क्या होता है स्प्रिंग-मास सिस्टम?

एक स्प्रिंग-मास सिस्टम एक ऐसा प्रकार का सिस्टम है जो किसी वस्तु के सरल संतुलित गति की अवधि की गणना के लिए उपयोग किया जा सकता है। इसके अलावा, इसका उपयोग कंप्यूटर ग्राफिक्स और पैर की त्वचा के विक्रमण के लिए मानव नसों की गति के मॉडलिंग में किया जा सकता है।

स्प्रिंग की मास और अवधि के बीच संबंध क्या है?

समझें कि एक स्प्रिंग की मास m और स्प्रिंग संख्या k के साथ एक बंद माहौल में है, जो सरल संतुलित गति (SHM) को प्रदर्शित करता है।

$$T = \frac{2\pi \sqrt{m}}{k}$$

ऊपर के समीकरण से स्पष्ट होता है कि तत्वावधि तलमेल और अम्लगदल से असंपर्क है। इसके अलावा, एक स्थिर बल तत्वावधि पर कोई प्रभाव नहीं डाल सकता। इसके अलावा, समयावधि उस प्रभारि वस्तु के भार के समानुपातिक है जो स्प्रिंग से जुड़ा हुआ है। इसलिए, जब इसके साथ एक भारी वस्तु जुड़ी होती है, तब यह धीमी गति से अवतरण करेगा।

स्प्रिंग मास सिस्टम के व्यवस्थाएँ

• स्प्रिंग-मास सिस्टम दो तरीकों से व्यवस्थित किए जा सकते हैं: 1. 2.

स्प्रिंग की परालेल व्यवस्था

स्प्रिंग की शान्ति हर स्प्रिंग पर समान है।

लेकिन पुनर्स्थापन बल अलग होता है;

\begin{array}{l}F={{F}_{1}}+{{F}_{2}}\end{array}

क्योंकि $$एफ = -केx$$, उपरोक्त समीकरण को इस तरह लिखा जा सकता है $$एफ = -केx$$

\begin{array}{l}-{{क}_{प}}x=-{{क}_{1}}x-{{क}_{2}}x\end{array} \Rightarrow

\Rightarrow -x{{क}_{प}} = -x{{क}_{1}} - x{{क}_{2}}

$$\begin{array}{l} \Rightarrow {{क}_{प}} = {{क}_{1}} \cdot {{क}_{2}} \end{array}$$

जांचें:

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ध्रुवीय व्यवस्था का अवधि

(\begin{array}{l}T=2\pi \sqrt{\frac{m}{{{क}_{1}}+{{क}_{2}}}}=2\pi \sqrt{\frac{m}{{{क}_{प}}}}=\frac{2\pi }{\omega }\end{array} )

श्रृंग श्रृंग व्यवस्था

प्रत्येक स्तरीय पर बल समान होता है, लेकिन प्रत्येक स्तरीय का अवतरण अलग होता है।

(\begin{array}{l}x_{1} + x_{2} = x\end{array})

क्योंकि $एफ=-कx$, उपरोक्त समीकरण को इस तरह लिखा जा सकता है:

(\begin{array}{l}\frac{F}{क_{स}}= \frac{F}{क_{1}}+\frac{F}{क_{2}}\end{array} )

(\begin{array}{l}क_{स} = क_{1}क_{2} \\ \frac{1}{क_{स}}= \frac{1}{क_{1}}+\frac{1}{क_{2}}\end{array})

$$\Rightarrow क_स = \frac{क_1 \cdot क_2}{क_1 + क_2}$$

श्रृंग की अवधि श्रृंग व्यवस्थाओं में

(\begin{array}{l}T=2\pi \sqrt{\frac{m\left( {{क}_{1}}+{{क}_{2}} \right)}{{{क}_{1}}{{क}_{2}}}}\end{array})

स्प्रिंग संख्या

फ़ोर्स और अवतरण के बीच संबंध को हुक का नियम कहा जाता है

Young’s Modulus of Elasticity, $$Y = \frac{Stress}{Strain} = \frac{\frac{F}{A}}{\frac{\Delta L}{L}}$$

