श्रेणियाँ के गुणधर्म (Shreniyaon ke Gunadharma)
द्युति गणित में, एक निर्धारितकर्ता एक वर्ग मैट्रिक्स से निर्धारित किया जा सकने वाला एक विशेष संख्या होता है। मानक्क मैट्रिक्स का निर्धारक, det(P), |P| या det P के रूप में चिह्नित होता है, जिसके कुछ उपयोगी गुण होते हैं जो हमें अलग और सरल प्रविष्टियों (अंशों) के साथ एक ही परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देते हैं। निर्धारकों की 10 मुख्य गुण होती हैं, ज्ञातिविधि गुण, सभी-शून्य गुण, प्रमाणांतर या पुनरावृत्ति गुण, तालिका गुण, यथापक सदिश गुण, योग गुण, अविकार गुण, गुणण गुण, त्रिभुज गुण, और सह संक्षेपक मैट्रिक्स गुण। इन सभी गुणों को विस्तार से नीचे दिए गए हैं, साथ ही हल किए गए उदाहरणों के साथ।
निर्धारक: सभी विषय
निर्धारकों के गुण
निर्धारकों का उपयोग करके रैखिक समीकरण सिस्टम
निर्धारकों की महत्वपूर्ण गुणधर्म
- एक मैट्रिक्स का निर्धारक उसके आइजनवैल्यू के गुणाकार के बराबर होता है।
- एक मैट्रिक्स का निर्धारक उसके प्रमुख माइनर्स के योग के बराबर होता है।
- एक त्रिभुजकीय मैट्रिक्स का निर्धारक उसके वर्गांत अंकों के गुणाकार के बराबर होता है।
- एक मैट्रिक्स का निर्धारक पंक्ति और स्तंभ चालकियों के अंदरित के तहत अचल होता है।
- एक मैट्रिक्स का निर्धारक स्वतंत्रता के तहत अचल होता है।
- एक मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य होता है यदि और केवल यदि मैट्रिक्स विवादी होती है।
- मैट्रिक्सों के गुणांकों के गुणाकार का निर्धारक उनके निर्धारकों के गुणाकार के बराबर होता है।
1. द्यावरोपण गुणधर्म:
निर्धारक अचल रहता है यदि इसकी पंक्तियों को स्तंभों में और स्तंभों को पंक्तियों में बदल दिया जाए। यह द्यावरोपण की गुणधर्म के रूप में जाना जाता है।
2. सभी-शून्य गुणधर्म:
यदि कोई भी पंक्ति (या स्तंभ) के तत्व सभी-शून्य हों, तो निर्धारक शून्य होता है।
3. प्रमाणांतर (पुनरावृत्ति) गुणधर्म:
यदि किसी पंक्ति (या स्तंभ) के तत्व किसी अन्य पंक्ति (या स्तंभ) के तत्वों के समानांश के प्रमाणांतर (साधारित) हों, तो निर्धारक शून्य होता है।
4. गुणधर्म विथलंबण:
किसी भी दो पंक्तियों (या स्तंभों) को एक-दूसरे के स्थान पर बदलने पर निर्धारक की चिन्ह बदल जाती है।
5. स्केलर गुणांक गुणधर्म:
एक पंक्ति (या स्तंभ) का निर्धारक गुणांक गैर-शून्य स्थायी संख्या से गुणित किया जाने पर निर्धारक उसी सामान्यता से गुणित होता है।
6. योग गुणधर्म:
(\left| \begin{matrix} {{a}_{1}} & {{c}_{1}} & {{d}_{1}} \ {{a}_{2}} & {{c}_{2}} & {{d}_{2}} \ {{a}_{3}} & {{c}_{3}} & {{d}_{3}} \ \end{matrix} \right| + \left| \begin{matrix} {{b}_{1}} & {{c}_{1}} & {{d}_{1}} \ {{b}_{2}} & {{c}_{2}} & {{d}_{2}} \ {{b}_{3}} & {{c}_{3}} & {{d}_{3}} \ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} {{a}_{1}}+{{b}_{1}} & {{c}_{1}} & {{d}_{1}} \ {{a}_{2}}+{{b}_{2}} & {{c}_{2}} & {{d}_{2}} \ {{a}_{3}}+{{b}_{3}} & {{c}_{3}} & {{d}_{3}} \ \end{matrix} \right|)
अविकार गुणधर्म:
ट्रिकों की मदद से हम दिए गए समस्या की प्रमाणित कर सकते हैं।
(\left| \begin{matrix} a & b & c \ b & c & a \ c & a & b \ \end{matrix} \right| = (a+b+c)(ab+bc+ca - a^2 - b^2 - c^2))
