सरल संपत्ति गति

सरल संपत्ति गति (एसएचएम) एक प्रकार की आवर्ती गति या ओसिलेशन होती है जहां बहाल करने वाला बल सीधे उतार चढ़ाव के प्रतिष्ठान के साथ क्रमी अनुपातित होता है। इसकी पहचान सांसरदार पैटर्न द्वारा की जाती है, जिसमें समय के किसी भी समय पर, ओसिलेटिंग वस्तु का विस्थापन समय के sine के अनुपात में होता है।

सरल संपत्ति गति (एसएचएम) को उस प्रकार की गति के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें शरीर की प्रतिष्ठान से इसकी प्रतिस्थान से शरीर की वापसी बहुमूलक रूप में सीधे अनुपातित होती है। इस प्रतिस्थान के प्रति इस वापसी बहुमूलक बल का दिशा हमेशा यही होती है। एसएचएम को कर्म करते हुए एक कण की त्वरण निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है: a(t) = -ω2x(t), जहां ω कण की कक्षीय वेगवित्त है।

सामग्री सूची

• [आवृत्ति छायांकन और सरल संपत्ति में अंतर] (#आवृत्ति-छायांकन-और-सरल-संपत्ति-में-अंतर)
• [सरल संपत्ति गति के प्रकार] (#सरल-संपत्ति-गति-के-प्रकार)
• [सरल संपत्ति गति में सामान्य शर्तें] (#सरल-संपत्ति-गति-में-सामान्य-शर्तें)
• [एसएचएम का

## मुख्यतः और अध्यात्मिकस्वरूपसम्वाबलस्वरूपीभविष्यानुसार Periodic Motion, Oscillation और Simple Harmonic Motion के बीच की अंतर

• आवर्तत्मक गति (Periodic Motion) एक प्रकार की गति है जिसमें एक वस्तु या प्रणाली नियमित अंतरालों पर अपनी गति को दोहराती है।

• ओसिलेशन (Oscillation) एक प्रकार की आवर्तत्मक गति है जिसमें एक वस्तु या प्रणाली दो स्थानों के बीच वापस और आगे की ओर हिलती या चलती है।

• सरल आरामिक गति (Simple Harmonic Motion) एक प्रकार की ओसिलेटरी गति है जिसमें एक वस्तु या प्रणाली नियमित, आवर्तयुक्त ढंग से आगे-पीछे हिलती है। इसमें प्रमाणित किया जाता है कि संतुलन स्थिति से प्रणाली को वापस लाने वाली बल कार्य करता है।

आवर्तत्मक गति (Periodic Motion)

इस आवर्तत्मक गति का एक समय अंतराल के बाद खुद को दोबारा बनाने की गति होती है, जैसे कि समानवृत्तियों की गति।

कोई संतुलन स्थिति नहीं होती है।

कोई ऐसा बल नहीं है जो मूल स्थिति को पुनः पुनः बना सके।

एक स्थिर संतुलन स्थिति नहीं होती है जो स्थायी हो।

ऊलटवाली गति (Oscillatory Motion)

• किसी एक औसत या संतुष्टि स्थिति के आस-पास आगे-पीछे चलते हुए एक कण के गतिविधि को ऊलटवाली गति कहते हैं।
• ओसिलेशन कोई ऐसा ही आवर्तमान गति है जिसे दो अनुत्तरीय संकेतों के बीच सीमित कर दिया गया है, जैसे कि एक सादे लतकी या एक स्प्रिंग-मास सिस्टम की झूलना।
• वस्तु किसी निश्चित बिंदु के चारों ओर अगर उच्चतम और निम्नतम बिंदुओं के बीच परिधान - मध्यस्थ बिंदु, अगर उसका कुछ रास्ता होता है, तो रास्ता अनिश्चित होने के बावजूद यह लगातार ऊलटवाली गति करेगी।
• एक संतुष्टि शक्ति संतुष्टि स्थान (या) मध्यस्थ स्थान की ओर निर्दिष्ट होगी।
• ऊलटवाली गति में मध्यस्थ स्थान पर कण पर कुल बल शून्य है।
• मध्य स्थिति एक स्थिर संतुष्टि स्थिति होती है।

