इस लेख में, हम मैट्रिक्स का उपयोग करके रैखिक समीकरणों को हल करने के दो प्रमुख तरीकों का पता लगाएंगे: मैट्रिक्स विधि और पंक्ति संक्षेपण (या गौसियन संक्षेपण)। प्रदत्त अध्ययन नोट्स के साथ, छात्र इस विषय और इससे संबंधित उदाहरणों की बेहतर समझ प्राप्त करेंगे।

मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों को कैसे हल करें?

इंगित समीकरण हों:

(\begin{array}{l}{{a}_1}x + {{a}_2}y + {{a}_3}z = {{d}_1}\\end{array})

\(\begin{array}{l}{{b}_{1}}x + {{b}_{2}}y + {{b}_{3}}z = {{d}_{2}}\end{array}\)

(\begin{array}{l}{{c}_{1}}x + {{c}_{2}}y + {{c}_{3}}z = {{d}_{3}}\end{array})

मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करने के चरण हैं:

सभी समीकरणों में चरों को सही क्रम में लिखा जाना चाहिए।

चरों को बाएं ओर, सीमाओं को मध्य ओर, और स्थिरांकों को दाएं ओर लिखना चाहिए।

मैट्रिक्स का उपयोग करके रैखिक समीकरणों को हल करने का तरीका इनस्वर की खोज के तरीके से होता है, जिसमें दो नई मैट्रिक्स बनाई जाती है: एक जो मूल मैट्रिक्स का उल्टा होती है, और एक जो उल्टा मैट्रिक्स को गुणा करने के नतीजे होती है।

मैट्रिक्स A: जो चरों को प्रतिष्ठान करती है

मैट्रिक्स B: जो स्थिरांकों को प्रतिष्ठान करती है

मैट्रिक्स गुणा के द्वारा एक समीकरणों को हल किया जा सकता है।

हम उपरोक्त समीकरणों को निम्नलिखित मैट्रिक्स रूप में लिखते हैं:

(\begin{array}{l}AX=B \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} {{a}_{1}} & {{a}_{2}} & {{a}_{3}} \ {{b}_{1}} & {{b}_{2}} & {{b}_{3}} \ {{c}_{1}} & {{c}_{2}} & {{c}_{3}} \ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x \ y \ z \ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{d}_{1}} \ {{d}_{2}} \ {{d}_{3}} \ \end{matrix} \right] \\ \Rightarrow \left[ \begin{matrix} {{a}_{1}}x+{{a}_{2}}y+{{a}_{3}}z \ {{b}_{1}}x+{{b}_{2}}y+{{b}_{3}}z \ {{c}_{1}}x+{{c}_{2}}y+{{c}_{3}}z \ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{d}_{1}} \ {{d}_{2}} \ {{d}_{3}} \ \end{matrix} \right] \\ \Rightarrow \text{(i)} \end{array})

यहां, \begin{array}{l} A=\left[ \begin{matrix} {{a}_{1}} & {{a}_{2}} & {{a}_{3}} \ {{b}_{1}} & {{b}_{2}} & {{b}_{3}} \ {{c}_{1}} & {{c}_{2}} & {{c}_{3}} \ \end{matrix} \right],\ X=\left[ \begin{matrix} x \ y \ z \ \end{matrix} \right],\ B=\left[ \begin{matrix} {{d}_{1}} \ {{d}_{2}} \ {{d}_{3}} \ \end{matrix} \right] \end{array} .

A एक प्रतिष्ठान मैट्रिक्स है, X एक चरों की मैट्रिक्स है, और B एक स्थिरांक मैट्रिक्स है।

मैट्रिक्स (i) को (A^{-1}) से गुणा करके, हम (\begin{array}{l}{A^{-1}}AX = {A^{-1}}B \Rightarrow IX = {A^{-1}}B \\Rightarrow X = {A^{-1}}B\end{array}) प्राप्त करते हैं।

समीकरणों के सिस्टम का हल निकालने का दूसरा तरीका पंक्ति संक्षेपण या गौसियन संक्षेपण है।

1. रैखिक समीकरणों के लिए जोड़ित मैट्रिक्स है:

2. मुख्य नकारात्मक खंड से नीचे के सभी तत्वों को पंचीय पंक्ति क्रियाओं का उपयोग करके शून्य सुनिश्चित करें। यदि चुकाने पर चुका पंक्तिबद्ध होता है, तो एक उचित पंक्ति क्रिया का उपयोग करके एक गैरशून्य तत्व प्राप्त करें।

3. समाधान ढूंढ़ने के लिए पश्चिम गणना का उपयोग किया जाता है।

संबंधित विषय:

मैट्रिक्स के परिचय

मैट्रिक्स के प्रकार

मैट्रिक्स क्रियाएं

परावर्तक और रिवर्स के विषय

रैंक और विशेष मैट्रिक्स

समीकरणों का समाधान

x, y और z के मान जो सभी समीकरणों को सहीत निरंतर संतुष्ट करते हैं, को समीकरण सिस्टम का समाधान कहा जाता है।

मान लें, x + y + z = 9

2x - y + z = 5

4x + y - z = 7

लीनियर समीकरण सिस्टम का समाधान x = 2, y = 3, z = 4 है।

2 + 3 + 4 = 9, 4 - 3 + 4 = 5 और 8 + 3 - 4 = 7

संस्थायी समीकरण

यदि समीकरण सिस्टम का एक या एक से अधिक समाधान होता है, तो इसे संस्थायी समीकरण सिस्टम कहा जाता है, अन्यथा यह एक संघटित समीकरण सिस्टम कहलाता है। उदाहरण के लिए, लीनियर समीकरण सिस्टम x + 3y = 5; x - y = 1 संस्थायी है, क्योंकि x = 2, y = 1 इसका समाधान है। हालांकि, लीनियर समीकरण सिस्टम x + 3y = 5; 2x + 6y = 8 संघटित है, क्योंकि कोई ऐसा मान नहीं है जो दो समीकरणों को सहीत निरंतर कर सके।

लीनियर समीकरणों के संगठन AX = B की संस्थायता के लिए शर्त

(a) यदि (|A| \neq 0) है, तो सिस्टम संस्थायी है और एकदरद समाधान होता है, जिसे (X = A^{-1}B) के द्वारा दिया जाता है।

यदि |A| = 0 है और (अड्ज A) B ≠ 0 है तो सिस्टम असंस्थायी है।

यदि |A| = 0 है और (अड्ज A) B = 0 है, तो सिस्टम संस्थायी है और अनंत समाधान है।

AX = 0 और B = 0 के रूप में संबद्ध लीनियर समीकरणों का सिस्टम हमेशा संबंधित होता है।

सिस्टम में एक असाधारण समाधान (गैर-शून्य समाधान) होता है यदि |A| = 0 है।

प्रमेय 1: यदि A एक लीनियर समीकरण सिस्टम में एक अद्वितीय समाधान है, जिसका ग्रहक प्रतिरूप X = A^-1B दिया जाता है।

प्रमाण: A^-1AX = A^-1B;

दोनों पक्षों को A^-1 से गुणा करने से

(\begin{array}{l}\Rightarrow AX = B\end{array} )

क्योंकि A^-1 मौजूद होता है

(\begin{array}{l}\Rightarrow \left| A \right|\ne 0\end{array} )

(\begin{array}{l} \Rightarrow ,,AX=B \ \Rightarrow ,,{{A}^{-1}}AX={{A}^{-1}}B\ \Rightarrow ,,IX={{A}^{-1}}B\ \Rightarrow ,,X={{A}^{-1}}B\end{array} )

समीकरण सिस्टम AX = B का समाधान (\begin{array}{l}X = {{A}^{-1}}B\end{array} ) द्वारा दिया जाता है।

एकता: यदि AX = B के दो समाधान सेट X1 और X2 हैं, तो AX1 = B और AX2 = B, दोनों B के बराबर होते हैं।

AX1 = AX2

A के रद्दी नियम के कारण A नियंत्रण करने जा रहा है।

X1 = X2

इसलिए, सिस्टम AX = B का एकमात्र एकमात्र समाधान होता है।

नोट: एक समीकरण सिस्टम को संस्थायी कहा जाता है यदि इसका कम से कम एक समाधान होता है।

मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों का समाधान करना

Illustration: लेट A = (\begin{array}{l}\left[ \begin{matrix} x+y & y \ 2x & x-y \ \end{matrix} \right],\ B=\left[ \begin{matrix} 2 \ -1 \ \end{matrix} \right],\ C = \left[ \begin{matrix} 3 \ 2 \ \end{matrix} \right]\end{array} ) व मान रखें की AB = C है। तभी, मैट्रिक्स A² का पता लगाएँ।

