ढलानों का सुपरपोजिशन (Dhlanon ka Superposition)
क्या है लहरों की सुपरपोजिशन?
लहरों की सुपरपोजिशन एक प्रक्रिया है जो होती है जब दो या अधिक लहरें परस्पर क्रियाशील होती हैं और परिणाम व्यक्तिगत लहरों का संयोजन होता है। किसी भी अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर कुल परिवर्तन व्यक्तिगत लहरों द्वारा उत्पन्न परिवर्तनों के योग के समान होता है।
सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार, एक मध्यम में किसी विशेष बिंदु पर परिणामी लहरों के संयोजन द्वारा होने वाली प्रतीमान, उसी बिंदु पर प्रत्येक लहर द्वारा उत्पन्न व्यक्तिगत प्रतीमानों के वेक्टर योग के रूप में होता है।
लहरों की सुपरपोजिशन के सिद्धांत पर गम्भीरता से विचार करें, एक दिये गए चट्टान पर एक पत्थर मारने पर उत्पन्न ध्वनि। इसके बाद, एक और पत्थर मारकर प्रतीक्षित अवधि तक इंतज़ार करें। उस अवधि के बाद, दोनों प्रतीमानों का संयोजन आपत्ति का कारण होगा। ध्वनि के बजाय चट्टान पर देखें, जहां से दोनों पत्थरों का प्रभाव प्रत्येक पल पर ध्वनिक डेल्टा पदार्थ के द्वारा दिखाई देता है।
जब एक ही समय में दोनों लहर एक के साथ ओवरलैप होने पर परिणामी प्रतीमान का पता लगाएं तो इसे y(x, t) द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है, जहां y1(x, t) और y2(x, t) दोनों लहरों के किसी तत्व के प्रतीमान हैं।
गणितीय रूप से, $y(x, t) = y_1(x, t) + y_2(x, t)$
हम सुपरपोजिशन के सिद्धांत का उपयोग कर सकते हैं उभरती हुई लहरों को बिनात्मक रूप से जोड़कर परिणामी लहर प्राप्त करने के लिए। चलो मान लें कि चालू लहरों की लहर फ़ंक्शनें हैं…
y1 = f1(x - vt)
y2 = f2(x - vt)
कुत्ता जोर से भौंका।
कुत्ता जोर से भौंका।
$y_n = f_n(x - v_t)$
फिर माध्यम में हमला वर्णकार की फ़ंक्शन को निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है
y = $f_1(x - vt) + f_2(x - vt) + \dots + f_n(x - vt)$
y = $\sum_{i=1}^{n} f_i(x-v_t)$
चलो मान लें कि एक चालू तार पर दो लहरें यात्रा कर रहीं हैं, जिन्हें निम्नानुसार दिया गया है:
- y1(x, t) = A sin (kx - ωt)
- y2(x, t) = A sin (kx - ωt + φ), जो दूसरे में एक फ़ेज़ फँसाने से पहले से थोड़ा आगे हैं
हम इस समीकरण से निष्कर्ष निकल सकते हैं कि दोनों लहरों में कोणीय आक्रिया, कोणीय लहरीय संख्या k, आवृत्ति और एक ही आंतरवल्ली A होती है।
परिणामी लहर का प्रतीमान $y(x, t) = A \sin (kx - \omega t) + A \sin (kx - \omega t + \phi)$ होता है, जो सुपरपोजिशन के सिद्धांत का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।
ऊपर का समीकरण पुनः लिखा जा सकता है:
y(x, t) = 2A cos(kx - ωt + ϕ/2). sin(ϕ/2)
परिणामी लहर एक साइनसॉइडल लहर है, पॉज़िटिव एक्स दिशा में यात्रा करती हुई, जहां चर कोण पृथक्करण कीभावना द्वारा होता है, और ऊर्जा आधारित लहरों के ऊर्जा के दो बार २कोस था।
लहरों की सुपरपोजिशन - वीडियो सबक
प्रकाश का विभिन्नांतरण एक प्रक्रिया है जिसमें दो लहरों का सुपरिमेघन होता है, जिससे कि उन्हें अधिक, घटित या समान प्रतीमान वाली प्राप्त लहर बनती है। यह आमतौर पर तब होता है जब दो लहरें एक ही आवृत्ति के होकर उलट दिशा में गतिशील हो रही होती हैं और आपस में ओवरलैप होती हैं।