सरल आरामिक गति (Simple Harmonic Motion, SHM)

सरल आरामिक गति (SHM) का पथ दो निष्ठित बिन्दुओं के बीच एक प्रतिबद्ध आवर्तन होता है।

वस्तु का पथ सीधा होना चाहिए।

मध्यस्थ स्थान (या) संतुष्टि स्थान की ओर बाध्य संज्ञान होगा।

साधारित(अथवा) में स्थिर संतुष्टि है।

एसएचएम के लिए शर्तें

$\begin{array}{l}\begin{array}{c}\overrightarrow{F}\propto -\overrightarrow{x}\\ \overrightarrow{a}\propto -\overrightarrow{x}\end{array}\end{array}$

सरल आरामिक गति (एसएचएम) के प्रकार

एसएचएम या सरल आरामिक गति दो श्रेणियों में विभाजित की जा सकती है:

रैखिक एसएचएम

कोणीय एसएचएम

रैखिक सरल आरामिक गति

जब एक कण एक (संतुलन स्थान के रूप में ज्ञात) निर्दिष्ट रेखा के चारों ओर आगे-पीछे हिलती है, तो इसे रैखिक सरल हारमोनी गति के रूप में कहा जाता है।

उदाहरण: स्प्रिंग-भार प्रणाली

रैखिक सरल हारमोनी गति की शर्तें:

1. पुनर्स्थापन बल विस्तृतता के साथ सीधे पुनर्थान के समानुपाती होता है।
2. पुनर्थान विस्तृतता के विपरीत दिशा में होता है।
3. त्वरण विस्तृतता के समानुपाती होता है और मूल की ओर दिशा होता है।

कण पर पर्याप्त बल या त्वरण हमेशा कण के विस्तार पर समानुपाती होना चाहिए और संतुलन स्थान की ओर निर्दिष्ट करना चाहिए।

\begin{array}{l}\begin{matrix} \overrightarrow{F} \ \propto \ -\overrightarrow{x} \ \overrightarrow{a} \ \propto \ -\overrightarrow{x} \ \end{matrix}\end{array}

$\overrightarrow{x}$ - संतुलन स्थान से कण का विस्तार

$\overrightarrow{F}$ - पुनर्स्थापन बल

$\overrightarrow{a}$ - त्वरण

कोणीय सरल हारमोनी गति

जब एक प्रणाली एक निर्दिष्ट धुरी के संग स्पंदन करती है, तो इसे कोणीय सरल हारमोनी गति कहा जाता है।

कोणीय एसएचएम कार्यान्वयन की शर्तें:

कण पर कार्यान्वित हो रही पर्याप्त मोमबत्ती हमेशा कण के कोणीय विस्तार के प्रतिष्ठान के साथ संबंधित होनी चाहिए और संतुलन स्थान की ओर दिशा होनी चाहिए। कोणीय त्वरण को भी पुनर्स्थापन बल के रूप में जाना जाता है।

$\theta \propto {\rm T}$ या $\theta \propto \alpha$

Τ - तत्त्व

α कोणीय त्वरण

θ - कोणीय विस्तार

सरल हारमोनी गति के मुख्य शब्द

मध्य स्थिति

कण पर कुल बल निर्माण।

मध्य स्थिति से, कण पर कार्यान्वित हो रहे बल है

$$(\overrightarrow{F} \propto -\overrightarrow{x})$$

\begin{array}{l}\overrightarrow{a} \sim -\overrightarrow{x}\end{array}

मध्य स्थिति में शर्तें

$\begin{array}{l}\overrightarrow{F_{net}}=0\\ \overrightarrow{a}=0\end{array}$

कण पर कार्यान्वित बल विस्तार के समान और उलटी दिशा में है। इसलिए, यह संतुलित संतुलन का बिंदु होगा।

अंप्लीट्यूड में सरल हारमोनिक चल

यह तत्व अपने औसत स्थिति से अधिकतम संभव दूरी है।

सरल हारमोनिक चल का समय अवधि और आवृत्ति

समय अवधि एक तत्व द्वारा अपने चलन को दोहराने के बाद के सबसे छोटे समय की रक्षा होती है, या यह सबसे कम समय होता है जो एक ढलान को पूरा करने में लगता है।

