मैट्रिक्स का रैंक
एक संज्ञात्रix की रैंक उसके लीनियर निरपेक्ष स्तंभ (या पंक्तियों) की अधिकतम संख्या होती है। संज्ञात्रix की रैंक, उसकी पंक्तियों या स्तंभों की संख्या से अधिक नहीं हो सकती है।
एक वर्ग संज्ञात्रix, $\rho(A)$, अगर अनिलेख्य हो तो उसकी क्रम, $m$, के बराबर होती है। इसका अर्थ है कि इसके स्तंभ (पंक्तियाँ) लीनियर निरपेक्ष होती हैं।
एक शून्य संज्ञात्रix की रैंक शून्य होती है। एक शून्य संज्ञात्रix में कोई गैर-शून्य पंक्तियाँ या स्तंभ नहीं होते हैं। इसलिए, कोई स्वतंत्र पंक्तियाँ या स्तंभों होते नहीं हैं। परिणामस्वरूप, शून्य संज्ञात्रix की रैंक शून्य होती है।
कैसे संज्ञात्रix की रैंक पता करें?
संज्ञात्रix की रैंक पता करने के लिए, हम उस matrix को उसके इकल्छन रूप में परिवर्तित करेंगे।
गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या द्वारा रैंक का निर्धारण करें।
निम्नलिखित संज्ञात्रix का मान लें:
(\begin{array}{l}A= \begin{bmatrix} 2 & 4 &6 \ 4& 8& 12 \end{bmatrix}\end{array})
हम इसे देख सकते हैं कि दूसरी पंक्ति पहली पंक्ति के दोगुना है, हालांकि, इससे तालिका का रैंक प्रभावित नहीं होता है, जो अभी भी 1 माना जाता है।
इकाई संज्ञात्रix का मान लें
(\begin{array}{l}A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{array})
इस मानचित्र की रैंक 3 है, क्योंकि पंक्तियाँ स्वतंत्र हैं।
आदेश m की इकाई संज्ञात्रix की रैंक m होती है।
यदि A संज्ञात्रix आदेश m×n है, तो A की रैंक (ρ(A)) उसके m और n के न्यूनतम के बराबर होती है (min{m, n } = minimum of m, n)।
यदि A की आदेश n×n है और |A| ≠ 0 है, तो A की रैंक = n होती है।
यदि A की आदेश $n \times n$ है और $|A| = 0$ है, तो A की रैंक $n$ से कम होगी।
संज्ञात्रix की पंक्ति द्वारा रैंक: इकाई रूप
हम एक दिए गए गैर-शून्य संज्ञात्रix को पंक्ति-इकाई रूप कहलाने वाले एक सरलित रूप में परिवर्तित कर सकते हैं, पंक्ति मूल आपरेशन का उपयोग करके। इस रूप में, हमारे पास ऐसी पंक्तियाँ हो सकती हैं जिनके सभी प्रवेश शून्य होते हैं। ऐसी पंक्तियाँ शून्य पंक्तियाँ कहलाती हैं। एक गैर-शून्य पंक्ति ऐसी होती है जिसमें कम से कम एक अंश शून्य नहीं होता है।
उदाहरण के रूप में, निम्नलिखित संज्ञात्रix को विचार करें:
(\begin{array}{l}A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{array})
यहां आर1 और आर2 दोनों गैर-शून्य पंक्तियाँ हैं।
आर3 में 0 पंक्तियाँ हैं।
संज्ञात्रix A को एक पंक्ति-इकाई रूप में कहा जाता है अगर:
- सभी गैर-शून्य पंक्तियाँ सभी शून्य पंक्तियों से ऊपर होती हैं
- गैर-शून्य पंक्तियों का आग्रयी कोणीय सदियाँ (अर्थात बाईं ओर सबसे पहले गैर-शून्य प्रविश) हमेशा उसके ऊपरी पंक्ति के आग्रयी कोणीय सदिये के बाईं ओर होता है।
(i) A की हर गैर-शून्य पंक्ति सभी शून्य पंक्तियों से पहले होती हैं।
(ii) A के किसी भी पंक्ति i के पहले गैर-शून्य तत्वों का प्रवेश जिसमें एक i में क्_ज्गणितीय पंक्ति के पहले गैर-शून्य तत्व होता है, उसमें सभी अन्य तत्वों की ई다तियों सभी शून्य होती हैं।
(iii) A की i में पहिला गैर-शून्य प्रवेश A की (i+1) में पहले गैर-शून्य प्रवेश से बाईं ओर होता है।
ध्यान दें: एक संज्ञात्रix उन शून्य पंक्तियों के नीचे स्थानिश्चित होने के आधार पर पंक्ति-इकाई रूप में होती है और यदि किसी निचली पंक्ति के पहले गैर-शून्य तत्वों के एक लोअर पंक्ति में किसी नीचे गैर-शून्य तत्व के दाईं ओर स्थित होता है।