दो (या) अधिक बहुतरंगी संख्या के वेव्स एक समय परंपरागत चरण अंतर वाली बहुतरंगी संख्याओं के एक समय पर पहुंचने पर ज़्यादा तीव्रता उत्पन्न करने वाले किसी कुछ बिन्दुओं पर और किसी अन्य बिंदु पर कम तीव्रता उत्पन्न करने की प्रक्रिया को ताड़न कहा जाता है।
वेव्स की ऊपरी ढलान किस्में
ताड़न को संघटित करने के लिए चरण अंतर के अनुसार, ताड़न को दो भागों में वर्गीकृत किया जा सकता है:
रचनात्मक ताड़न
यदि दो वेव्स एक साथ एक साथ आमतौर पर में मिलते हैं, तो परिणामी की अवतरण की अम्पलीट्यूड व्यक्तिगत वेव्स की अम्पलीट्यूडों के योग के बराबर होती है जिससे प्रकाश की अधिक तीव्रता होती है, इसे रचनात्मक ताड़न कहा जाता है।
संहारी ताड़न
यदि दो वेव्स एक दूसरे के साथ विपरीत चरण में मिलते हैं, तो परिणामी की अवतरण की अम्पलीट्यूड व्यक्तिगत वेव्स की अम्पलीट्यूड के अंतर के बराबर होती है, जिससे प्रकाश की कम तीव्रता होती है, इसे संहारी ताड़न कहा जाता है।
दो वेव्स के ताड़न में परिणामी तीव्रता
बिन्दु p पर यदि दो ऊँचाई के वेव्स के विकलन $y_1$ और $y_2$ संघटित होते हैं, तो यह दिया जा सकता है:
y = y1 + y2
वेव्स किसी बिन्दु पर मिल रहे होते हैं, केवल उनके अवस्थाओं में अंतर होता है। व्यक्तिगत वेव्स की विलासनाएँ दी गई हैं।
y1 = a \sin \omega t
y2 = b \sin (\omega t + \varphi)
यहाँ $a$ और $b$ उनकी आपसी ऊँचाई हैं और $\Phi$ दो वेव्स के बीच स्थिर चरण अंतर है।
उपरोक्त उपयोग सिद्धांत का अनुपालन करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
y = a sin ωt + b sin (ωt + θ) ~~~~~ (1)
दिखाऊंटी संकेतचित्र में समीकरण 1 का प्रतिनिधित्व करता है
परिणामी अम्पलीट्यूड A होती है और दो वेव्स के -1 कर रिश्तेदार चरण के प्रति किसी चरण कोण होता है।
y = A * sin(ω * t + θ)
A sin(ωt + θ) = a sin ωt + b sin (ωt + θ)
संहारी ताड़न के लिए, न्यूनतम तीव्रता, Imin, जब चरण अंतर, φ, -1 (कोस φ = -1) के बराबर होता है।
जब $\cos \phi = -1$ हो
φ = π, 3π, 5π, …
⇒ φ = (2n - 1)π, यहाँ n = 1, 2, 3, …
अगर Δx बिंदु p पर वेव्स के बीच मार्ग अंतर है।
(\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \phi)
(\Delta x=\frac{\lambda}{2\pi}\left(2n-1\right)\pi)
इसलिए, $\Delta x = \frac{2n-1}{2}\lambda$
संहारी ताड़न के लिए शर्त
‘चरण अंतर = $(2n - 1)\pi$’
मार्ग अंतर = (2n - 1)λ/2
I = I_{min}
(\begin{array}{l}{I_{\min}} = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1I_2}\end{array})
\(\left( \sqrt{{I_1}} - \sqrt{{I_2}} \right)^2\)
प्रकाश के ताड़न की शर्तें
स्रोत संगत होना चाहिए
त्रिसंगत स्रोत एक ही आवृत्ति रखनी चाहिए (मोनोक्रोमेटिक प्रकाशस्रोत)।
त्रिसंगत स्रोतों से वेव संख्याओं की अम्पलीट्यूड बराबर होनी चाहिए।
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फिजिक्स के लिए एचसी वर्मा समाधान
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#ढलानों पर आम सवाल
ढलानों का सुपरपोजिशन के परिणाम क्या होता है?
सकारात्मक संघटन और विनाशात्मक संघटन।
नोड और एंटी-नोड
नोड एक ऐसा बिंदु होता है जिस पर एक स्थितियोंविचलन ढलान की न्यूनतम आंशिकता होती है। आन्टीनोड एक ऐसा बिंदु है जिस पर एक स्थितियोंविचलन ढलान की अधिकतम आंशिकता होती है।
नोड शून्य प्रामाणिकता के बिंदु होते हैं, और एंटीनोडों के बिंदु अधिकतम प्रामाणिकता होती है।
सकारात्मक संघटन क्या होता है?