$T=2\pi /\Omega$

आवृत्ति: प्रति सेकंड होने वाली झुकावों की संख्या को आवृत्ति कहा जाता है।

आवृत्ति (f) = 1/T

कोणीय आवृत्ति (Ω) = 2πf = 2π/T

एसएचएम में चरण

किसी भी क्षण में एक विचुंबित हो रहे तत्व का चरण विचुंबित (या) ओसीलेटिंग तत्व की देशान्तरण और विचुंबित की दिशा के संबंध में स्थिति होता है।

एक तत्व की अभिव्यक्ति और समय के रूप में स्थान।

$$x = A \sin(\omega t + \Phi)$$

तथापि काल t = 0 पर जहां $$\omega t + \Phi$$ ने नाम्करण किया है, वह चरण कोण कहलाता है।

चरण अंतर

औसत स्थिति के साथ प्रतिष्ठित किए गए दो तत्वों के बीच का कुल चरण को चरण अंतर कहा जाता है। जब दो विकंयामी तत्वों के बीच का चरण अंतर π का समान संख्यक होता है, तो उन्हें एक ही चरण में होने कहा जाता है।

$\Delta \Phi =n\pi$, यहां n = 0, 1, 2, 3, . . . . .

दो तत्वों को विपरीत चरण माना जाता है यदि उनके बीच का चरण अंतर π का विषम संख्यक होता है।

$\Delta \Phi =(2n+1)\pi ,n=0,1,2,3,...$

सरल हारमोनिक चल समीकरण और इसका समाधान

एक तत्व को मान (m) के साथ सरल हारमोनिक चल का कार्यान्वयन करने वाले एक पथ x o x पर नजरअंदाज करें; गणितीय विचार पथ पर एक p (o से एन दूरी पर) स्थिति पर जब वे v₀ की गति में हों।

त = 0 पर, परिणाम पर तकरीबन सवारी करने वाला तत्व दाहिने दिशा में है।

त = t पर, तत्व Q (o से x दूरी पर) पर है।

एक वेग (v) पर (v)

\begin{array}{l}\text{पुनःस्थापित बल}\ \overrightarrow{F}\ \text{Q पर है:}\ \overrightarrow{F} = -k\overrightarrow{Q}\end{array}

$$\overrightarrow{F} = -K\overrightarrow{x}$$

K एक सकारात्मक स्थायी है।

\begin{array}{l}\Rightarrow \overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a}\end{array}

यहाँ, $\overrightarrow{a}$= Q पर त्वरण

अनुवाद सामग्री है: \begin{array}{l}\Rightarrow -K\overrightarrow{x}=m\overrightarrow{a}\end{array}

$$\Rightarrow \vec{a}=-\left( \frac{K}{m} \right)\vec{x}$$

\(\frac{K}{m}={{\omega }^{2}}\)

\(\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}\)

क्योंकि, $$(\left[ \frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}=-\left( \frac{K}{m} \right)\overrightarrow{m}=-{{\omega }^{2}}\overrightarrow{x} \right]), (\Rightarrow \overrightarrow{a}=-\left( \frac{K}{m} \right)\overrightarrow{m}=-{{\omega }^{2}}\overrightarrow{x})$$

$$\frac{d^2 \vec{x}}{dt^2} = -\omega^2 \vec{x}$$

रैखिक सरल हार्मोनिक गति के लिए

जी हैं, आपकी समस्या का हल आपको यह करेगा।

यहां हिन्दी अनुवाद है: \begin{array}{l}v = \frac{dx}{dt} = \omega \sqrt{A^2 - x^2}\end{array}

$$\int{\frac{dx}{\sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}}} = \int\limits_{0}^{A}{\frac{dx}{\sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}}} = \int\limits_{0}^{A}{\omega dt}$$

\begin{array}{l}{{\sin }^{-1}}\left( \frac{x}{A} \right)=\omega t+\phi \\ \Rightarrow x=A\sin \left( \omega t+\phi \right) \end{array}

$$x = \sin (\omega t + \Phi) . . . . . (3)$$

विधिज्ञान समान की स्थिति का समीकरण 3 - समय के एक फ़ंक्शन के रूप में एक कण की

मामला 1: यदि t = 0 पर कण पर x = x0

\begin{array}{l} \Rightarrow \sin^{-1}\left(\frac{x}{A}\right) = \omega t + \phi \end{array}

\begin{array}{l}\Rightarrow \phi = {{\sin }^{-1}}\left( \frac{x_{0}}{A} \right)\end{array}