यदि एक मैट्रिक्स पंक्ति-रिचलन रूप में है, तो अग्रवती व्युजक के नीचे सभी तत्व 0 के बराबर होते हैं।
निम्नलिखित मैट्रिक्स को विचार करें:
(\begin{array}{l}A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 5 \ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{array})
मैट्रिक्स A पंक्ति-रिचलन रूप में है क्योंकि मैट्रिक्स की अंतिम पंक्ति से आरंभ करके, तृतीय पंक्ति एक शून्य वाली पंक्ति है, और दूसरी पंक्ति में पहला गैर-शून्य तत्व तृतीय स्तंभ में होता है, जो पहली पंक्ति में पहले गैर-शून्य तत्व के दाईं ओर होता है, जो दूसरे स्तंभ में होता है।
भी पढ़ें
मैट्रिक्स का प्रतिष्ठान और इनवर्स
मैट्रिक्स की गुणदाहरण: हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1:
यह वाक्यांश दोबारा लिखा जाना चाहिए।
यह वाक्यांश दोबारा लिखा गया है।
मैट्रिक्स A का प्रमाण उपयोग करके रैंक ढूंढें।
(\begin{array}{l}A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 1 & 4 \ 3 & 0 & 5 \end{bmatrix} \end{array})
दिया गया:
यह एक शीर्षक है
समाधान:
यह एक शीर्षक है
दिया गया, $$A = \begin{bmatrix} 1 &2 &3 \ 2& 1 & 4\ 3 & 0 & 5 \end{bmatrix}$$
अब हम पेशेवर परिवर्तन लागू करते हैं।
R2 - 2R1 → R2
R3 - 3R1
हम प्राप्त करते हैं
(\begin{bmatrix} 1 &2 &3 \ 0& -3 & -2\ 0 & -6 & -4 \end{bmatrix})
R3 - 2R2 → 0
(\begin{bmatrix} 1 &2 &3 \ 0& -3 & -2\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix})
मैट्रिक्स पंक्ति-रिचलन रूप में है।
गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या: 2
मैट्रिक्स A का रैंक 2 है।
उदाहरण 2:
मैट्रिक्स A का रैंक 2 है।
दिया गया:
हमारी दुकान में आपका स्वागत है
समाधान:
हमारी दुकान में आपका स्वागत है
दिया गया, $$A = \begin{bmatrix} 1 &2 &3 \ 2& 3 &4\ 3 & 5 & 7 \end{bmatrix}$$
अब हम मैट्रिक्स A को उपयोग करके पंक्ति-रिचलन रूप में बदलते हैं, पेशेवर परिवर्तनों का उपयोग करके।
R2 - 2R1 → R2
R3 - 3R1
(\begin{bmatrix} 1 &2 &3 \ 0& -1 &-2\ 0 & -1 & -2 \end{bmatrix})
R3 - (R3 - R2)
(\begin{bmatrix} 1 &2 &3 \ 0& -1 &-2\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix})
गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या: 2
मैट्रिक्स A का रैंक 2 है।
उदाहरण 3:
मैट्रिक्स का रैंक क्या है?
(\begin{array}{l}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\end{array})
दिया गया:
हेलो वर्ल्ड
समाधान:
हेलो वर्ल्ड
दिया गया
यह एक दिया गया कथन है।
दिया गया यह एक दिया गया कथन है।
(\begin{bmatrix} 1 &1 &1 \ 1& 1 &1\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix})
R2 - R1 → R2
R3 - (R3 - R1)
हम प्राप्त करते हैं
(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix})
यहाँ गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या 1 है।
मैट्रिक्स का रैंक 1 है।
उदाहरण 4:
2×2 मैट्रिक्स $\begin{array}{l}B = \begin{bmatrix} 5 & 6\ 7& 8 \end{bmatrix}\end{array}$ का रैंक 2 है।
दिया गया:
यह एक शीर्षक है
समाधान:
यह एक शीर्षक है
दिया गया, $$B = \begin{bmatrix} 5 & 6\ 7 & 8 \end{bmatrix}$$
B का ऑर्डर = 2 x 2
|B| = -2 ≠ 0
B का रैंक 2 है।
उदाहरण 5:
दिया गया, $$A = \begin{bmatrix} 4& 7\ 8& 14 \end{bmatrix}$$
मैट्रिक्स A का आकार क्या है?
