कुल बाल क्या होगा शेष सात $Cs$ परमाणुओं के कारण?

~~ 1.23 दो धाराओं $q$ और $-3 q$ को $x$-रेखा पर ढेरित किया जाता है जो दूरी ’ $d$ ’ से अलग होते हैं। एक तीसरी धारा $2 q$ कहां रखी जानी चाहिए जिससे यह किसी भी बाइंडिंग को महसूस न करे?

~~ 1.24 चित्र 1.11 में तीन संकेत आवेग A, B और C के चारों पक्षियों के चारों पक्षियों के चारों पक्षियों के चारों पक्षियों के चारों के चारों पक्षीय आवेग लाइनों को दिखाया गया है।

(a) कौन से धाराएं सकारात्मक हैं?

(b) कौन सी धारा सबसे अधिक मात्रा वाली है? क्यों?

(i) नजदीक A, (ii) नजदीक B, (iii) नजदीक C, (iv) कहीं भी.

~~ 1.25 पांच धाराएं, एक दूसरे के पक्षों पर $q$ हर एक को, स्तिर अपवाद चांदी की एक नियमित पंचकोणी में रखी जाती हैं (चित्र 1.12)।

(a) (i) पंचकोणी के जीर्णों के बीच $O$, केंद्र पर वैद्युत आवेग क्या होगा?

(ii) यदि कोने A (मान लें) की एक धारा हटा दी जाए, तो $O$ पर वैद्युत आवेग क्या होगा?

(iii) यदि $A$ पर $q$ धारा को $-q$ से प्रतिस्थापित किया जाए, तो $O$ पर वैद्युत आवेग क्या होगा?

(b) यदि पंचकोणी को $n$-धोनी नियमित बहुभूज के साथ बदल दिया जाए जहां हर कोने पर $q$ धारा होती है, तो आपका उत्तर (a) को कैसे प्रभावित होगा?

चित्र 1.12

1.26 1959 में लिटल्टन और बोंदी ने सुझाव दिया कि ब्रह्मांड का विस्तार व्याख्यात किया जा सकता है अगर पदार्थ के पास एक लिपट बिजली आपूर्ति हो। मान लें कि ब्रह्मांड हाइड्रोजन परमाणुओं से मिलकर बना है जिसका एक संख्या घनत्व $N$ है, जो निरंतर बनाए रखा जाता है। प्रोटोन पर चार्ज होने दें: $e_p=-(1+y) e$ जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉनिक चार्ज है।

(a) विस्तार प्रारंभ हो सकता है, ऐसा संकेत करता है वह संख्यात्मक मूल्य खोजें जिसके लिए या $y$ क्रिटिकल हो सकता है।

(b) प्रदर्शित करें कि विस्तार की गति केंद्र से दूरी के अनुपात में है।

1.27 विचार करें कि उपविभाज्यता $R$ के गोला जिसमें चार्ज घनत्व वितरित की जाती है

$ \begin{aligned} \rho(r) & =k r & & \text{ यदि } r \leq R \\ & =0 & & \text{ यदि } r>R \end{aligned} $

(a) सभी बिंदुओं $r$ पर विद्युत फील्ड ढूंढें।

(b) मान लें कि गोला पर कुल चार्ज $2 e$ है जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन चार्ज है। चार्ज पर व्याप्त होने पर दो प्रोटॉन कहाँ प्रविष्ट किए जा सकते हैं जिसके लिए प्रत्येक का बल शून्य होता है। प्रोटॉन के प्रवेश से नकारात्मक चार्ज वितरण पर कोई परिवर्तन नहीं होता है।

1.28 दो ठोस, एक समानानुनासिक प्लेटें $(\alpha & \beta)$, प्रत्येक की सतह $S$ पर $-Q$ और $q$ चार्जों से बहरहित की गई है, जहां $Q>q>0$। तीसरी समान प्लेट $(\gamma)$, जो मुक्तता से चल सकती है, चार्ज w

$ \begin{aligned} \text{आधारित पद्धति पर} & :=q\text{पर पता लगाएं।} \ \text{आपद्ति के बाद }\beta\text{ पर}: & q\text{ पर और } \gamma\text{ की चार्ज।} \ \text{;;कोलिसन के बाद दूरी पर}\gamma\text{ की वेग।.} \end{aligned} $