हमारे पास,

F = स्प्रिंग को विस्तारित या संकुचित करने के लिए आवश्यक बल

A = विस्तारित बल लगाने का क्षेत्र

L = सामान्य लंबाई

ΔL = लंबाई में परिवर्तन

(\frac{Y\Delta L}{L}=\frac{F}{A})

(\begin{array}{l}F=\frac{Y}{L}\left( \Delta L \right)\end{array})

(\begin{array}{l}K=\frac{Y}{A} \div L\end{array})

(\begin{array}{l}K \propto \frac{1}{L}\end{array})

इसलिए, समीकरण को निम्नप्रकार संशोधित किया जा सकता है:

‘(\begin{array}{l}F = K\cdot x\end{array})’

नई पदार्थों की स्प्रिंग संख्या के मात्रात्मक मान होगा 2K।

(\begin{array}{l}K\propto \frac{1}{L}\end{array} )

इसलिए, (K = \frac{2K}{L})

स्प्रिंग संख्या: एक वीडियो

स्प्रिंग संख्या को समझना

एक स्प्रिंग मास प्रणाली की समय अवधि कैसे ढूंढें?

![स्प्रिंग मास प्रणाली]()

चरण:

1. एसएचएम (जहां नेट बल शून्य के बराबर होता है) की औसत स्थिति खोजें एक समतल स्प्रिंग-मास प्रणाली में।

स्प्रिंग की प्राकृतिक लंबाई के बराबर है संतुलन स्थान की स्थिति।

वस्तु को इसके संतुलन स्थान (या) औसत स्थिति से छोटी दूरी (x) से हटाएं। दूरी x के लिए संयमयन सामर्थ्य बल इस प्रकार दिया जाता है

F = -kx (1)

बाह्य बल को वस्तु की त्वरण के रूप में दिया जाता है a = $\frac{F}{m}$

(1) से F की मान को बदलकर, हमे लाभ मिलता है

(\begin{array}{l}a = \frac{kx}{m}\end{array})

अवकाश के पदार्थ की त्वरण इस प्रकार व्यक्त की जा सकती है

(\begin{array}{l}a=\frac{d^2x}{dt^2}…(2)\end{array} )

दोनों (1) और (2) को समान करना

(\frac{k}{m} = {{\omega }^{2}})

‘\(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\)’

Simple Harmonic Motion के मानक समय अवधि व्यक्ति में विभाजन के लिए ω की मान को प्रतिस्थापित करें।

(\begin{array}{l}T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\end{array})

$$T = 2\sqrt{\frac{Mass}{Force\,constant}}$$

वस्तु-मास प्रणालियों पर समस्याएं

प्रश्न 1: एक खंबा के जनरल एसएचएम मे लिनियर सारणी मे स्थिरता गड़ जब इसकी त्वरण सर्वाधिक संभव तथा वेग नशोंभित है।

दिया गया:

यह एक शीर्षक है

निराकरण:

यह एक शीर्षक है

(\overrightarrow{a} = A \omega^2 \cos(\omega t + \phi))

‘\(\overrightarrow{{{a}_{\max }}} = A{{\omega }^{2}}\)’

(\Rightarrow \frac{{{a}_{\max }}}{2}=A{{\omega }^{2}}\sin \left( \frac{\pi }{6} \right))

चरण $\left( \omega t+\phi \right)=\frac{\pi }{6}$

(\begin{array}{l}\Rightarrow v=A\omega \cos \left( \frac{\pi }{6} \right)=A\omega \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array})

(\begin{array}{l} \Rightarrow x = A \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{A}{2} \end{array})

(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( v=\frac{A\omega \sqrt{3}}{2},,and,,x=\frac{A}{2} \right) \end{array})

प्रश्न 2: लिनियर एसएचएम को किसी के सामयिक गति संख्या के रूप में यदि एक खंबा गति y1 तथा y2 संतुलन स्थान से समान दूरी, तो तारंग उच्चता क्या होगी?

दिया गया:

मेरी वेबसाइट में आपका स्वागत है!

