समाकोणों का प्रयोग करके निर्धारकों का प्रयोग करके रैखिक समीकरणों का प्रणाली
समस्या वाली सूक्ष्म समीकरण समाधान आसानी से बहुपद और तीन रेखाएं विचारशीलता का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। क्रामर के नियम को एक चित्र के साथ भी समझाया जाता है, साथ ही सूत्रों और समस्याओं को हल करने के लिए कदमों की सहायता भी प्रदान की जाती है।
डिटर्मिनेंट का उपयोग करके एक रेखांकन समीकरण का समाधान कैसे करें?
- रेखांकन समीकरण सिद्ध करें।
- संकेय प्रत्रिमान का डिटर्मिनेंट गणना करें।
- यदि डिटर्मिनेंट 0 नहीं है, तो क्रामर के नियम का उपयोग करके सिस्टम को हल करें।
- यदि डिटर्मिनेंट 0 है, तो सिस्टम में ना तो कोई समाधान होगा ना ही असीम समाधान होगा।
1. दो प्रत्येक क्षेत्र के रेखिक समीकरण सिस्टम
यहां समीकरण हैं
$$a_1x + b_1y + c_1 = 0$$
$$a_2x + b_2y + c_2 = 0$$
दो परिणामों वाले समीकरण सिस्टम का समाधान निम्नप्रति है:
(\begin{array}{l}x=\frac{{{b}_{1}}{{c}_{2}}-{{b}_{2}}{{c}_{1}}}{{{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{b}_{1}}}\y=\frac{{{a}_{2}}{{c}_{1}}-{{a}_{1}}{{c}_{2}}}{{{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{b}_{1}}}\end{array})
जहां $\Delta_1 = \left| \begin{matrix} b_1 & c_1 \ b_2 & c_2 \end{matrix} \right|$, $\Delta_2 = \left| \begin{matrix} c_1 & a_1 \ c_2 & a_2 \end{matrix} \right|$ और $\Delta = \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 \ a_2 & b_2 \end{matrix} \right|$
2. तीन प्रत्येक क्षेत्र के रेखांकन समीकरण सिस्टम
(\begin{array}{l}{{a}_1}x + {{b}_1}y + {{c}_1}z = {{d}_1}\{{a}_2}x + {{b}_2}y + {{c}_2}z = {{d}_2}\{{a}_3}x + {{b}_3}y + {{c}_3}z = {{d}_3}\end{array})
#इस सिस्टम को हल करने के लिए पहले हम निम्नलिखित डिटर्मिनेंट्स को परिभाषित करते हैं
(\Delta =\left| \begin{matrix} {{a}_{1}} & {{b}_{1}} & {{c}_{1}} \ {{a}_{2}} & {{b}_{2}} & {{c}_{2}} \ {{a}_{3}} & {{b}_{3}} & {{c}_{3}} \ \end{matrix} \right|),
({{\Delta }_{1}}=\left| \begin{matrix} {{d}_{1}} & {{b}_{1}} & {{c}_{1}} \ {{d}_{2}} & {{b}_{2}} & {{c}_{2}} \ {{d}_{3}} & {{b}_{3}} & {{c}_{3}} \ \end{matrix} \right|),
({{\Delta }_{2}}=\left| \begin{matrix} {{a}_{1}} & {{d}_{1}} & {{c}_{1}} \ {{a}_{2}} & {{d}_{2}} & {{c}_{2}} \ {{a}_{3}} & {{d}_{3}} & {{c}_{3}} \ \end{matrix} \right|),
({{\Delta }_{3}}=\left| \begin{matrix} {{a}_{1}} & {{b}_{1}} & {{d}_{1}} \ {{a}_{2}} & {{b}_{2}} & {{d}_{2}} \ {{a}_{3}} & {{b}_{3}} & {{d}_{3}} \ \end{matrix} \right|)
संतुलन के लिए मान्यता के लिए मान्यता: अब सिस्टम को हल करने के लिए निम्नलिखित एल्गोरिदम का पालन किया जाता है
क्रामर के नियम एक समीकरण समूह का समाधान ढूंढने का एक तरीका है।
असीम समाधान और कोई समाधान नहीं के लिए शर्तें
(अ) यदि Δ = 0 और Δ1 = Δ2 = Δ3 = 0 है, तो समीकरण समूह संगत हो सकता है या संगत नहीं हो सकता है।
(ई) यदि t में x, y और z के मान तौर पर तीसरे समीकरण को पूरा करता है, तो समीकरण समूह संगत माना जाता है और असीम समाधान होंगे।