दिया गया:
यह एक शीर्षक है
समाधान:
यह एक उदाहरण है
यह एक उदाहरण है:
फ़ॉलोइंग मैट्रिक्स का रैंक क्या है?
a) 1
b) 2
c) 3
- 4
दिया गया है:
यह एक शीर्षक है
समाधान:
यह एक शीर्षक है
दिया गया है, (\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0& -2\ 2& 0& 2 & 2\ 4& 1 & 3 & 1 \end{bmatrix})
हम पंक्ति पाठ्यक्रम का उपयोग करके मैट्रिक्स को बदलते हैं।
R2 - 2R1 → R2
(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0& -2\ 0& -2& 2 & 6\ 0& -3 & 3 & 9 \end{bmatrix})
रू2/-2 → आर2
(\begin{array}{l}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & -2 \ 0 & 1 & -1 & -3 \ 0 & -3 & 3 & 9 \end{bmatrix}\end{array})
R3 + 3R2 → R3
(\begin{array}{l}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & -2 \ 0 & 1 & -1 & -3 \ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\end{array})
रैंक = 2, क्योंकि वहाँ तीन गैर-शून्य पंक्तियाँ हैं।
इसलिए, उत्तर (b) सही है।
उदाहरण 8: यह एक उदाहरण है.
यह उदाहरण 8 है: यह एक उदाहरण है.
प्रदत्त संख्या मैट्रिक्स P + Q = 3
a) 1
b) 0
c) 2
d) 3
दिया गया है:
यह एक उदाहरण है
समाधान:
यह एक उदाहरण है
दिया गया है, $$P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1\ 2 & -3& 4\ 3 & -2 & 3 \end{bmatrix}$$
(\begin{array}{l}Q = \begin{bmatrix} -1 & -2 & -1 \ 6 & 12 & 6 \ 5 & 10 & 5 \end{bmatrix} \end{array})
(\begin{array}{l}Q + P = \begin{bmatrix} 0 & -1 & -2\ 8& 9& 10\ 8& 8 & 8 \end{bmatrix}\end{array})
कोलम C1 और C2 को बदलें
(\begin{array}{l}\begin{bmatrix} -1 & 0 & -2 \ 9 & 8 & 10 \ 8 & 8 & 8 \end{bmatrix}\end{array})
आर2 + 9R1 → आर2
आर3 + 8R1 → आर3
(\begin{bmatrix} -1 & 0 & -2\ 0& 8& -8\ 0& 8 & -8 \end{bmatrix})
आर3 - आर2 → आर3
कंटेंट का ‘hi’ संस्करण क्या है: (\begin{array}{l}\begin{bmatrix} -1 & 0 & -2 \ 0 & 8 & -8 \ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\end{array})
R2/8 → R2
(\begin{array}{l}\begin{bmatrix} -1 & 0 & -2 \ 0 & 1 & -1 \ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\end{array})
गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या: 2
इसलिए रैंक 2 है
इसलिए, विकल्प (सी) सही उत्तर है।
वीडियो पाठ
मैट्रिक्स और निर्धारक - महत्वपूर्ण विषय
मैट्रिक्स और निर्धारक - महत्वपूर्ण प्रश्न
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
मैट्रिक्स का रैंक क्या होता है?
मैट्रिक्स का रैंक उसकी लीनियर स्वतंत्र पंक्तियों (या स्तंभों) की अधिकतम संख्या होती है।
क्या मैट्रिक्स का रैंक पंक्तियों या स्तंभों की संख्या से अधिक हो सकता है?
मैट्रिक्स का रैंक उसकी पंक्तियों या स्तंभों की संख्या से अधिक नहीं हो सकता है।
रैंक शून्य मैट्रिक्स क्या हैं?
यदि मैट्रिक्स के सभी तत्व शून्य हो जाते हैं, तो मैट्रिक्स एक रैंक शून्य मैट्रिक्स होती है।
मैट्रिक्स का रैंक क्या होता है?
मैट्रिक्स के रैंक का पता लगाने के लिए, मैट्रिक्स को उसकी उचाई रूप में परिवर्तित करें। फिर गैर-शून्य पंक्तियों की गिनती करके रैंक निर्धारित करें।