Φ वस्तु का मूलिक चर है।

मामला 2: यदि t = 0 पर विपरीत स्थिति में कण पर x = 0

$$(\sin^{-1}\left(\frac{O}{A}\right) = \phi)$$

φ = 0

मामला 3: यदि t = 0 पर कण अपने आदिम स्थानों में से एक पर होता है, x = A

\begin{array}{l}\Rightarrow \sin^{-1}(1) = \pi/2\end{array}

$\pi /2=\Phi$

k का मान समय t=0 पर रहता है और इसलिए यह वस्तु का आदिम कालिका कण कालिका कालिका है।

अब, हम समय के साथ वस्तु की स्थान के समीकरण की जांच करें

$$\frac{\pi}{2} = x = A \sin (\omega t + \Phi)$$

$sin(\omega t+\Phi )$ एक आवृत्ति फ़ंक्शन है जिसकी आवृत्ति $T=2\pi /\omega$

जो कि साइन फंक्शन या कोसाइन फंक्शन हो सकता है

सरल हारमोनिक आंदोलन की अवधि

t का वह गणक होता है जो $$\omega$$ है।

समय अवधि $$T = \frac{2\pi}{\omega}$$

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$$

ωt = एस एच एम की कोणीय त्रिज्या गति है।

समय के एक फंक्शन के रूप में कण की स्थिति का व्यक्तीकरण:

\begin{array}{l}\text{वस्तुओं को स्थिति }\ (\overrightarrow{x})\ ,\text{वेग}\ (\overrightarrow{v})\ \text{और त्वरण के द्वारा प्याये गए जा सकते है।}\end{array}

सरल हारमोनिक आंदोलन की वेग

हारमोनिक आंदोलक की वेग द्वारा v = dx/dt ज्ञात की जाती है।

$$x = A \sin (\omega t + \Phi)$$

\begin{array}{l}v = \omega A\cos \left( \omega t+\phi \right) = \frac{d}{dt}A\sin \left( \omega t+\phi \right)\end{array}

\begin{array}{l}v = A\omega \sqrt{1-\cos^2\omega t}\end{array}

इसलिए $$x = A \sin \omega t$$

$$(\frac{{{x}^{2}}}{{{A}^{2}}} = {{\sin }^{2}}\omega ,t)$$

\( v = A\omega \sqrt{1 - \frac{{x}^{2}}{{A}^{2}}} \)

\begin{array}{l}\Rightarrow v = \omega \sqrt{{A}^{2}-{x}^{2}}\end{array}

ही संस्करण: नोड स्थान को वर्गमय बनाने पर

\begin{array}{l} \Rightarrow {{v}^{2}} = \omega^2 \left(A^2 - x^2 \right) \end{array}

\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{\omega }^{2}}}{{{v}^{2}}}=\left( {{x}^{2}}-{{A}^{2}} \right) \end{array}

$$\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}=\left( 1-\frac{{{x}^{2}}}{{{A}^{2}}} \right)$$

यह एक गोलारेखा का समीकरण है: $$\frac{{{v}^{2}}}{{{A}^{2}}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{A}^{2}}{{\omega }^{2}}}=1$$

सरल हारमोनिक आन्दोलन का स्थान और वेग के बीच का कर्व पृष्ठभूमि है।

जब $$\omega = 1$$, तब v और x के बीच का कर्व वृत्ताकार होगा।

सरल हारमोनिक आन्दोलन में त्वरण

इसलिए, सरल हारमोनिक आन्दोलन में स्थान, वेग और त्वरण के अभिव्यक्ति हैं:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{a}=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}(A\omega \cos \omega t+\Phi )\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \overrightarrow{a}=-{\omega }^{2}A\sin (\omega t+\Phi )\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \left|a\right|=-{\omega }^{2}x\end{array}$