दिया गया है:
यह एक हैडिंग है
समाधान:
यह एक हैडिंग है
हम दिये गये समस्या को दिये गए प्रमाण की गुणाधार और स्केलर के एक प्रमाण की संपत्तियों का उपयोग करके सिद्ध कर सकते हैं।
(\begin{array}{l}\Delta =\left| \begin{matrix} a & b & c \ b & c & a \ c & a & b \ \end{matrix} \right|\=\left| \begin{matrix} a+b+c & b & c \ b+c+a & c & a \ c+a+b & a & b \ \end{matrix} \right| \text{को संपादन } C_1 \to C_1 + C_2 + C_3 \end{array})
(\begin{array}{l}=\left( a+b+c \right)\left| \begin{matrix} 1 & b & c \ 0 & c-b & a-c \ 0 & a-b & b-c \ \end{matrix} \right|\=\left( a+b+c \right)\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & c-b & a-c \ 0 & a-b & b-c \ \end{matrix} \right| [संपादित करें \left( {{R}_{2}}\to {{R}_{2}}-{{R}_{1}},और,{{R}_{3}}\to {{R}_{3}}-{{R}_{1}} \right)]\end{array} )
=(a + b + c) \[(c - b) \cdot (b - c) - (a - b) \cdot (a - c)\]
$$\left( a+b+c \right)\left( ab+bc+ca-{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}} \right)$$
उत्तर:
3x3 मैट्रिक्स के लिए लैपलेस विस्तार का उपयोग करके, हम मैट्रिक्स का विस्तार कर सकते हैं:
।सामान्यतया।, Lalji_LEDऔर जीमेल ई-मेल पर मुझसे बात करेंगे
विषय 3:
पहले स्तंभ के आदानुक्रम का उपयोग करके:
\begin{align*} \left| \begin{matrix} \alpha & \beta & \gamma \ \theta & \phi & \psi \ \lambda & \mu & v \ \end{matrix} \right| &= \alpha\left| \begin{matrix} \phi & \psi \ \mu & v \ \end{matrix} \right| - \beta\left| \begin{matrix} \theta & \psi \ \lambda & v \ \end{matrix} \right| + \gamma\left| \begin{matrix} \theta & \phi \ \lambda & \mu \ \end{matrix} \right| \ &= \alpha\left| \begin{matrix} \mu & v \ \phi & \psi \ \end{matrix} \right| - \beta\left| \begin{matrix} \lambda & v \ \theta & \psi \ \end{matrix} \right| + \gamma\left| \begin{matrix} \lambda & \mu \ \theta & \phi \ \end{matrix} \right| \ &= \left| \begin{matrix} \beta & \mu & \phi \ \alpha & \lambda & \theta \ \gamma & v & \psi \ \end{matrix} \right| \end{align*}
दिया गया:
यह एक बयान है
समाधान:
यह एक बयान है
पूरी तुलना और फिर पंक्तियों और स्तंभों को विन्यास करके विचार करें, हम अर्जित परिणाम प्राप्त कर सकते हैं।
एलएचएस = (\begin{vmatrix} \alpha & \beta & \gamma \ \theta & \phi & \psi \ \lambda & \mu & v \ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \alpha & \theta & \lambda \ \beta & \phi & \mu \ \gamma & \psi & v \ \end{vmatrix} )
उलट क्रम में पंक्तियों और स्तंभों को प्रतिस्थापित करने का प्रयास
(\begin{array}{l}=\left| \begin{vmatrix} \beta & \mu & \phi \ \alpha & \lambda & \theta \ \gamma & v & \psi \ \end{vmatrix} \right|\end{array})
आरएचएस
सवाल 4: यदि (a), (b), और (c) सभी अलग-अलग हैं और (\left| \begin{matrix} a & {{a}^{2}} & 1+{{a}^{3}} \ b & {{b}^{2}} & 1+{{b}^{3}} \ c & {{c}^{2}} & 1+{{c}^{3}} \ \end{matrix} \right|=0), तो (a), (b), और (c) का मान क्या होगा?