निराकरण:

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विषय: \(\begin{array}{l}v=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{y}^{2}}} \end{array}\)

(\begin{array}{l} \Rightarrow {{v}^{2}}={{\omega }^{2}}\left( {{y}^{2}}-{{A}^{2}} \right)\end{array})

(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{\omega }^{2}}}{{{v}^{2}}}=\left( {{y}^{2}}-{{A}^{2}} \right) \end{array})

(\begin{array}{l} \frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}+{{y}^{2}}={{A}^{2}} \\Rightarrow (1) \end{array})

$$A^2 = \frac{v_1^2}{\omega^2} + y_1^2 = \frac{v_2^2}{\omega^2} + y_2^2$$

(\begin{array}{l}\frac{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{{{\omega }^{2}}}=y_{1}^{2}-y_{2}^{2}\end{array} )

(\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}{y_{2}^{2}-y_{1}^{2}}={{\omega }^{2}}\end{array} )

‘\(\omega = 2\pi f\)’

$$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{v_1^2 - v_2^2}{y_2^2 - y_1^2}\right]^{\frac{1}{2}}$$

Q.3: खुद्रा का अधिकतम विस्थापन क्या है?

जब विस्थापन आंतरभौत हैलांकि का चौथाभाग हो, तब कुल ऊर्जा किनेटिक ऊर्जा का कितना भाग होता है?

ऐसे किस विस्थापन पर ऊर्जा आधी किनाटिक और आधी संभावित होती है?

दिया गया है:

यह एक हेडिंग है

समाधान:

यह एक हेडिंग है

$$KE=\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}\left( {{A}^{2}}-{{y}^{2}} \right)$$

‘(\begin{array}{l}PE = \frac{1}{2}m\omega^2y^2\end{array})’

(\begin{array}{l} \Rightarrow E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \end{array})

(a) जब $$y=\frac{A}{4},$$ KE होती है

(\begin{array}{l}KE=\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}\left( {{A}^{2}}-{{\left( \frac{A}{4} \right)}^{2}} \right)\end{array})

\\(\frac{15}{32}m\omega^2A^2\\)

100% of E = [(15/16) x 100]%

93% कुल ऊर्जा किनेटिक ऊर्जा होती है

KE = PE

(\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{y}^{2}} = \frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}\left( {{A}^{2}}-{{y}^{2}} \right))

‘(\begin{align*}y &= \frac{A}{\sqrt{2}}\end{align*})’

Q.4: सामान्य मास के विचलन का समय अवधि क्या है, जब इसे तीनों स्प्रिंग्स में से एक द्वारा खींचा जाता है, जो कि एक दूसरे के साथ बराबर कोणों पर जुड़े हुए हैं और एक साथ जुड़े हुए हैं?

\(\begin{array}{l}(a)\ 2\pi \sqrt{\frac{K}{M}}\end{array} \)

\(\displaystyle 2\pi \sqrt{\frac{M}{2K}}\)

\(\displaystyle 2\pi \sqrt{\frac{2M}{3K}}\)

\(\displaystyle 2\pi \sqrt{\frac{2M}{K}}\)

दिया गया है:

यह एक हैडिंग है

समाधान:

यह एक हैडिंग है

इसे खींचा जाता है एक ऊपरी स्प्रिंग द्वारा, और प्रत्येक को बराबर कोणों पर जुड़ा जाता है।

(\cos 60{}^\circ = \frac{x}{\Delta x})

(\begin{array}{l}\Rightarrow x\cos 60{}^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\Delta ,x\end{array} )

(\begin{array}{l}\frac{x}{2}=\Delta ,x\end{array})

‘\(\begin{array}{l}{{F}_{net}}=Kx+Kx\cos 60{}^\circ\end{array}\)’

(\begin{array}{l}Kx + \frac{Kx}{2} = \frac{3Kx}{2}\end{array} \Rightarrow 2Kx = 3Kx \Rightarrow Kx = 0\end{array})

(\begin{array}{l}{K_{eqn}}x=\frac{2Kx}{3}\end{array})

(\begin{array}{l} \Rightarrow K_{eqn} = \frac{3K}{2} \end{array})

जो भी विद्यार्थी हों, ज्ञान की आपूर्ति करो और आप वही थे जो करने के लिए योग्य हों