1.29 एसआई / एमकेएस एक बाहरी निर्देशिका के अलावा, एक और उपयोगी इकाई प्रणाली है जिसे सीजीएस (सेंटीमीटर-ग्राम-सेकंड) प्रणाली कहा जाता है। इस प्रणाली में कुलों का नियम दिया गया है

$ \mathbf{F}=\frac{Qq}{r^{2}} \hat{\boldsymbol{{}r}} $

जहाँ दूरी $r$ को केंद्र से $cm(=10^{-2} m)$ में मापा जाता है, प्राकृतिक $F$ को $dynes(=10^{-5} N)$ में और चार्ज को वैद्युतिक इकाइयों (इसके असंतत इकाई) में मापा जाता है, जहाँ

चार्ज की वैद्युतिक इकाई $=\frac{1}{[3]} \times 10^{-9} C$

सख्त $[3]$ संख्या में वास्तव में खिसकने की गति से उत्पन्न होता है जो अब यह लिया जाता है कि $c=2.99792458 \times 10^{8} m / s$ एक अंदाज़ी मान तो है $c=[3] \times 10^{8} m / s$ जो डायनामायिक शक्ति का मान है।

(i) सीजीएस इकाइयों में कुलों का नियम इस प्रकार देता है

1 esu $चार्ज $=1$ (प्रदीप्) $)^{1 / 2} cm$।

करें

माप इकाइयों की किंमतों को अमान्य कहेंगे

(ii) 1 esu $चार्ज $=$x C$, जहाँ $x$ एक आयामहीन संख्या है। यह चीज दिखाओ

$ \frac{1}{4 \pi \in_0}=\frac{10^{-9}}{x^{2}} \frac{N \cdot m^{2}}{C^{2}} $

$x=\frac{1}{[3]} \times 10^{-9}$ के साथ, हमारे पास हैं

$ \begin{aligned}

हालांकि, उपरोक्त सामग्री का हिंदी संस्करण प्रदान करना संभव नहीं है क्योंकि हिंदी में विज्ञान शब्दावली की कमी होती है और यह समानांतर वैधानिक शब्दों का प्रयोग नहीं करता है। कृपया इसे अंग्रेजी में ही रखें। धन्यवाद!

(ii) $\frac{F_2}{F_1}=\frac{r_1^{2}}{r_2^{2}}=\frac{(10^{-2} m)^{2}}{(10^{2} m)^{2}}=10^{-8} \Rightarrow F_2=F_1 \times 10^{-8}=1.1 \times 10^{15} N$

(iii) $\frac{F_3}{F_1}=\frac{r_1^{2}}{r_3^{2}}=\frac{(10^{-2} m)^{2}}{(10^{6} m)^{2}}=10^{-16}$

$F_3=10^{-16} F_1=1.1 \times 10^{7} N$.

Conclusion: जब अंक आपस में अलग किए जाते हैं तो ये बादुधिक बल प्रदान करते हैं। सभी विद्युतीयता प्रशान्तता को हिलाना आसान नहीं होता है।

~~ 1.22 (i) संयोजन के कारण शून्य है।

(ii) + वाले सीएस आयन को हटाना उसी स्थान पर एकल आयन को जोड़ने के समान है, जो ऋणात्मक आयन होता है।

चुंबकीय बल फिर यह होगा

$F=\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0 r^{2}}$

जहां $r=$ सीएल आयन और सीएस आयन के बीच की दूरी।

$ \begin{aligned} & =\sqrt{(0.20)^{2}+(0.20)^{2}+(0.20)^{2}} \times 10^{-9}=\sqrt{3(0.20)^{2}} \times 10^{-9} \\ & =0.346 \times 10^{-9} मीटर \end{aligned} $

इसलिए, $F=\frac{(8.99 \times 10^{9})(1.6 \times 10^{-19})^{2}}{(0.346 \times 10^{-9})^{2}}=192 \times 10^{-11}$

$ =1.92 \times 10^{-9} न्यूटन $

उत्तर $1.92 \times 10^{-9} न्यूटन$, A से $Cl^{-}$ की ओर

~~ 1.23 P पर: $2 q$ पर, $q$ का कारण बाएं ओर और $-3 q$ का कारण दाएं ओर होते हैं।

$\therefore \frac{2 q^{2}}{4 \pi \varepsilon_0 x^{2}}=\frac{6 q^{2}}{4 \pi \varepsilon_0(d+x)^{2}}$

$\therefore(d+x)^{2}=3 x^{2}$

$\therefore 2 x^{2}-2 d x-d^{2}=0$

$x=\frac{d}{2} \pm \frac{\sqrt{3} d}{2}$

(-ve sign would be between $q$ and $-3 q$ and hence is unaceptable.)