प्रमाण:
a, b, और c वास्तविक संख्याओं को बताएं।
फिर, abc = a(bc) = a(-1) = -a
इसलिए, abc = -1
दिया गया:
यह एक शीर्षक है
समाधान:
यह एक शीर्षक है
दिए गए समीकरण को योग गुणनक संपत्ति, परिवर्तन और अचलता संपत्तियों का उपयोग करके दिखा सकते हैं।
कॉन्टेंट का हिंदी संस्करण क्या है: (\begin{array}{l}D=\left| \begin{matrix} a & {{a}^{2}} & 1 \ b & {{b}^{2}} & 1 \ c & {{c}^{2}} & 1 \ \end{matrix} \right|+abc\left| \begin{matrix} 1 & a & {{a}^{2}} \ 1 & b & {{b}^{2}} \ 1 & c & {{c}^{2}} \ \end{matrix} \right|\=\left| \begin{matrix} a & {{a}^{2}} & 1 \ b & {{b}^{2}} & 1 \ c & {{c}^{2}} & 1 \ \end{matrix} \right|+abc\left| \begin{matrix} 1 & a & {{a}^{2}} \ 1 & b & {{b}^{2}} \ 1 & c & {{c}^{2}} \ \end{matrix} \right|\end{array})
(\begin{array}{l}={{\left( -1 \right)}^{1}}\left| \begin{matrix} 1 & {{a}^{2}} & c \ 1 & {{b}^{2}} & b \ 1 & {{c}^{2}} & a \ \end{matrix} \right|+abc\left| \begin{matrix} 1 & a & {{a}^{2}} \ 1 & b & {{b}^{2}} \ 1 & c & {{c}^{2}} \ \end{matrix} \right|; \left[ {{C}_{1}}\leftrightarrow {{C}_{3}},in,,1st,,\det . \right]\end{array} )
\(\begin{array}{l}={{\left( -1 \right)}^{2}}\left| \begin{matrix} 1 & a & {{a}^{2}} \\ 1 & c & {{c}^{2}} \\ 1 & b & {{b}^{2}} \\ \end{matrix} \right|+abc\left| \begin{matrix} 1 & a & {{a}^{2}} \\ 1 & c & {{c}^{2}} \\ 1 & b & {{b}^{2}} \\ \end{matrix} \right| \;\;\left[ {{C}\_{2}}\leftrightarrow {{C}\_{3}}\,in\,\,1st\,\,\det . \right]\end{array} \)
(\begin{array}{l}=\left( 1+abc \right)\left| \begin{matrix} 1 & a & {{a}^{2}} \ 1 & b & {{b}^{2}} \ 1 & c & {{c}^{2}} \ \end{matrix} \right|\\end{array})
(\begin{array}{l}=\left( 1+abc \right)\left| \begin{matrix} 1 & a & {{a}^{2}} \ 0 & b-a & {{b}^{2}}-{{a}^{2}}-{{a}^{2}} \ 0 & c-a & {{c}^{2}}-{{a}^{2}}-{{a}^{2}} \ \end{matrix} \right| ;;\left[ {{R}_{2}}\to {{R}_{2}}-a{{R}_{1,,}}and,,{{R}_{3}}\to {{R}_{3}}-a{{R}_{1}} \right]\end{array} )
(\begin{array}{l}=\left( 1+abc \right)\left| \begin{matrix} b-a & {{b}^{2}}-{{a}^{2}} \ c-a & {{c}^{2}}-{{a}^{2}} \ \end{matrix} \right| ;\textbf{(विस्तारित ;आदि ;पंक्ति)} \=\left( 1+abc \right)\left( b-a \right)\left( c-a \right)\left| \begin{matrix} 1 & b+a \ 1 & c+a \ \end{matrix} \right|\end{array} )
(\begin{array}{l}=\left( 1+abc \right)\left( b-c \right)\left( c-a \right)\left( c+a-b-a \right)\=\left( 1+abc \right)\left( b-a \right)\left( c-a \right)\left( c-b \right)\end{array} )
(\begin{array}{l}\Rightarrow 0 = \left( 1+abc \right)\left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( c-a \right);\end{array})
(\begin{array}{l}\Rightarrow \left( 1+abc \right)\left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( c-a \right)=0 \end{array})
(abc + 1) = 0
यदि $a$, $b$, और $c$ एक दूसरे से अलग हैं (अर्थात $a \ne b$, $b \ne c$, और $c \ne a$), तो $abc = -1$ होता है।
प्रश्न 5: सिद्ध कीजिए कि $$\left| \begin{matrix} a+b+2c & a & b \ c & b+c+2a & b \ c & a & c+a+2b \ \end{matrix} \right|=2{{\left( a+b+c \right)}^{3}}$$