दिया हुआ:

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समाधान:

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हम $$AB = C$$ को हल करके $x$ और $y$ की मान प्राप्त करते हैं। फिर $A$ में इन मानों की सब्स्टिट्यूशन के द्वारा हम $A^2$ प्राप्त करते हैं।

यहां $$\begin{array}{l}\left[ \begin{matrix} x+y & y \ 2x & x-y \ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 2 \ -1 \ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 3 \ 2 \ \end{matrix} \right]\ \Rightarrow \left[ \begin{matrix} 2\left( x+y \right)-y \ 2x.2-\left( x-y \right) \ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 3 \ 2 \ \end{matrix} \right]\ \Rightarrow 2\left( x+y \right)-y=3 :: और :: 4x-\left( x-y \right)=2\end{array} $$

इन दो समीकरणों को घटाने से हमें मिलता है,

$$\begin{array}{l}\Rightarrow ,,2x+y=3;;;;और;;;;3x+y=2 \ \Rightarrow ,,2x-3x=2-3 \ \Rightarrow ,,x=-1 \ \Rightarrow ,,y=5 \end{array}$$

(\begin{array}{l}A=\left[ \begin{matrix} 4 & 5 \ -2 & -6 \ \end{matrix} \right] \\therefore A=\left[ \begin{matrix} -1+5 & 5 \ 2\left( -1 \right) & -1-5 \ \end{matrix} \right]\end{array} )

(\begin{array}{l} \therefore {{A}^{2}} = \left[ \begin{matrix} 16 + 25 & 20 + 30 \ 4 - 12 & -4 - 18 \ \end{matrix} \right] \end{array})

(\begin{array}{l}=\left[ \begin{matrix} 4\times 4+5\left( -2 \right) & 4\times 5+5\left( -6 \right) \ -2\times 4+\left( -6 \right)\left( -2 \right) & -2\times 5+\left( -6 \right)\left( -6 \right) \ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 6 & -10 \ 4 & 26 \ \end{matrix} \right]\end{array} )

Illustration: निम्नलिखित समीकरणों को हल करने के लिए मैट्रिक्स प्रतिफलन का उपयोग करें

2x + y + 2z = 0

2x - y + z = 10

x + 3y - z = 5

दिया हुआ:

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समाधान:

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दिए गए समीकरण को मैट्रिक्स रूप में लिखा जा सकता है $$AX = D$$ और फिर $$A^{-1}$$ प्राप्त करके इसे दोनों पक्षों पर गुणा करके हम दिए गए समस्या को हल कर सकते हैं।

(\begin{array}{l}\left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 2 \ 2 & -1 & 1 \ 1 & 3 & -1 \ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x \ y \ z \ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0 \ 10 \ 5 \ \end{matrix} \right]\end{array} )

AX = D जहां

A =

$$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \ 2 & -1 & 1 \ 1 & 3 & -1 \ \end{bmatrix}$$

X =

$$\begin{bmatrix} x \ y \ z \ \end{bmatrix}$$

D =

$$\begin{bmatrix} 0 \ 10 \ 5 \ \end{bmatrix}$$

$$\Rightarrow ,, X = A^{-1}D ,,…..(i)$$

अब $$A^{-1} = \frac{\text{adj } A}{\left|A\right|}; \quad \left|A\right| = \left|\begin{matrix} 2 & 1 & 2 \ 2 & -1 & 1 \ 1 & 3 & -1 \ \end{matrix}\right| = 2(1-3) - 1(-2-1) + 2(6+1) = 13$$

इस समय मात्रिका के सहायक अभिलक्षण को $ \left| A \right|$ का “मैट्रिक्स ऑफ को-फैक्टर्स” कहा जाता है जो है $\left[ \begin{matrix} -2 & 3 & 7 \ 7 & -4 & -5 \ 3 & 2 & -4 \ \end{matrix} \right]$। इसलिए, $adj; A = \left[ \begin{matrix} -2 & 7 & 3 \ 3 & -4 & 2 \ 7 & -5 & -4 \ \end{matrix} \right]$