इसलिए स्थान, वेग और त्वरण के अभिव्यक्ति हैं $x=Asin(\omega t+\varphi )$

उच्चरण की ऊंचाई (SHM) में ऊर्जा

उच्चरण की ऊंचाई (SHM) की सिद्धांतहीनता में एक बाहु सिद्धांती अणु कार्य कर रहा है जिसमें कोणीय आवृत्ति ω और एक बहु के आंतरिकता में A की अवधि है।

॥वीज ऊधमीकरण हर दशा में (SHM) ॥(Energy in Simple Harmonic Motion (SHM))

Urumri me amynta (SHM) mens اngrezi Karawa jata hai Use Ucha (harmonic oscillator) bola jata hai .

Energy in Simple Harmonic Motion (SHM) me ek valiak keemati _ (m) _ yaji (ω) k angikrut hai , (A) hai .

॥जौ_ωt + φ_॥)े trigonometric रूप ॥(vt = Aωcos(ωt + ϕ))॥

óṃकोणीय आवृत्ति चक्र में ऊर्जा ||(Energy in Circular Motion)||

कॉंटेंट का हिंदी संस्करण:

$\begin{array}{l}a=-{\omega }^{2}A\sin (\omega t+\varphi )=-{\omega }^{2}x\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{खंडन करता हुआ बल}\left(\overrightarrow{F}\right)\text{जो खंडन करने वाले चक्रीय गति नाल के साथ कार्य कर रही हो, को यह दिया जाता है}\end{array}$

F = -kx, जहां k = m${\omega }^2$.

साधारित कंपनी में किसी कण की गतिशील ऊर्जा

चक्रीय गति में कण को (x = 0) (माध्य स्थान) से x = x तक स्थानांतरित करने पर खंडन करते बल द्वारा किया गया कुल कार्य:

जब कण x से x + dx तक स्थानांतरित हो जाता है, तो खंडन करते बल द्वारा किया गया काम होता है

dw/dx = -kx

$\begin{array}{l}=\frac{1}{2}m{v}^2[Since,v^2=A^2{\omega }^2{\cos }^2(\omega t+\varphi )]\end{array}$

किनेटिक ऊर्जा क्या ही होती है?

$\begin{array}{l}=\frac{1}{2}m{\mathrm{ओमेगा}}^2{ए}^2{\mathrm{कॉस}}^2(\mathrm{ओमेगा}t+\mathrm{फाइ})\end{array}$

$\begin{array}{l}=\frac{1}{2}m{\mathrm{ओमेगा}}^2({ए}^2-{\mathrm{एक्स}}^2)\end{array}$

इसलिए, किनेटिक ऊर्जा

$\begin{array}{l}=\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2{\cos }^2(\omega t+\varphi )=\frac{1}{2}m{\omega }^2(A^2-x^2)\end{array}$

गतिशील संज्ञानिकी का संभावित शक्ति

संभावित शक्ति = -(बहाल करने वाले बल द्वारा कार्य किया गया)

$\begin{array}{l}\mathrm{बहाल\; करने\; वाले\; बल}=\int द\mathrm{शक्ति}=\underset{0}{\overset{x}{\int }}-कxदx=\frac{-कx^2}{2}\end{array}$

$\begin{array}{l}=-\frac{m{\omega }^2{x}^2}{2}\end{array}$

अंत:बचती बल द्वारा किये गए कार्य (-) ऐंशिक ऊर्जा = मात्रिकी ऊर्जा

$\begin{array}{l}=\frac{m{\omega }^2{x}^2}{2}=\frac{m{\omega }^2{A}^2}{2}{\sin }^2(\omega t+\varphi )\end{array}$

एक सरल हारमोनिक गति चलने वाले कण की कुल यांत्रिक ऊर्जा

E = KE + PE

इसलिए, चलने वाले कण की कुल ऊर्जा SHM में स्थिर रहती है, चाहे कण का व्यामोह सकारात्मक हो या नकारात्मक।