सकारात्मक संघटन उस समय होता है जब दो ढलानें मिलती हैं, जिससे एक ढलान एकल ढलानों की किसी से अधिक आंशिकता वाली एक ढलान के रूप में परिणय बनती है। यह तब हो सकता है जब दो ढलाने आपस में समरूप होती हैं, जिसका मतलब है कि उनकी तरंग और आंशिकता, और उनकी ऊंचाई और नीचाई में मेल खाता है।
सकारात्मक संघटन से उत्पन्न ढलान दोनों मूल ढलानों से बड़ी होती है जब दो ढलानों को सुपरपोजिशन द्वारा जोड़ा जाता है। इस ढलान में अधिक आंशिकता होती है लेकिन मूल ढलानों की तुलना में यह समान दिखती है।
विनाशात्मक संघटन क्या होता है?
विनाशात्मक संघटन एक ऐसी प्रक्रिया है जो होती है जब दो समान तरंगवाली ढलाने मिलकर मूल ढलानों की तुलना में छोटी आंशिकता वाली एक परिणामी ढलान बनाती है। यह जब होता है जब दो ढलाने आपस में विपरीत फेज में होती हैं, जिसका मतलब है कि एक ढलान के शिखर दूसरे के नीचे होते हैं।
जब दो ढलाने सुपरिम्पोज होते हैं, तो दो ढलानों की योग एक ढलान से कम हो सकती है और ज़िरो भी हो सकती है। इसे विनाशात्मक संघटन कहा जाता है।— title: “ढलानों का सुपरपोजिशन (Superposition Of Waves)” name_multi: “ढलानों का सुपरपोजिशन (Dhlanon ka Superposition)” link: “/superposition-of-waves” draft: false
ढलानों का सुपरपोजिशन क्या होता है?
ढलानों का सुपरपोजिशन एक भौतिकी में एक सिद्धांत है जो कहता है कि जब दो या अधिक ढलाने मिलती हैं, तो परिणामी ढलान एकल ढलानों के योग होती है। इसका मतलब है कि परिणामी ढलान की आंशिकता एकल ढलानों की आंशिकताओं के योग के बराबर होती है।
सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार, किसी एक बिंदु पर किसी ढलान के मिश्रण के कारण माध्यम की स्थानांतरण, सभी ढलानों के व्यक्तिगत स्थानांतरणों की जोड़ होती है।
ढलानों के सुपरपोजिशन के सिद्धांत
हम देख सकते हैं कि विस्तारित तार के किसी भी तत्व की कुल स्थानांतरण किसी एक समय पर एक दूसरे के प्रतियोगी दिशाओं में चलने वाली दो ढलानों द्वारा किए गए स्थानांतरणों की बिलकुलसही जोड़ी होती है, जैसा कि तरंगवाली में दिखाया गया है।
एकलत्र में दो अकेले ढलानों का परिणामी स्थानांतरण, जब वे ओवरलैप होते हैं, $y(x,t)$ द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है, जहां $y1(x,t)$ और $y2(x,t)$ उन दोनों ढलानों के तत्वों के स्थानांतरण होते हैं।
गणितीय दृष्टि से, $$y(x,t) = y_1(x,t) + y_2(x,t)$$
अतीततत्व के सिद्धांत के अनुसार, हमचर तालिएदार तरंगों को क्रियाशील रूप से जोड़कर परिणामी तारंग उत्पन्न कर सकते हैं। हम यह मान लेते हैं कि चल रही तरंगों के तरंग-कार्यों को $\psi_1$ और $\psi_2$ रूप में दिया गया है। तब परिणामी तरंग को $\psi_{परिणामी} = \psi_1 + \psi_2$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
y1 = f1(x - v*t)
y2 = f2(x - v * t)
यह एक सुंदर दिन है!