यदि x, y और z के मान तीसरे समीकरण को पूरा नहीं करते हैं, तो समीकरण समूह संगत नहीं माना जाता है और कोई समाधान नहीं होगा।
यदि d1 = d2 = d3 = 0, तो रैखिक समीकरणों का सिस्टम एक समवाही रैखिक समीकरण के रूप में जाना जाता है, जिसमें कम से कम एक समाधान होता है, अर्थात् (0, 0, 0), जो एक समवाही रैखिक समीकरण के लिए तत्कालीन समाधान के रूप में जाना जाता है।
यदि समवाही रैखिक समीकरण का सिस्टम गैर-शून्य/शोधनीय समाधान और Δ = 0 है, तो दिए गए सिस्टम का अनंत समाधान होता है।
हम मैट्रिक्स प्रतिच्छेदन विधि का उपयोग करके भी इन समाधानों को हल कर सकते हैं।
हम रैखिक समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में इस प्रकार लिख सकते हैं: A X = B, जहां
$A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}, ; X = \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix}, ; B = \begin{bmatrix} d_1 \ d_2 \ d_3 \end{bmatrix}$
समाधान समूह केवल तब मौजूद हो सकता है जब A का इन्वर्स, $A^{-1}$, मौजूद हो, जो $X = A^{-1}B$ को हल करके प्राप्त किया जा सकता है।
कुछ महत्वपूर्ण परिणाम
दो सत्रीय रैखिक समीकरणों की प्रामंडितता (साेझ लक्षणों में)
(\begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0 \dots (i)\end{array})
(\begin{array}{l}{{a}^{2}}x + {{b}^{2}}y + {{c}^{2}} = 0 \ldots (ii)\end{array})
(\begin{array}{l}{a}{3}x + {b}{3}y + {c}_{3} = 0 \dots \text{(iii)}\end{array})
$\left| \begin{matrix} {{a}_{1}} & {{b}_{1}} & {{c}_{1}} \ {{a}_{2}} & {{b}_{2}} & {{c}_{2}} \ {{a}_{3}} & {{b}_{3}} & {{c}_{3}} \ \end{matrix} \right|=0$
(a) (\begin{array}{l}a{{x}^{2}}+2hxy+b{{y}^{2}}+2gx+2fy+c=0\end{array} ) कोई भी एकजोटीरेखा के प्रतीक है अगर $a\neq b$ और $h^2-ab\neq 0$।
(\begin{vmatrix} a & h & g \ h & b & f \ g & f & c \ \end{vmatrix} + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0 )
(b) वह त्रिभुज क्षेत्रफल जिसके कोण " $\left( {{x}{r}},{{y}{r}} \right);,,r=1,2,3$ " हैं, होता है: $;;D=\frac{1}{2}\left| \begin{matrix} {{x}{1}} & {{y}{1}} & 1 \ {{x}{2}} & {{y}{2}} & 1 \ {{x}{3}} & {{y}{3}} & 1 \ \end{matrix} \right|$।
यदि $D = 0$ है, तो तीन बिंदुओं के सारी रेखाएं संरेख हैं।
(c) एक रेखा की समीकरण जो $\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)$ और $\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)$ से गुजरती है, द्वारा दी जाती है $\left| \begin{matrix} x & y & 1 \ {{x}_{1}} & {{y}_{1}} & 1 \ {{x}_{2}} & {{y}_{2}} & 1 \ \end{matrix} \right|=0$।
यदि किसी पंक्ति (या पद) के प्रत्येक तत्व को दो अंशों के योग के रूप में प्रकट किया जा सकता है, तो सम गुणक उन दो अंशों के समय वाले गुणकों के योग के रूप में प्रकट किया जा सकता है।