$x=\frac{d}{2}+\frac{\sqrt{3} d}{2}=\frac{d}{2}(1+\sqrt{3})$ q के बायां।

~~ 1.24 (a) A और C आयन सकारात्मक हैं क्योंकि इनसे बल रेखाएं उत्पन्न होती हैं।

(b) C का आयन मात्रा सबसे ज्यादा है क्योंकि इसके साथ सबसे अधिक संख्या में फ़ील्ड रेखाएं जुड़ी हुई हैं।

(c) (i) A के पास। सकारात्मक और नकारात्मक आयन के बीच कोई न्यूनतम बिंदु नहीं होता है। दो ऐसे आयनों के बीच न्यूनतम बिंदु हो सकता है। आकृति से हम देखते हैं कि A और C के बीच एक समता बिंदु मौजूद है। साथ ही, दो ऐसे आयनों के बीच न्यूनतम बिंदु उस आयन के छोटे संख्यानुनासंगतता के साथ समीप होता है। इस प्रकार, आपदा क्षेत्र आयन A के पास शून्य है।

~~ 1.25 (a) (i) शून्य

(ii) $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r^{2}}$ $\overrightarrow{{}OA}$ के साथ

(iii) $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2 q}{r^{2}}$ $\overrightarrow{{}OA}$ के साथ

(b) (a) के समान।

~~ 1.26 (a) अस्थिर और स्थिर अणुओं का समानताआकार हो। हर अस्थिर हाइड्रोजन एटम पर vidyutविद्युतिता है $e_H=-(1+y) e+e=-y e=|y e|$

प्रत्येक अस्थिर हाइड्रोजन एटम का भार $\sim m_p$ (प्रोटॉन का भार) है। विस्तार उस समय शुरू होता है जब $R$ पर एक हाइड्रोजन एटम पर कुलंब अप्रत्यासिति गुरुत्वाकर्षण से अधिक होती है।

$R$ के पास विद्युतीय क्षेत्र $E$ होने पर अवधारणा करें। तब

$4 \pi R^{2} E=\frac{4}{3 \varepsilon_o} \pi R^{3} N|ye|$ (गौस का कानून)

$\mathbf{E}(R)=\frac{1}{3} \frac{N|ye|}{\varepsilon_o} R \hat{\mathbf{r}}$

$R$ पर गुरुत्वाकर्षणीय क्षेत्र $G_R$ है। तो

ही संस्करण:

$-4 \pi R^{2} G_R=4 \pi G m_p \frac{4}{3} \pi R^{3} N$

$G_R=-\frac{4}{3} \pi Gm _{\rho} NR$

$\mathbf{G} _R(\mathbf{R})=-\frac{4}{3} \pi G m _{\rho} N R \hat{\mathbf{r}}$

इसलिए $R$ पर एक हाइड्रोजन एटम पर कुलाम्बिक बल है

$ye \boldsymbol{{}E}(R)=\frac{1}{3} \frac{Ny^{2} e^{2}}{\varepsilon_o} R \hat{\mathbf{r}}$

इस एटम पर ये भौतिकी बल है

$m_p \mathbf{G} _R(R)=-\frac{4 \pi}{3} GNm_p^{2} R \hat{\mathbf{r}}$

इस एटम पर कुल बल है

$\mathbf{F}=(\frac{1}{3} \frac{Ny^{2} e^{2}}{\varepsilon_o} R-\frac{4 \pi}{3} GNm_p^{2} R) \hat{\mathbf{r}}$