∴ (\left[ \begin{matrix} -2 & 7 & 3 \ 3 & -4 & 2 \ 7 & -5 & -4 \ \end{matrix} \right] \cdot \frac{1}{13} = {{A}^{-1}})

⇒ से (i), $$X = \frac{1}{13} \begin{bmatrix} -2 & 7 & 3 \ 3 & -4 & 2 \ 7 & -5 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \ 10 \ 5 \end{bmatrix}$$

(\begin{array}{l}=\frac{1}{13}\left[ \begin{matrix} 70+15 \ -40+10 \ -50-20 \ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 85/13 \ -30/13 \ -70/13 \ \end{matrix} \right]\end{array} )

∴ (\left[ \begin{matrix} x \ y \ z \ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} \frac{85}{13} \ \frac{-30}{13} \ \frac{-70}{13} \ \end{matrix} \right] \Rightarrow ,,x=\frac{85}{13},y=\frac{-30}{13},z=\frac{-70}{13})

चित्रण: यदि $$\left[ \begin{matrix} 2 & 1 \ 7 & 4 \ \end{matrix} \right]A\left[ \begin{matrix} -3 & 2 \ 5 & -3 \ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \ \end{matrix} \right],$$

मात्रिका A =

\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \ \end{bmatrix}

(\begin{array}{l}(अ) \left[ \begin{matrix} 7 & 5 \ -11 & -8 \ \end{matrix} \right] ;;;;;(ब) \left[ \begin{matrix} 2 & 1 \ 5 & 3 \ \end{matrix} \right] ;;;;;; (क)\left[ \begin{matrix} 7 & 1 \ 34 & 5 \ \end{matrix} \right] ;;;;;; (द) \left[ \begin{matrix} 5 & 3 \ 13 & 8 \ \end{matrix} \right]\end{array} )

दिया हुआ:

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समाधान:

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(अ) हम जानते हैं कि यदि $XAY = I$ है, तो $A = \left( YX \right)^{-1}$।

$$YX=\left[ \begin{matrix} -3 & 2 \ 5 & -3 \ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 2 & 1 \ 7 & 4 \ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 8 & 5 \ -11 & -7 \ \end{matrix} \right]$$

∴ $$A=\left[ \begin{matrix} 8 & 5 \ -11 & -7 \ \end{matrix} \right]^{-1}=\left[ \begin{matrix} 7 & 5 \ -11 & -8 \ \end{matrix} \right]$$

चित्रण: समीकरण सामरण $$\left( \begin{matrix} 3 & -2 & 1 \ 5 & -8 & 9 \ 2 & 1 & a \ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \ y \ z \ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} b \ 3 \ -1 \ \end{matrix} \right)$$

कोई समाधान नहीं है यदि a और b हैं

(\begin{array}{l}(अ) a \ne -3, b \ne 1/3;;;; (ब) a = 2/3, b \ne 1/3 ;;;(क) a \ne 1/4, b = 1/3 ;;;;(द) a \ne -3, b \ne 1/3\end{array} )

दिया हुआ:

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समाधान:

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दिए गए मात्रिकाओं पर पंक्तियों के संचालन करके उन्हें तुलना करके, हम चाहिए नतीजा प्राप्त कर सकते हैं।

(अ) उद्दीपन मात्रिका दी गई है जो है ( \left( \begin{matrix} 3 & -2 & 1 & | & b \ 5 & -8 & 9 & | & 3 \ 2 & 1 & a & | & -1 \ \end{matrix} \right) )

हाँ

२. क्रैमर के नियम

मैट्रिक्स गुणन और गौसियन प्रतिनिधि दो तरीके हैं जिनका उपयोग मैट्रिक्स का उपयोग करके रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है।

एकसंगत समीकरण वे समीकरण होते हैं जिनमें चरों की संख्या के बराबर चर होते हैं जितने समीकरण होते हैं।

एकसंगत समीकरण सेंसबिल समीकरण होते हैं जो एक या एक से अधिक समाधान होते हैं।

रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए इस्तेमाल होने वाले मैट्रिक्स गुणन के लिए सूत्र है: $$AX = B$$

हम का इस्तेमाल किया जाता है AX = B सूत्र, जहां A गुणनांक मैट्रिक्स होता है, X चर मैट्रिक्स होता है, और B स्थायी मैट्रिक्स होता है।