दिया गया:
यह एक सरणी है
समाधान:
यह एक सरणी है
हम L.H.S. को सरलता से विस्तार कर सकते हैं, स्विचिंग और संख्या गुणक गुणकता के उपयोग से।
(\begin{vmatrix} a+b+2c & a & b \ c & b+c+2a & b \ c & a & c+a+2b \ \end{vmatrix})
कंटेंट का ही संस्करण है: $$\begin{array}{l}{{C}_{1}}\to {{C}_{1}}+\left( {{C}_{2}}+{{C}_{3}} \right),\end{array}$$ हम प्राप्त करते हैं
$\begin{array}{l} \left| \begin{matrix} 2\left( a+b+c \right) & a & b \ 2\left( a+b+c \right) & b+c+2a & b \ 2\left( a+b+c \right) & a & c+a+2b \ \end{matrix} \right|\ =2\left( a+b+c \right)\left| \begin{matrix} 1 & a & b \ 1 & b+c+2a & b \ 1 & a & c+a+2b \ \end{matrix} \right| \end{array}$
(\begin{array}{l}{R}_{2} \to {R}_{1}+{R}_{1};;and;;{R}_{3} \to {R}_{3}+{R}_{1};;(given)\end{array})
(\begin{array}{l}2\left( a+b+c \right)\left| \begin{matrix} 1 & a & b \ 0 & b+c+a & 0 \ 0 & 0 & c+a+b \ \end{matrix} \right|\ =2\left( a+b+c \right)\left{ \left( b+c+a \right)\left( c+a+b \right)-\left( 0\times 0 \right) \right}\ =2{{\left( a+b+c \right)}^{3}}\end{array} )
इसलिए, यह सिद्ध हो गया है।
जवाब 6:
लेट (A = \begin{vmatrix} {{a}^{2}}+1 & ab & ac \ ab & {{b}^{2}}+1 & bc \ ac & bc & {{c}^{2}}+1 \ \end{vmatrix}).
पहली पंक्ति के विस्तार के साथ, हमारे पास है
(A = ({{a}^{2}}+1)({{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1-bc)-ab(ac-bc)+ac(ab-ac) )
सरलीकृत करते हैं, हमारे पास हो जाता है
(A = {{a}^{2}}({{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1)+1-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}-bc+ac(bc-ab))
क्योंकि (bc = ab), हमारे पास है
(A = {{a}^{2}}({{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1)+1-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}+ac(ab-bc))
लेकिन (ac = bc), इसलिए
(A = {{a}^{2}}({{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1)+1-{{b}^{2}}-{{c}^{2}} )
(A = 1+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} )
इसलिए, ( \left| \begin{matrix} {{a}^{2}}+1 & ab & ac \ ab & {{b}^{2}}+1 & bc \ ac & bc & {{c}^{2}}+1 \ \end{matrix} \right|=1+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})
दिया गया:
यह एक शीर्षक है
समाधान:
यह एक शीर्षक है
(\begin{array}{l}\left| \begin{matrix} {{a}^{2}}+1 & ab & ac \ ab & {{b}^{2}}+1 & bc \ ac & bc & {{c}^{2}}+1 \ \end{matrix} \right|\ =a^2+b^2+c^2+1+2abc\end{array})
सकल प्रयोज्यता और अचलता गुणों का उपयोग करके।
L.H.S.= (\begin{array}{l}\left| \begin{matrix} {{a}^{2}}+a & a^2b & a^2c \ ab & {{b}^{2}}+b & b^2c \ ac & bc & {{c}^{2}}+c \ \end{matrix} \right|;\end{array} ) C1,C2,C3 को a, b, c से गुणित करना
(\begin{array}{l}=\frac{1}{abc}\left| \begin{matrix} a\left( {{a}^{2}}+1 \right) & a{{b}^{2}} & a{{c}^{2}} \ {{a}^{2}}b & b\left( {{b}^{2}}+1 \right) & b{{c}^{2}} \ {{a}^{2}}c & {{b}^{2}}c & c\left( {{c}^{2}}+1 \right) \ \end{matrix} \right| \cdot \left| \begin{matrix} a & b & c \ a & b & c \ a & b & c \ \end{matrix} \right|;\end{array} ) अब a, b, c को R1,R2,R3 में से उठा लेते हैं