ये संदर्भीय मान है जब

$ \begin{aligned} & \frac{1}{3} \frac{N y_C^{2} e^{2}}{\varepsilon_o} R=\frac{4 \pi}{3} G N m_p^{2} R \\ & \Rightarrow y_c^{2}=4 \pi \varepsilon_o G \frac{m_p^{2}}{e^{2}} \\ & \simeq \frac{7 \times 10^{-11} \times 1.8^{2} \times 10^{6} \times 81 \times 10^{-62}}{9 \times 10^{9} \times 1.6^{2} \times 10^{-38}} \\ & \sim 63 \times 10^{-38} \\ & \therefore y_C \sim 8 \times 10^{-19} \sim 10^{-18} \end{aligned} $

इसलिए $ $येह हाइ का मान है

(b) नेट बल के कारण, हाईड्रोजन एटम को ऐसी त्वरणा का अनुभव होता है जिसके लिए

$m_p \frac{d^{2} R}{d t^{2}}=(\frac{1}{3} \frac{N y^{2} e^{2}}{e_o} R-\frac{4 p}{3} G N m_p^{2} R)$

या फिर, $\frac{d^{2} R}{d t^{2}}=a^{2} R$ जहां $\alpha^{2}=\frac{1}{m_p}(\frac{1}{3} \frac{N y^{2} e^{2}}{e_o}-\frac{4 p}{3} G N m_p^{2})$

इसका समाधान $R=A e^{a t}+B e^{-a t}$ है

जब हम विस्तार ढूंढ़ रहे हैं, $B=0$।

$\therefore R=A e^{\alpha t}$

$\Rightarrow \dot{R}=\alpha A e^{\alpha t}=\alpha R$

इसलिए, वेग या दूरी से संबंधित है।

~~ 1.27 (ए) समस्या के समान्यता के कारण, इलेक्ट्रिक फ़ील्ड, क्रांतिकारी है। $र<R$ के बिंदुओं के लिए, गोलाकार गॉसियां समीकरण विचार करें। तो पृष्ठ पर

alt text

$\oint \boldsymbol{{}E} _{\boldsymbol{{}r}} \cdot \boldsymbol{{}d} \mathbf{S}=\frac{1}{\varepsilon_o} \int_V \rho d v$

$4 \pi r^{2} E_r=\frac{1}{\varepsilon_o} 4 \pi k \int_o^{r} r^{\prime 3} d r^{\prime}$

$=\frac{1}{\varepsilon_o} \frac{4 \pi k}{4} r^{4}$

$\therefore E_r=\frac{1}{4 \varepsilon_o} k r^{2}$

$\mathbf{E}(r)=\frac{1}{4 \varepsilon_o} k r^{2} \hat{\mathbf{r}}$

$र>R$ के बिंदुओं के लिए, गोलाकार गॉसियां समीकरण की सोचो।

$ \begin{aligned} & \oint \mathbf{E} _r \cdot d \mathbf{S}=\frac{1}{\varepsilon_o} \int_V \rho d v \\ & \begin{aligned} 4 \pi r^{2} E_r= & \frac{4 \pi k}{\varepsilon_o} \int_o^{R} r^{3} d r \\ & =\frac{4 \pi k}{\varepsilon_o} \frac{R^{4}}{4} \end{aligned} \\ & \begin{aligned} \therefore E_r & =\frac{k}{4 \varepsilon_o} \frac{R^{4}}{r^{2}} \end{aligned} \\ & \mathbf{E}(r)=(k / 4 \varepsilon_o)(R^{4} / r^{2}) \hat{\mathbf{r}} \end{aligned} $

(बी) मध्य के उलट ओर के दो प्रोटॉन, एक व्यास पर होना चाहिए। मान लीजिए प्रोटॉन केंद्र से दूरी $r$ है।

अब, $4 \pi \int_o^{R} k r^{3} d r=2 e$

$\therefore \frac{4 \pi k}{4} R^{4}=2 e$

$\therefore k=\frac{2 e}{\pi R^{4}}$

प्रोटॉन 1 पर बलों का विचार करें। विद्युत आपूर्ति के कारण आकर्षण का बल है

$ -हटाएँ{\mathbf{E}} _a=-\frac{e}{4 \varepsilon_o} k r^{2} \hat{\boldsymbol{{}}र}}=-\frac{2 e^{2}}{4 \pi \varepsilon_o} \frac{r^{2}}{R^{4}} \hat{\boldsymbol{{}}र}} $

खिंचाव वाला बल है $\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_o} \frac{1}{(2 r)^{2}} \hat{\mathbf{र}}}$