(\left| \begin{matrix} {{a}_{1}} & {{b}_{1}} & {{c}_{1}} \ {{a}_{2}} & {{b}_{2}} & {{c}_{2}} \ {{a}_{3}} & {{b}_{3}} & {{c}_{3}} \ \end{matrix} \right| + \left| \begin{matrix} x & y & z \ {{a}_{2}} & {{b}_{2}} & {{c}_{2}} \ {{a}_{3}} & {{b}_{3}} & {{c}_{3}} \ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} {{a}_{1}}+x & {{b}_{1}}+y & {{c}_{1}}+z \ {{a}_{2}} & {{b}_{2}} & {{c}_{2}} \ {{a}_{3}} & {{b}_{3}} & {{c}_{3}} \ \end{matrix} \right|\
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि, प्रतिच्छेदनों पर कार्रवाई करते समय, कम से कम एक पंक्ति (या पद) अपरिवर्तित रहनी चाहिए।
एक साथी प्रक्रियाएँ की अधिकतम संख्या = संकेतक का आदेश - 1।
न्यूनतम को क्रमद्वयी द्वारा रेखांकन करने पर अभ्यास समस्याएँ
विशदरूप: Cramer’s नियम के अनुसार निम्नलिखित समीकरणों को हल करें:
$$\begin{array}{l} x+y+z=9 \ 2x+5y+7z=52 \ 2x+y-z=0 \end{array}$$
दिया:
एक बयान है
समाधान:
एक बयान है
हम इस समस्या में निर्धारक डेल्टा 1, डेल्टा 2 और डेल्टा 3 को परिभाषित कर सकते हैं और उनके मान ढूंढने के लिए अविचलकता गुणत्व का उपयोग कर सकते हैं। उसके बाद, हम Cramer’s नियम का उपयोग करके x, y और z के मान प्राप्त कर सकते हैं।
यहां (\begin{array}{l}\Delta =\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 4 & 6 \ 0 & -1 & -2 \ \end{matrix} \right|\end{array} ) (इसमें लागू (; {{C}{2}}\to; {{C}{2}}-2{{C}{1}}) और (;{{C}{3}}\to; {{C}{3}}-{{C}{1}}) हो रहा है) उन्होंने कहा
उन्होंने कहा, “अब।”
(\Delta = \left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \ 2 & 3 & 5 \ 2 & -1 & -3 \ \end{matrix} \right| = 1 \cdot \left(-9 + 5 \right) = -4 )
⇒ (\begin{array}{l}{\Delta }{1}=\left| \begin{matrix} 9 & 1 & 0 \ 52 & 5 & 8 \ 0 & 1 & -1 \ \end{matrix} \right| ;(लागू ;C{2}\to C_{2}+C_{3})\end{array} )
⇒ (\begin{array}{l}{{\Delta }{1}}=\left| \begin{matrix} 9 & 2 & 1 \ 52 & 12 & 7 \ 0 & 0 & -1 \ \end{matrix} \right|=-1\left( 108-104 \right)=-4;,,{{\Delta }{2}}=\left| \begin{matrix} 1 & 9 & 1 \ 2 & 52 & 7 \ 2 & 0 & -1 \ \end{matrix} \right|;\textrm{(लागू } {{C}{1}}\textrm{ से } {{C}{1}}+2{{C}_{3}})\end{array} )
⇒ $$\Delta_{2}=\left| \begin{matrix} 3 & 9 & 1 \ 16 & 52 & 7 \ 0 & 0 & -1 \ \end{matrix} \right|=-1\left( 156-144 \right)=-12 ;\text{and}; \Delta_{3}=\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 9 \ 0 & 3 & 36 \ 2 & 1 & 0 \ \end{matrix} \right|; (\text{लागू }{{C}{1}}\to {{C}{1}}-2{{C}_{2}})$$
∴ ${\Delta}{3} = \left| \begin{matrix} -1 & 1 & 9 \ -8 & 5 & 52 \ 0 & 1 & 0 \ \end{matrix} \right| ;;;; (लागू ;{{C}{1}}\to {{C}{1}}-2{{C}{2}}) = -1 \left(-52 + 72 \right) = -20$
Cramer’s नियम के अनुसार: $$ \begin{array}{l} x=\frac{{\Delta }{1}}{\Delta }=\frac{-4}{-4}=1, \ y=\frac{{\Delta }{2}}{\Delta }=\frac{-12}{-4}=3 ; और ; \ z=\frac{{\Delta }_{3}}{\Delta }=\frac{-20}{-4}=5 \end{array} $$
x = 1, y = 3, z = 5
उत्तर:
विशदरूप: Cramer’s नियम के अनुसार निम्नलिखित रैखिक समीकरणों को हल करें:
(\begin{array}{l} \frac{4}{x+5} + \frac{3}{y+7} = -1 ;;;;;; \text{और} ;;;;;; \frac{6}{x+5} - \frac{6}{y+7} = -5 \end{array})