हाय सामग्री का हिन्दी संस्करण क्या होगा: (\begin{array}{l}=\frac{abc}{abc}\left| \begin{matrix} a^{2}+1 & b^{2} & c^{2} \ a^{2}+1 & b^{2}+1 & c^{2} \ a^{2}+1 & b^{2} & c^{2}+1 \ \end{matrix} \right|\=\left| \begin{matrix} 1+a^{2}+b^{2}+c^{2} & b^{2} & c^{2} \ 1+a^{2}+b^{2}+c^{2} & b^{2}+1 & c^{2} \ 1+a^{2}+b^{2}+c^{2} & b^{2} & c^{2}+1 \ \end{matrix} \right| ;;;\left[ C_{1}\to C_{1}+C_{2}+C_{3} \right]\end{array} )
(\begin{array}{l}=\left( 1+a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)\left| \begin{matrix} 1 & b^{2} & c^{2} \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ \end{matrix} \right|\=\left( 1+a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ \end{matrix} \right| ;;\left[ R_{1}\to R_{1}-R_{2}-R_{3} \right]\end{array} )
(\begin{array}{l} R.H.S. = 1+a^{2}+b^{2}+c^{2} \ \left( 1+a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)\left( 1 \right)=R.H.S. \end{array})
इसलिए सिद्ध हुआ
मैट्रिक्स और निर्धारक: महत्वपूर्ण विषय
मैट्रिक्स और निर्धारक पर महत्वपूर्ण प्रश्न
मैट्रिक्स और निर्धारक पर शीर्ष 10 सबसे महत्वपूर्ण और प्रत्याशित JEE मुख्य प्रश्न
आवृत्ति गुणधर्म क्या होता है?
निर्धारक की आवृत्ति गुणधर्म यह कहता है कि एक मैट्रिक्स का निर्धारक, इसके ट्रांस्पोज के निर्धारक के बराबर होता है।
पंक्तियों को कॉलम्स में और कॉलम्स को पंक्तियों में बदलने पर निर्धारक अचल रहता है। इसे आवर्तन का गुणधर्म कहा जाता है।
यदि दो पंक्तियाँ या कॉलम्स को बदल दिया जाए तो क्या होगा?
यदि दो पंक्तियाँ या कॉलम्स को आपस में बदल दिया जाए तो निर्धारक की गुणधर्म बदल जाती है।
निर्धारक का अनुपात गुणधर्म के अनुसार कहता है कि जब कोई पंक्ति या कॉलम गैर-शून्य संख्या से गुणित होता है तो निर्धारक का मान अचूक है।
यदि किसी पंक्ति या कॉलम का संख्यात्मक सदिश या एक समान संख्या के साथ संबंधित होता है, तो निर्धारक शून्य होता है। इसे दोहराव का गुणधर्म कहा जाता है।
निर्धारक का त्रिकोणीय गुणधर्म कहता है कि एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स का निर्धारक, मैट्रिक्स के मुख्य रेखा पर तत्वों का गुणांकों का गुणफल होता है।
निर्धारक उस गुणांक के गुणांक के उत्पाद के बराबर होता है जब मुख्य रेखा के ऊपर या नीचे के सभी तत्वों के गुणांक शून्य होते हैं।
हाँ, निर्धारक शून्य हो सकता है।
हाँ, एक निर्धारक शून्य, नकारात्मक या सकारात्मक हो सकता है।
हाँ, एक पहचान मैट्रिक्स का निर्धारक 1 के बराबर होता है।
हाँ, एक पहचान मैट्रिक्स का निर्धारक हमेशा 1 होता है।
निर्धारक के सभी तत्व शून्य होते हैं तो क्या होता है?
निर्धारक के सभी तत्वों के एक दिन होने की स्थिति में, तो निर्धारक का मान भी शून्य होता है।
संघातों की सर्व-शून्य संपत्ति के अनुसार, यदि सभी पंक्तियों / स्तंभों के तत्व शून्य हैं, तो संघातक शून्य के बराबर होता है।
ए-1 का संघातक, ए के संघातक का प्रतिक होता है।
यदि $\mathbf{A^{-1}}$ पटरी $\mathbf{A}$ का उल्टा है, तो $\det(\mathbf{A^{-1}}) = \frac{1}{\det(\mathbf{A})}$।