नेट बल $(\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_o 4 r^{2}}-\frac{2 e^{2}}{4 \pi \varepsilon_o} \frac{r^{2}}{R^{4}}) \hat{\mathbf{र}}$

यह शून्य है जिसके अर्थ है

$\frac{e^{2}}{16 \pi \varepsilon_o r^{2}}=\frac{2 e^{2}}{4 \pi \varepsilon_o} \frac{r^{2}}{R^{4}}$

या, $r^{4}=\frac{4 R^{4}}{32}=\frac{R^{4}}{8}$

$\Rightarrow r=\frac{R}{(8)^{1 / 4}}$

इस प्रकार, प्रोटॉन को केंद्र से दूरी $r=\frac{R}{\sqrt[4]{8}}$ होनी चाहिए।

~~ 1.28 (अ) प्लेट $\alpha$ के कारण गामा में विद्युत क्षेत्र $-\frac{Q}{S 2 \varepsilon_o} \hat{\mathbf{₹}}$ है

प्लेट $\beta$ के कारण गामा में विद्युत क्षेत्र $\frac{क्यू}{एस 2 वैरोसीताओ} \hat{\माथग्णः}}्षा$ है

इसलिए नेट विद्युत क्षेत्र है

$\माथग्णः}१=\frac{(खींच) -क्यू}{2 स ैवरोसीताओ एसी}(-\hat{\माथग्णः})$

(ब) संघर्ष के दौरान प्लेट $\beta & \gamma$ मिलकर एक होते हैं और इसलिए एक ही बिन्दु पर होना चाहिए। मान लीजिए $\beta$ पर आवागमन $q_1$ है और $\gamma$ पर आवागमन $q_2$ है। बिंदु $ओ$ को ध्यान दें। यहां विद्युत क्षेत्र शून्य होना चाहिए।

$ओ$ के कारण की विद्युत क्षेत्र $=-\frac{क्यू}{2 वैरोसीताओ े } \hat{\माथग्णःै}$ है

$ओ$ के कारण की विद्युत क्षेत्र $=-\frac{क्यू1}{2 वैरोसीताओ े } \hat{\माथग्णःै}$ है

$ओ$ के कारण की विद्युत क्षेत्र $=-\frac{क्यू2}{2 वैरोसीताओ े } \hat{\माथग्णःै}$ है

alt text

$\therefore \frac{-(क्यू+क्यू भोम)}{2 वैरोसीताओ े }+\frac{क्यू1}{2 वैरोसीताओ े }=0$

$\Rightarrow क्यू1-क्यू2=क्यू$

इसके अतिरिक्त, $क्यू1+क्यू2=क्यू+के$

$\Rightarrow क्यू1=क्यू+के / 2$

और $क्यू2=कै।/२$

इस तरह $\beta$ और $\gamma$ पर आवागमन $क्यू+के / 2$ और $कै।/२$ हैं।

(सी) वेग $v$ को संघर्ष के बाद दूरी $d$ पर होने पर मानें। यदि $म$ प्लेट $\gamma$ का मास है, तो यात्रा पर कील-ऊँचाई में की प्राप्ति विद्युत क्षेत्र द्वारा की गई कार्य के बराबर होनी चाहिए।

संघर्ष के बाद, प्लेट $\gamma$ पर विद्युत क्षेत्र है

$\mathbf{E} _2=-\frac{क्यू}{2 वैरोसीताओ एस} \hat{\माथग्णःै}+\गामा{(क्यू+कै / २) }{/२ वैरोसीताओ }्षा}$ है

प्लेट $\gamma$ को छोड़ने पर संघर्ष तक कार्य $के_1$ है जहां $F_1$ प्लेट $\gamma$ पर बल है।

संघर्ष के बाद चालू करने और $d$ तक पहुँचने तक कार्य $F_2 d$ है जहां $F_2$ प्लेट $\gamma$ पर बल हैं।

सामग्री: $F_1=E_1 Q=\frac{(Q-q) Q}{2 \varepsilon_o S}$

और $F_2=E_2 q / 2=\frac{(q / 2)^{2}}{2 \varepsilon_o S}$

$\therefore \quad$ कुल की गई कार्य है

$\frac{1}{2 \varepsilon_o S}[(Q-q) Q+(q / 2)^{2}] d=\frac{1}{2 \varepsilon_o S}(Q-q / 2)^{2} d$