हाँ, यह वाकई एक सुंदर दिन है!
y_n = f_n(x - v_t)
तब माध्यम में हुई व्यवस्था का विवरण देने वाली तरंग-कार्य को इस तरह से व्यक्त किया जा सकता है।
y = $f_1(x - vt) + f_2(x - vt) + \dots + f_n(x - vt)$
$y = \sum_{i=1}^{n} f_i(x - v_t)$
चलती हुई एक खिंची हुई तार पर दो तरंगों का विचार करें, जो निम्न प्रकार हैं:
- y1(x, t) = A sin (kx - ωt)
- y2(x, t) = A sin (kx - ωt + φ), पहली तरंग से एक ध्रुवीय भिन्नता φ द्वारा भिन्न
मसूदों से हम देख सकते हैं कि दोनों तरंगों में समान कोणीय आवृत्ति, समान कोणीय तारंग संख्या k, हेंसे समान तरंगदैर्घ्य और समान गति A होती है।
परिणामी तारंग की स्थानांतरण y(x, t) = 2A \sin(kx - \omega t + \phi) होती है
ऊपरी समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
y(x, t) = 2A \cos(kx - \omega t + \phi/2). \sin(\phi/2)
परिणामी तारंग धारण करती है, सकारात्मक X दिशा में एक साइनसॉइडल तरंग के रूप में, जिसमें एक चरण कोण $\frac{1}{2}\phi$ होता है, जहां $\phi$ व्यक्तिगत तरंगों का चरण अंतर है, और मूल तरंगों के आयामों के $2\cos\frac{\phi}{2}$ गुणा होता है।
तारंगों का अत्रसंचलन - वीडियो सबक
प्रकाश का एकतरण क्या है?
प्रकाश का एकतरण वह घटना है जिसमें दो या अधिक प्रकाश तरंगों का परस्पर क्रियाशील होने के कारण उनके संयोजन या प्रतिसंयोजन से उनके संयुक्त भौतिकत्वों के प्रभाव का उत्पन्न होना। यह घटना सबसे आमतौर पर एक एकतरण पैटर्न के रूप में देखी जाती है जो तारंगों के ओवेरलैपिंग के कारण उत्पन्न होता है।
एक ऐसी घटना जिसमें दो (या) अधिक समान आवृत्ति वाली तारंगें बतौर गतिमान ध्रुवीय अंतर वाले एक प्रतीक पर एक साथ पहुंचती हैं, “एकतरण” के रूप में जानी जाती है।
बाधाकारी तारंगों के प्रकार
अविलंबी में आपस में स्वरेखा, एकत्रण दो श्रेणियों में विभाजित है कि कारणी एकत्रण और नाशक एकतरण।
करक एकत्रण
यदि दो तारंगें एकत्र हों, तो परिणामी की गति में कोई अंतर नहीं होता है, इसलिए परिणामी की अवतरण $2\pi$ होती है, जो प्रकाश की अधिकतम प्रतिसंवेदनता कोण कहलाती है।
नाशक एकतरण
यदि दो तारंगें एकत्र होती हैं, तो प्रतिसंवेदन की गति में एक अन्तर होता है, जिसके कारण परिणामी अवतरण प्रकाश की न्यूनतम प्रतिसंवेदनता कोण कहलाती है।
दो तारंगों के एकतरण में परिणामी प्रतिसंवेदनता
धन, प्रतीक p पर अवतरण की परिणामी स्थानांतरण, y1 और y2 के द्वारा संयोजित तारंगों की पारंपरिकता द्वारा दी जाती है:
किसी सामयिकता के भंग रोकने के लिए इसका प्रयास करना सामयिकता कहलाता है. यह संघटित हो जाती है जब दो या अधिक ऊर्जाओं का मिलान होता है और उन्हें अपनी मार्क को ऊंचा करने के लिए उच्चतम कर देता है. इस प्रक्रिया में द्वितात्+याओं के सूर्यमणि इनकी परंपरा मॉनो क्रोमेट्रिक प्रकाश स्रोतों के बराबर होने चाहिए (mono chromatic light source). एकीकृत स्रोतों के लिए शुरूआती सामयिकता की ऊँचाई उन्नति की अपेक्षा सेल धराए उच्चतम होती है.
वाव सिद्धांत में, विनाशकारी परावर्तन एक घटना है जहां दो समान आवृत्ति की धाराएं संयोजित होकर एक छोटी ऊंचाई वाली धारा बनाती है। यह जब होता है जब दो धाराएं आपस में पृथक्क या उलट-पुलट होती हैं, अर्थात एक धारा का शिखर दूसरी धारा के नीचे पड़ता है।
जब दो धाराएं मिलाकर, दोनों धाराओं का योग किसी एक भी धारा की तुलना में कम और यह भी शून्य हो सकता है। इसे विनाशकारी परावर्तन कहा जाता है।
