माइनर्स और कोफैक्टर्स, मैट्रिक्स में दो सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से दो हैं। ये मात्रिक्स के एजॉइंट और इंवर्स का पता लगाने के लिए महत्वपूर्ण हैं। एक बड़े वर्गक आकार (जैसे 4x4) के लिए निर्धारक की खोज करने के लिए, माइनर्स और फिर उस मात्रिक्स के कोफैक्टर्स की गणना करना महत्वपूर्ण है। यहां उन “माइनर्स और कोफैक्टर्स क्या होते हैं” के विस्तृत समझाने के साथ उन्हें खोजने के चरणों की एक व्याख्या है।

निर्धारक में विषय-सूची

निर्धारक का परिचय

माइनर्स और कोफैक्टर्स

निर्धारक के गुण

निर्धारक का उपयोग करके रैखिक समीकरण सिस्टम

निर्धारक का अंतर्विधि और इंटीग्रेशन

मानक निर्धारक

माइनर्स उन व्यक्तियों को कहते हैं जो कानून के तहत वयस्क नहीं माने जाते हैं और जिनकी आयु 18 से कम होती है।

मारीका में एक तत्व का माइनर, उदाहरण के लिए द्वारा $\begin{vmatrix} {a}{11} & {a}{12} & {a}{13} \ {a}{21} & {a}{22} & {a}{23} \ {a}{31} & {a}{32} & {a}_{33} \ \end{vmatrix}$, को उस तत्व की पंक्ति और स्तंभ को हटाकर प्राप्त किया जाने वाला निर्धारक के रूप में परिभाषित किया गया है।

A12 का माइनर M12 के रूप में चिह्नित किया जाता है।

यहां, $$M_{12} = \left| \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \ a_{31} & a_{33} \ \end{matrix} \right|$$

कोफैक्टर्स वे मोलेक्यूल हैं जो किसी एंजाइम को सही ढंग से काम करने के लिए आवश्यक होते हैं। ये अप्राकृतिक आयन या संयुक्त सत्ता हो सकते हैं। कोफैक्टर्स एंजाइम के सक्रिय स्थान पर बाध्य किए जा सकते हैं, या वे सेल में मुक्त हो सकते हैं। किसी भी स्थिति में, वे किसी प्रतिक्रिया को कैटलाइज करने के लिए आवश्यक होते हैं।

तत्व (a_{ij}) के कोफैक्टर और उसके माइनर के बीच संबंध दिया जाता है:

({C}{i,j}={{\left( -1 \right)}^{i+j}}{{M}{i,j}}),

जहां (i) तत्व (a_{ij}) का (i^{th}) पंक्ति दर्शाता है और (j) तत्व (a_{ij}) का (j^{th}) स्तंभ दर्शाता है।

प्रणाली के अनुसार निर्धारक का मान निर्धारित किया जा सकता है जिसमें ‘माइनर’ और ‘कोफैक्टर’ का उपयोग होता है:

(D = a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13} ;;;;; \text{या} ;;;;; D = a_{11}C_{11} - a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13})

ध्यान दें: (a) एक वर्गक का निर्धारक 3 अवधियों का होगा, जिसके प्रत्येक का आदेश 2 का निर्धारक होगा, और एक निर्धारक का आदेश 4 अवधियों का होगा, जिसके प्रत्येक का आदेश 3 का निर्धारक होगा।

(b) (\begin{array}{l}{{a}_{11}}{{C}_{21}}+{{a}_{12}}{{C}_{22}}+{{a}_{13}}{{C}_{23}}=0\end{array}), अर्थात प्रत्येक पंक्ति/स्तंभ तत्व के कोफैक्टर को गुणा करने पर शून्य मान प्राप्त होता है।

निर्धारक पर पंक्ति और स्तंभ की प्रक्रियाओं

हम इस चिह्नांकन का उपयोग करते हैं जब हम $i^{th}$ पंक्ति (या स्तंभ) और $j^{th}$ पंक्ति (या स्तंभ) को विन्यस्त करते हैं, जब $i \neq j$: $R_i \leftrightarrow R_j$ या $C_i \leftrightarrow C_j$।

इससे निस्पंदन तलिका में जोड़कर एक निर्दिष्ट स्तंभ को पंक्ति में परिवर्तित किया जाता है: $\begin{array}{l}{{R}_{i}}\leftrightarrow {{C}_{i}};\end{array} )

इससे हम $i^{th}$ पंक्ति (या स्तंभ) को k से गुणा करते हैं, $R_{i} \to R_{k_{i}}$ या $C_{i} \to kC_{i}$, यहां $k \in R$ है।

(डी) (\begin{array}{l}{{आर}_{i}}\to {{आर}_{i}}k+{{आर}_{j}};;;;या;;;चि\to {{च}_{i}}k+{{च}_{j}};\left( i\ne j \right);\end{array} ) यह प्रतीक का उपयोग किया जाता है ताकि $i^{th}$ पंक्ति (या स्तंभ) को $k$ से गुणा किया जा सके और उसे $j^{th}$ पंक्ति (या स्तंभ) के साथ जोड़ा जा सके।

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माइनर्स और कोफैक्टर्स का खोज: प्रैक्टिस समस्याएं

प्रश्न 1: दी गई मैट्रिक्स में a12 का कोफैक्टर -60 है।

दिया गया:

यह एक हेडर है

समाधान:

यह एक हेडर है

पहली पंक्ति और दूसरे स्तंभ के सभी तत्वों को हटाएं, फिर शेष तत्वों के निर्धारक का गणना करें और $a_{12}$ के कोफैक्टर को ढूंढें।

