स्टेफेन बोल्ट्जमन कानून
स्टेफन बोल्ट्जमन का कानून यह कहता है कि एक काले शरीर के एकीक सतह क्षेत्र प्रति इकाई समय में संपूर्ण ऊर्जा खारित की जाती है जो शारीर के थर्मोडायनामिक तापमान की चौथाई शक्ति के समानानुपात में होती है।
स्टेफन बोल्ट्जमन के कानून के अनुसार, कालेशरीर के एक क्षेत्र A से प्रति इकाई समय में खारित रेडिएशन की मात्रा अवशेषय तापमान T के चौथाई शक्ति के समानानुपात में होती है।
उ / ए = $\sigma T ^ 4$ (1)
यहां $\sigma$ स्टिफन की संधि है = $5.67 \times 10 ^ {-8} \text{ वॉल्ट / मीटर} ^ 2 \text{केल्विन} ^ 4$
एक शरीर जो एक कालेशरीर कम जीर्णता और इसलिए कम रेडिएशन की खारित देता है, जो समीकरण (1) द्वारा दिया जाता है।
इस तरह के एक शरीर के लिए, $$ उ = e \sigma AT ^ 4 $$ (2)
जहां e = बेजनियता (जो शून्य और 1 के बीच होती है)।
एक क्षेत्र A से प्रति इकाई समय में नेट ऊर्जा खारित T0 पर।
Δu = u- u_o = eσA [T_4 - T_{04}]……. (3)
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स्टेफन-बोल्ट्जमन का कानून इसे कहता है कि एक कालेशरीर से संपूर्ण ऊर्जा खारित तापमान के चौथे गुणक के बराबर होती है, अर्थात $E \propto T^4$।
कालेशरीर का थर्मोडायनामिक तापमान सभी तरंगों पर प्रति इकाई समय में संपूर्ण ऊर्जा छिताव के चौथे गुणक के बराबर होता है।
#स्टेफन-बोल्ट्जमन के कानून की गणना
एक कालेशरीर के एकीक सतह पर सभी तरंगों के लिए प्रति इकाई क्षेत्र का योगदानी सवारी प्रणाली इंटीग्रेटिंग करके प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार, तारांकन तरंग के अनुसार प्रति इकाई क्षेत्र की संपादित शक्ति है:
(\frac{dP}{d\lambda}\frac{1}{A} = \frac{2\pi hc^2}{\lambda^5 \left(e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1\right)}) उन्होंने कहा
“`जहां,”’ उन्होंने कहा,"'
P शक्ति छिताव की है।
कालेशरीर का सतह क्षेत्र A द्वारा प्रकट किया जाता है।
λ छितावित आवरण की तारा।
H प्लांक का सार्वभौमिक है।
प्रकाश की गति c है।
K बोल्टजामन का सार्वभौमिक है।
T का अर्थ है तापमान।
सरलीकृत स्टेफन बोल्ट्जमन समीकरण:
(\frac{d\left ( \frac{P}{A} \right )}{d\lambda } = \frac{2\pi hc^{2}}{\lambda^{5} \left(e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1\right)})
दोनों पक्षों को $\lambda$ के साथ इंटीग्रेट करने और सीमाओं का उपयोग करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:
$$\int_{0}^{\infty} \frac{d\left(\frac{P}{A}\right)}{d\lambda} = \int_{0}^{\infty} \left[\frac{2\pi hc^2}{\lambda^5 \left(e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1\right)}\right] d\lambda$$
इंटीग्रेटेड शक्ति समानांतर स्थानांतरित करने के बाद है:
(\begin{array}{l} \frac{P}{A} = 2\pi hc^2 \int_{0}^{\infty} \left[ \frac{d\lambda}{\lambda^5 \left(e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1 \right)} \right] \dots \text{(1)} \end{array})
इसे सद्यतन सिद्ध किया जा सकता है ज्ञानत का उपयोग करके।
\(\begin{array}{l}x = \frac{hc}{\lambda kT}\end{array}\)
इसलिए, $$dx = -\frac{hc}{\lambda^2 kT}d\lambda$$
(\begin{array}{l} h=\frac{x\lambda kT}{c}\end{array})
‘(\begin{array}{l}c=\frac{x\lambda kT}{h}\end{array})’
(\begin{array}{l}