त = 0 पर, जब x = ±A, सरल हारमोनिक गति में किनेटिक ऊर्जा, एंशिक ऊर्जा और समय के बीच संबंध है कि किनेटिक ऊर्जा 0 होती है और एंशिक ऊर्जा अधिकतम होती है।

सरल हारमोनिक गति के ज्यामितिकीय व्याख्या

भौतिकी के एक चक्र की परिधि पर समान गति से चलने वाले कक्ष के पैर की रेखा के सीधे लाइन गति को सरल हारमोनिक गति के रूप में जाना जाता है।

चक्रीय गतिकी के रूप में एसएचएम

कण पैकीय_ M धुर्तता से चल रहा है और एक स्थिर कोणीय वेगघटक (ω) के साथ एक वृत्त के चारों ओर समान वैशिष्ट्य रखता है। किसी बाद के समय (t), कण Q पर होता है और यह x-अक्ष के वीर्यसूत्र पर प्रक्षेपण योजना है N।

करण प एक व्यास के चारोओं में प्रदक्षिण दिशा में घूमता है, जबकि M इसके पीछे चलता है, जो इसके आगे और पीछे दोनों ओर खिंच-खींच कर जाता है, ऐसा कि किसी भी समय (t) पर प्रक्षेपण का स्थानांतरण व्यास वेक्टर (ए) का x घटक होता है।

$x=Acos(\omega t+\Phi ).......(1)$

$y=Asin(\omega t+\Phi ).....(2)$

इस प्रकार, हम देख सकते हैं कि समान वृत्तीय गति दो लघु सरल हारमोनिक विलंबनों का संयोजन है जो एक दूसरे के लंबावत्त विलंबन होते हैं।

प एक समान वृत्तीय गतिकी के अधीन है, जबकि M और N, और K और L, O करीबबद्धी साद में सरल हारमोनिक गति प्रदर्शित कर रहे हैं, जिनमें प W जीती है।

P एक समान वृत्तीय गति में हो रहा है, जिससे प्राप्त होने वाली एकर्षणीय त्वरण वेक्टर ए के साथ रेडियस यांत्रिकी के साथ पेरीजन हो रही है।

(केंद्र की ओर_)

इसे दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है:

$\begin{array}{l}{a}_N=A{\omega }^2{\sin }^2(\omega t+\varphi )\end{array}$

कन्टेंट का हाइ संस्करण क्या है: $\begin{array}{l}{a}_L=A{\omega }^2{\cos }^2(\omega t+\varphi )\end{array}$

aN और aL में उभरने का मानचित्रित होने वाले बिंदुओं N और L के समरूप निकंबों को संदर्भित किया जाता है।

ऊपरी चर धनात्मक ध्रुवक द्वारा की गई प्रकरण में x-अक्ष पर प्रक्षेप का पाँव एक क्षैतिज फेज़र के रूप में जाने जाता है।

y-अक्ष पर लम्बावत फेज़र, जो एकल आर्द्रता उन्मुखी गति करता है, एक गति A और कोणीय आवृत्ति ω के साथ स्थानांतरण को करता है, जबकि क्षैतिज फेज़र का चरण विभिन्नता π/2 होती है।

क्षैतिज फेज़र में समस्या-समाधान रणनीति

आइए एक व्यास वाले वृत्त की धारा मान सम करें।

एक कण गुणा क लगातारी दिशा में एक घातांकीय मार्ग में पथरती है।

t = 0 पर कोषिका द्वारा बनाई जाने वाली कोण ϕ (चर धनात्मक ध्रुवीय त्रिज्या) ऊपरी ऊर्ध्वाधर अक्ष से समान होता है।

कोषिका की क्षैतिज गति का ऊर्ध्वाधर महसूषित करके एक कण की गति के बारे में जानकारी मिलती है।

कोषिका की क्षैतिज त्वरण एक कण की त्वरण के समान होता है, जहां त्वरण समारूपीपेशा बाधीत गति के कारण होने वाला त्वरण है और वह ω²A के बराबर होता है।