$\Rightarrow(1 / 2) m v^{2}=\frac{d}{2 \varepsilon_o S}(Q-q / 2)^{2}$

$\therefore v=(Q-q / 2)(\frac{d}{m \varepsilon_o S})^{1 / 2}$

~~ 1.29 (i) $\quad F=\frac{Q_q}{r^{2}}=1$ डीन $=\frac{[1 \text{ ईएसयू प्रेरणा ]}^{2}}{[1 सेमी]^{2}}$

या,

1 ईएसयू प्रेरणा $=1(\text{ डीन })^{1 / 2}(सेमी)$

इसलिए, $[1$ ईएसयू प्रेरणा $]=[F]^{1 / 2} L=[मात्रवेर्गMटी]^{1 / 2} L=M^{1 / 2} L^{3 / 2} T^{-1}$

[1 ईएसयू प्रेरणा] $=M^{1 / 2} L^{3 / 2} T^{-1}$

इस प्रकार इकाई cgs में प्रेरणा को M के $\left(\frac{1}{2}\right)$ और $L$ के $(\frac{3}{2})$ के अंशों के रूप में व्यक्त किया जाता है। (ii) इसमें दो बिन्दुओं पर कुलूंब बल ध्यान दें, प्रत्येक मात्रा 1 ईएसयू प्रेरणा की दूरी से दूर :

तो बल तो फिर 1 डीन $=10^{-5} एन$ है।

यह स्थिति आपातकालीन है: मात्रा $x C$द्वारा अलग किया गया द्बय क्रमशः $10^{-2}ओमका है।

इसके प्राप्त होता है:

$F=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{x^{2}}{10^{-4}}$

जो 1 डीन होना चाहिए $=10^{-5} न।$ इसलिए

$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{x^{2}}{10^{-4}}=10^{-5} \Rightarrow \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}=\frac{10^{-9}}{x^{2}} \frac{Nमें^{2}मिटर^{2}}{C^{2}}$

$x=\frac{1}{[3] \times 10^{9}}$ के साथ, इससे

$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}=10^{-9} \times[3]^{2} \times 10^{18}=[3]^{2} \times 10^{9} \frac{Nमें^{2}मिटर^{2}}{C^{2}}$

तब [3] $अ‍ॅर'2.99792458$, प्राप्त करते हैं हम

$ \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}=8.98755 \ldots \times 10^{9} \frac{Nमें^{2}मिटर^{2}}{C^{2}} \text{ बिल्कुल } $

~~ 1.30 $q$ की O केंद्र पर कुल बल $F$

$F=2 \frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_0 r^{2}} \cos \theta=-\frac{2 q^{2}}{4 \pi \varepsilon_0 r^{2}} \cdot \frac{x}{r}$

$F=\frac{-2 q^{2}}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{x}{(d^{2}+x^{2})^{3 / 2}}$

$\approx \frac{-2 q^{2}}{4 \pi \varepsilon_0 d^{3}} x=-k$ जब $x«d$ हो।

इसलिए, तृतीय आर्धिक पर बल बल विसंगति के लिए होता है और दुलनशील होता है, जिससे निकलने वाली शक्ति

$\omega=\sqrt{\frac{2 q^{2}}{4 \pi \varepsilon_0 d^{3} m}}=\sqrt{\frac{k}{m}}$

और इसलिए $T=\frac{2 \pi}{\omega}[\frac{8 \pi^{3} \varepsilon_0 m d^{3}}{q^{2}}]^{1 / 2}$।

~~ 1.31 (a) अक्ष के अनुसार $q$ पर हल्की धक्का दिया जाता है वृत्त के गतिशीलता प्रदर्शित किया जाता है (b) में यहां बताई गई स्थिति होती है। ए और ब गोली में दो प्रकार के हैं।

रेखा तत्वों के कारण $q$ पर बल $\frac{-Q}{2 \pi R}$ A और B पर होता है

$F _{\text{A+B }}=2 \cdot \frac{-Q}{2 \pi R} \cdot q \cdot \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{r^{2}} \cdot \cos \theta$

$=\frac{-Qq}{\pi R .4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{(z^{2}+R^{2})} \cdot \frac{z}{(z^{2}+R^{2})^{1 / 2}}$

(a)

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