कंटेंट का हाई संस्करण क्या है: (\Rightarrow d\lambda = -\frac{hc}{\lambda^{2}kT} dx\end{array})
इन्हें समीकरण (1) में अनुप्रयोग करने से परिणाम में
(\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{P}{A} = 2\pi \left ( \frac{x\lambda kT}{c} \right ) \left ( \frac{x\lambda kT}{h} \right )^{2} \int_{0}^{\infty} \left [ \frac{\left ( -\frac{\lambda^{2}kT}{hc} \right )dx}{e^{x}-1} \right ] \end{array} )
(\begin{array}{l}= 2\pi \left ( \frac{x^{3}k^{4}T^{4}}{h^{3}c^{2}} \right )\int_{0}^{\infty }\left [ \frac{dx}{e^{x}-1} \right ]\end{array} )
$$\frac{2\pi \left ( kT \right )^{4}}{h^{3}c^{2}}\int_{0}^{\infty }\left [ \frac{x^{3}}{e^{x}-1} \right ]dx$$
ऊपरी समीकरण को एक निर्दिष्ट आधारभूत ढंग से तुलना की जा सकती है:
(\int_{0}^{\infty}\left[\frac{x^3}{e^x - 1}\right],dx = \frac{\pi^4}{15})
इसलिए, ऊपरी परिणाम को अनुप्रयोग करते हुए हम प्राप्त करते हैं:
(\frac{P}{A}=\frac{2\pi \left ( kT \right )^{4}}{h^{3}c^{2}}\frac{\pi ^{4}}{15})
(\frac{P}{A} = \left ( \frac{2k^4 \pi^5}{15h^3 c^2} \right ) T^4)
और आगे सरलित करते हुए हमें मिलता है:
P/A = σ T4
इस प्रकार, हम स्टीफन बोल्टज़मेन के कानून का एक गणितीय रूप तक पहुंच जाते हैं:
ε = σT4 पूछा, ‘पुस्तकालय है?’
पूछा, “पुस्तकालय कहाँ है?”
Ε = P / A
(\sigma = \left ( 5.670\times 10^{8};\frac{watts}{m^{2}K^{4}} \right ) = \left ( \frac{2 k^{4}\pi ^{5}}{15h^{3}c^{2}}\right ))
इस क्वॉन्टम मैकेनिकल परिणाम ने सरलतापूर्वक व्यायाम का वर्तमान किया है, जिसे क्लैसिकल मैकेनिक्सपूर्वक नहीं भविष्यवाणी कर सकता था!
स्टीफन बॉल्टज़मेन के कानून पर समस्याएं
जवाब: ध्यान दें: एक जिस्म के द्वारा उत्पन्न जीवित शक्ति की प्रारंभिक मान्य दर की गणना करें (एक्सीक्रिटिविटी (e = 0.75) के साथ) जिसमें एक सतह क्षेत्र है 300 सेमी 2 और तापमान 227 ° सी, रुम में एक तापमान 27 ° सी पर रखा गया है, स्टीफन बोल्टज़मेन के कानून का उपयोग करके।
समीकरण 3 का उपयोग करते हुए
पी = (\epsilon \sigma A \left( T^4 - T_0^4 \right))
= (0.75) (\times) (5.67 (\times) 10(^{-8}) W/m(^2) - k(^4)) (\times) (300 (\times) 10(^{-4}) m(^2)) (\times) (\left[(500 K)^4 - (300 K)^4\right])
69.4 Watts
उदाहरण 2: जब एक गर्म काले शरीर का तापमान बढ़ाकर इसकी सबसे अधिक प्रकाशवीयता 10,000 Å के बराबर होती है, तो वह उत्पन्न करता है 32 जूल मी-२ सेकंड-१।
दिया:
यह एक शीर्षक है
हल:
यह एक शीर्षक है
वाइन’एस डिस्प्लेसमेंट लॉ इस है: $$\lambda m.T = b$$
T ∝ \frac{1}{\lambda m}
यहाँ, जब λm आधे हो जाता है, तापमान दोगुना होता है।
‘अब, स्टीफन बोल्टज़मेन के कानून में से e = sT^4’
e1/e2 = (T1/T2)^4
e2 = (T2/T1)^4, e1 = 16
= 256 J m⁻² s⁻¹
जांच करें:
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)
स्टीफन बोल्टज़मेन का कानून क्या है?
स्टीफन बोल्टज़मेन का कानून कहता है कि एक काला शरीर द्वारा सबसे पहले क्षेत्र के लिए उत्पन्न होने वाला विकिरण एकीकृत क्षेत्र प्रति इकाई के साथ तापमान के चौथी शक्ति के रूप में प्रतिष्ठित होता है। स्टीफन का स्थायी मान क्या है?
स्टीफन का स्थायी मान 5.67 x 10-8 W m-2 K-4 का होता है।
सघनता का मूल्य सीमा 0 से 1 तक की होती है।
सघनता का मूल्य सीमा 0 और 1 के बीच होती है।