यहाँ a12 = -3, पहली पंक्ति और दूसरे स्तंभ का तत्व है।

M12 = a12 का माइनर $$=\begin{vmatrix} 6 & 4\ 1& -7 \end{vmatrix} = 6(-7) - 4(1)$$

-42 - 4 = -46

$(-3)$ का कोफैक्टर = $(-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-46) = -(-46) = 46$

उत्तर 2:

निम्नलिखित निर्धारकों के तत्वों के माइनर्स और कोफैक्टर निम्नानुसार हैं:

(\begin{array}{l}(i) \left| \begin{matrix} 2 & -4 \ 0 & 3 \ \end{matrix} \right| ;;;;; = 6 \\ (ii) \left| \begin{matrix} a & c \ b & d \ \end{matrix} \right| = ad-bc \end{array} )

दिया गया:

यह एक हेडिंग है

समाधान:

यह एक हेडिंग है

उस तत्व के एक पंक्ति और स्तंभ को हटाने के बाद शेष तत्वों को उस तत्व का माइनर माना जाता है।

$\left| \begin{matrix} 2 & -4 \ 0 & 3 \ \end{matrix} \right| = M_{11} = 3$ (तत्व (2) का माइनर = 3)

(\begin{array}{l}\text{तत्व}\ 2\ \text{का कोफैक्टर}= (-1)^{2}M_{11}=3\\end{array} )

$M_{12} = -4$ का माइनर = जब तक कि $(-4)$ तत्व बच नहीं जाता।

$Cofactor ; of ; (-4) = (-1)^{1+2}M_{12} = (-1)0 = 0$

$$\begin{array}{l}{M_{21}}= 0; का; माइनर;; = -4 ;;;; \Cofactor;; of ; \left( 0 \right)={{\left( -1 \right)}^{2+1}}{{M}_{21}}=\left( -1 \right)\left( -4 \right)=4\\end{array} $$

$$M_{22} = 3; का; माइनर; = 2; ;\Cofactor ;;of ; \left( 3 \right)={{\left( -1 \right)}^{2+2}}{{M}_{22}}=+2$$

(ii) (\begin{array}{l}\left| \begin{matrix} a & c \ b & d \ \end{matrix} \right|;,{M}_{11}= a ; का ; माइनर ; = d;\; कोफैक्टर; of ; a = {{\left( -1 \right)}^{1+1}}{{M}_{11}}={{\left( -1 \right)}^{2}}d=d\\end{array} )

$$\begin{array}{l} Minor ;of; element ;(a_{ij}) = \left| \begin{matrix} a\dots c \ ,,,,,,\vdots \ \dots,d \ \end{matrix} \right|\ \end{array}$$

एक तत्व का माइनर उस पंक्ति और कॉलम को हटाकर गिनती की जाती है, जिसमें वह तत्व स्थित होता है, और उसके बाद प्राप्त मैट्रिक्स का संकेतक ढूंढने के लिए उत्पन्न मैट्रिक्स का निर्धारक खोजने के लिए।

एक मैट्रिक्स में एक तत्व के कोफैक्टर को खोजने के लिए सूत्र है: C_ij = (-1)^i+j * det(A_ij)

तत्व $a_{ij}$ का कोफैक्टर $C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$ द्वारा दिया जाता है, जहां $M_{ij}$ $a_{ij}$ का माइनर है।

मैट्रिक्स के माइनर्स और कोफैक्टर्स के अनुप्रयोग

• मैट्रिक्स का उलटाव (Inverse) निर्धारित करना
• मैट्रिक्स का निर्धारक (Determinant) की गणना करना
• रैखिक समीकरणों के प्रणाली द्वारा समाधान करना
• आइजेनवैल्यूज और आइजेनवेक्टर्स का पता लगाना

हम मैट्रिक्सों के माइनर्स और कोफैक्टर्स का उपयोग करते हैं अजॉइंट और उलटाव ढूंढने के लिए।

कोफैक्टर मैट्रिक्स ढूंढना

1. मूल मैट्रिक्स को लिखकर शुरू करें।
2. मैट्रिक्स का निर्धारक ढूंढें।
3. कोफैक्टर मैट्रिक्स बनाएं।
4. कोफैक्टर मैट्रिक्स का प्रतिस्थापन करें।

हमें मैट्रिक्स के सभी तत्वों के माइनर्स की गणना करनी होगी। इसे उन पंक्तियों और कॉलम को हटाकर किया जाता है, जिनके तत्व उपस्थित होते हैं, और उनके बाद शेष तत्वों को विचार करके, निर्धारक को खोजा जाता है। इसके बाद, हम तत्वों के कोफैक्टर को खोज सकते हैं। इसे -1^i+jMij के साथ गुणा करके किया जाता है। यदि Mij माइनर है, तो कोफैक्टर, Cij = -1^i+jMij होता है। अंत में, हम प्राप्त मानों के साथ कोफैक्टर मैट्रिक्स बना सकते हैं।

एक 2x2 मैट्रिक्स के अजॉइंट मैट्रिक्स ढूंढने के लिए, निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करें:

$$adj(A) = \begin{bmatrix} \text{det}(A_{22}) & -\text{det}(A_{12}) \ -\text{det}(A_{21}) & \text{det}(A_{11}) \end{bmatrix}$$

हम मुख्य विपरीत धारी में तत्वों को बदलते हैं (a11 और a22) और फिर a12 और a21 स्थानों पर नकारात्मक चिह्न रखते हैं। परिणामी मैट्रिक्स दी गई 2×2 मैट्रिक्स का अजॉइंट होता है।

एक 2x2 मैट्रिक्स में कितने माइनर्स होते हैं?

एक 2×2 मैट्रिक्स में 4 माइनर्स होते हैं।