दिया:
यह शीर्षक है
समाधान:
यह शीर्षक है
(\begin{array}{l}\text{यदि}\ \frac{1}{x+5}=a\ \text{ और}\ \frac{1}{y+7}=b.\ \text{तो डेटा का मान होगा}\ \Delta =ab,\ {{\Delta }{1}}=a+b\ \text{ और}\ {{\Delta }{2}}=\frac{1}{a+b}.\end{array} )
फिर, Cramer’s नियम का उपयोग करके हम x और y के मान की गणना कर सकते हैं।
चलिए हम $$\Delta ,\frac{1}{x+5}=a; और ;\frac{1}{y+7}=b$$ को डालते हैं तो 2 रैखिक समीकरण बनते हैं
4a + 3b = -1 \\ \\ (i)
और 6a - 6b = -5 … (ii)
Cramer’s Rule का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
कंटेंट का हिंदी संस्करण क्या है:
(\begin{array}{l}\frac{x}{\left| \begin{matrix} -1 & 3 \ -5 & -6 \ \end{matrix} \right|}=\frac{y}{\left| \begin{matrix} 4 & -1 \ 6 & -5 \ \end{matrix} \right|}=\frac{1}{\left| \begin{matrix} 4 & 3 \ 6 & -6 \ \end{matrix} \right|}\\Rightarrow \frac{a}{15-6}=\frac{b}{6-20}=\frac{1}{-24-18}\end{array} )
(\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2};और;;b=\frac{1}{3};; \Rightarrow ,\frac{a}{21}=\frac{b}{-14}=\frac{1}{-42} \end{array} )
(\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{x+5}=-\frac{1}{2} \Rightarrow 2=-x-5 \Rightarrow x=-7\end{array})
(\begin{array}{l}\frac{1}{y+7}=\frac{1}{3} ;;;\Rightarrow ,,,y+7=3 ;;;\Rightarrow ,,,y=-4\end{array} )
सवाल: इस प्रश्न में, $k$ किस मान के लिए नॉन ट्रिवियल समाधानों वाली निम्नलिखित समीकरण समूह होगी? इस मान के लिए समीकरण समूह के सभी समाधान भी ढूंढें।
x + y - kz = 0
3x - y - 2z = 0
x - y + 2z = 0
दिया गया:
यह एक हेडिंग है
समाधान:
यह एक हेडिंग है
डेल्टा की परिभाषा: डेल्टा एक प्रतीक है जो दो मानों के बीच का अंतर दर्शाने के लिए प्रयुक्त होता है।
वाक्य पुनर्लेखन: इस समस्या में, हम पहले डेल्टा को दो मानों के बीच का अंतर के रूप में परिभाषित करते हैं। यह ज्ञात है कि, ट्रिवियल समाधान के लिए, डेल्टा को 0 के बराबर होना चाहिए।
अचलता गुणसूत्र का उपयोग करके, हम $\Delta = 0$ के बराबर होने पर $k$ का हल कर सकते हैं।
ट्रिवियल समाधान के लिए, $\Delta = 0$
(\begin{array}{l}\Rightarrow \left| \begin{matrix} 2 & 0 & -k+2 \ 0 & 0 & -2 \ 1 & -1 & 2 \ \end{matrix} \right|=0 ;;\left[ {{R}_{2}}\to {{R}_{2}}-{{R}_{1}},{{R}_{3}}\to {{R}_{3}}+{{R}_{1}} \right]\end{array} )
वृद्धि करना (C_2) के साथ। (\Rightarrow )(-\left(-1\right)\left[-8-2\left(2-k\right)\right] = 0)(\Rightarrow )(2k-12 = 0)(\Rightarrow )(k = 6)
$k$ की मान देने पर, हमें मिलता है,
x + y - 6z = 0 \\ (i)
3x - y - 2z = 0 … (ii)
(iii) x - y + 2z = 0
(i) (4x - 8z = 0)
(ii) (\frac{4x}{8} = \frac{z}{-1})
|z| = x/2
(xyz) x+y-3x=0
y = 2x
jजब k = 6, तो दिए गए समीकरण समूह का समाधान है (x=t, y=2t, z=\frac{t}{2}), जहां t एक ऐसा संख्या है जो कीटोनी है।
उदाहरण: निम्नलिखित समीकरणों को समाधान करने के लिए समतालीयकरण का उपयोग करें।
2x + y + 2z = 0
2x - y + z = 10
x + 3y - z = 5
दिया गया:
यह एक हेडिंग है
समाधान:
यह एक हेडिंग है
दिए गए समीकरणों को $AX = D$ के रूप में लिखकर, और फिर दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा करके, हमें $x$, $y$, और $z$ के आवश्यक मान मिलेंगे।
समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$ \begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \ 2 & -1 & 1 \ 1 & 3 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 \ 10 \ 5 \end{bmatrix}$$
$$AX = D$$ जहां $$A = \left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 2 \ 2 & -1 & 1 \ 1 & 3 & -1 \ \end{matrix} \right],\ X=\left[ \begin{matrix} x \ y \ z \ \end{matrix} \right],\ D=\left[ \begin{matrix} 0 \ 10 \ 5 \ \end{matrix} \right]$$
$$\Rightarrow ,,,{{A}^{-1}}AX = {{A}^{-1}}D,,,,,\Rightarrow X={{A}^{-1}}D….(i)$$
अब $$\begin{array}{l}{A}^{-1}=\frac{adj,A}{|A|}; ;;; |A|=\left| \begin{matrix} 2 & 1 & 2 \ 2 & -1 & 1 \ 1 & 3 & -1 \ \end{matrix} \right|=2\left( 1-3 \right)-1\left( -2-1 \right)+2\left( 6+1 \right)=13\end{array}$$
|A| के cofactors का मैट्रिक्स (\begin{array}{l}\left[ \begin{matrix} -2 & 3 & 7 \ 7 & -4 & -5 \ 3 & 2 & 4 \ \end{matrix} \right]\end{array}) होता है; इसलिए, ;;;adj,A=\left[ \begin{matrix} -2 & 7 & 3 \ 3 & -4 & 2 \ 7 & -5 & -4 \ \end{matrix} \right];,,{{A}^{-1}}=\frac{1}{3}\left[ \begin{matrix} -2 & 7 & 3 \ 3 & -4 & 2 \ 7 & -5 & -4 \ \end{matrix} \right].
(1) से $$\begin{array}{l}X=\frac{1}{13}\left[ \begin{matrix} -2 & 7 & 3 \ 3 & -4 & 2 \ 7 & -5 & 4 \ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 0 \ 10 \ 5 \ \end{matrix} \right]\=\frac{1}{13}\left[ \begin{matrix} 0+70+15 \ 0-40+10 \ 0-50-20 \ \end{matrix} \right]\=\left[ \begin{matrix} 85/13 \ -30/13 \ -70/13 \ \end{matrix} \right];\left[ \begin{matrix} x \ y \ z \ \end{matrix} \right]\=\left[ \begin{matrix} 85/13 \ -30/13 \ -70/13 \ \end{matrix} \right]\end{array} \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{matrix} x \ y \ z \ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 85/13 \ -30/13 \ -70/13 \ \end{matrix} \right]\end{array}$$
(\begin{array}{l}x=\frac{85}{13},\ y=\frac{-30}{13},\ z=\frac{-70}{13}\end{array})
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अकसर पूछे जाने वाले प्रश्न
एक रैखिक समीकरण तंत्र असंतिष्ट होता है जब समीकरण रैखिक रूप से अभिमानी होते हैं।
यदि $$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$$ हो, तो समीकरण तंत्र असीम समाधान होते हैं।
एक रैखिक समीकरण तंत्र का कोई समाधान नहीं होने की स्थिति तब होती है जब समीकरण असंतिष्ट होते हैं।
यदि $$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$$ हो, तो समीकरण तंत्र का कोई समाधान नहीं होता है।
क्या तीन बिन्दुओं को एकरेखी बनाया जा सकता है?
तीन बिन्दुओं को एकरेखी बनाया जा सकता है जब इन तीनों बिन्दुओं द्वारा बनाए गए त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है।
