मैट्रिक्स क्रियाएँ
मैट्रिक्स ऑपरेशन मुख्य रूप से तीन बिज्ञानिक ऑपरेशनों- जोड़ना, घटाना और गुणा करना मैट्रिक्स के सदस्यों को शामिल करते हैं। एक मैट्रिक्स एक पंक्तिबद्ध द्वारा बांधे गए संख्याओं या प्रकटनों का एक आयताकार सत्र होता है। इसमें गणित में कई महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं।
मैट्रिक्स पर ऑपरेशन को समझने से पहले, मैट्रिक्स के [एकल ऑपरेशन के प्रारम्भिक] से परिचित होना महत्वपूर्ण है। इस लेख में मैट्रिक्स पर ऑपरेशनों को उनकी गुणसूत्रों और हल किए गए उदाहरणों के साथ दिया गया है।
अधिक जानें:
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मैट्रिक्स पर ऑपरेशन
एक मैट्रिक्स पर मौलिक ऑपरेशन जोड़ने, घटाने और गुणा करना है। मैट्रिक्सों को जोड़ने या घटाने के लिए, वे एक ही क्रम होना चाहिए। गुणा के लिए, पहली मैट्रिक्स में स्तंभों की संख्या दूसरी मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए।
मैट्रिक्स का जोड़
मैट्रिक्स की घटाव
मैट्रिक्स की यथार्थिक गुणित
मैट्रिक्स का गुणा करना
मैट्रिक्स का जोड़
एक मैट्रिक्स A[aij]mxn और B[bij]mxn के एक ही क्रम के दो मैट्रिक्स का योग होता है, जहां प्रत्येक तत्व A और B के संबंधित तत्वों का योग होता है। अर्थात, A + B = [aij + bij]mxn।
आदेश 2 x 2 के मैट्रिक्स A और B का योग निम्नलिखित होता है:
(\begin{array}{l}\begin{bmatrix} a_1 & b_1 \ c_1 & d_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a_2 & b_2 \ c_2 & d_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2 \ c_1+c_2 & d_1+d_2 \end{bmatrix}\end{array})
मैट्रिक्स जोड़ने की गुणधर्म: यदि A, B और C समान आदेश की मैट्रिक्स हैं, तो
A + B = B + A
सम्मेलनीय नियम: A + B = B + A
द्वितीयक नियम: A + (B + C) = (A + B) + C
मैट्रिक्स की पहचान: A + O = O + A = A, जहां O मैट्रिक्स शून्य मैट्रिक्स है जो मैट्रिक्स की संज्ञानात्मक पहचान है।
संज्ञात्मक विपरीत का संयोजक: मैट्रिक्स A के लिए, इसका संयोजक मैट्रिक्स A के हर तत्व के चिन्ह को बदलकर प्राप्त होता है, इस प्रकार की A + (-A) = 0 = (-A) + A।
$$\left. \begin{array}{l}\begin{matrix} A+B=A+C \ B+A=C+A \end{matrix} \right}\Rightarrow B=C\end{array}$$
(f) tr(A ± B) = tr(A) ± tr(B)
यदि A + B = 0 = B + A, तो B को A का योग-आपपादक विपरीत कहा जाता है और A को विलंबी विपरीत कहा जाता है।
मैट्रिक्स की घटाव
यदि A और B दो ऐसी मैट्रिक्स हैं जिनका आदेश समान होता है, तो हम परिभाजन की परिभाषा करते हैं $$A-B = A + (-B)$$।
आदेश 2 x 2 के मैट्रिक्स A और B के बीच अंतर निम्नलिखित होता है:
(\begin{array}{l}\begin{bmatrix} a_1 &b_1 \ c_1 &d_1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} a_2&b_2 \ c_2& d_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1-a_2 &\ b_1-b_2 \ c_1-c_2 &\ d_1-d_2 \end{bmatrix}\end{array})
हम दो मैट्रिक्सों को परिभाजित करके दो मैट्रिक्सों के प्रत्येक तत्व से पहली मैट्रिक्स के संबंधित तत्व को घटाकर पाएंगे, अर्थात “A - B = [a_{ij} - b_{ij}]_{mxn}"।
मैट्रिक्स के रूपांतरण की गुणधर्म
एक मैट्रिक्स $A = [aij]m×n$ का अवकलन एक scalar $k$ द्वारा $kA$ के रूप में प्रकटित किया जाता है और यह एक एक मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को $k$ से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।
तब $$kA_{m \times n} = A_{m \times n}k = \left[ ka_{i \times j} \right]$$
अवकलन से संबंधित गुणधारा: यदि A, B एक ही क्रम की मैट्रिक्स हैं और λ और μ कोई भी दो scalar हैं, तो:
(a) λ(A + B) = λA + λB
$(b)\quad(\lambda + \mu)A = \lambda A + \mu A$
(c) λ(μA) = (λμA) = μ(λA)
(d) $(-\lambda A) = -(\lambda A) = \lambda(-A)$
$k \cdot \text{tr}(A) = \text{tr}(kA)$
मैट्रिक्स का गुणा
यदि A और B कोई भी दो मैट्रिक्स हैं, तो उनका गुणा AB केवल तब परिभाषित किया जा सकता है जब A में कॉलम की संख्या B में पंक्ति की संख्या के बराबर हो।
यदि $$A=\begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix}{m \times n} ;;;\text{और};;; B=\begin{bmatrix} b{ij} \end{bmatrix}{n \times p} ;;;\text{तो उनका गुणा}; AB=C=\begin{bmatrix} c{ij} \end{bmatrix}{m \times p}$$ एक मात्रा का क्रम होगा $m \times p$ जहां $$\begin{bmatrix} (AB){ij} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{ij} \end{bmatrix} = \sum_{r=1}^{n} a_{ir} b_{rj}$$
मैट्रिक्स गुणा के गुणन की गुणधर्म
सामान्यतः, मैट्रिक्स गुणा समानुक्रमी नहीं होता है, अर्थात् (AB \ne BA)।
मैट्रिक्स गुणन का समूही है, इसका अर्थ है कि $$(AB)C = A(BC)$$।
मैट्रिक्स गुणन को मैट्रिक्स जोड़न के प्रति वितरक है, अर्थात् A.(B + C) = A.B + A.C और (A + B)C = AC + BC।
अगर A एक m × n मैट्रिक्स है, तो $${{I}{m}}A=A=A{{I}{n}}.$$।
दो मैट्रिक्स का गुणन एक शून्य मैट्रिक्स हो सकता है जबकि उनमें से कोई भी शून्य नहीं होती, अर्थात् अगर AB = 0, तो यह आवश्यक नहीं है कि या तो A = 0 या B = 0।
यदि (A_{m\times n}) एक m × n मैट्रिक्स है और (O_{n\times p}) एक शून्य मैट्रिक्स है, तो (A_{m\times n} \cdot O_{n\times p} = O_{m\times p}) होता है, अर्थात् मैट्रिक्स का गुणन एक शून्य मैट्रिक्स के साथ हमेशा एक शून्य मैट्रिक्स होता है।
अगर AB = 0, यह आवश्यक नहीं है कि A = 0 या B = 0, क्योंकि दो गैर-शून्य मैट्रिक्स का गुणन फिर भी एक शून्य मैट्रिक्स हो सकता है।
यदि AB = AC, लेकिन B ≠ C, तो रद्दी करने का नियम लागू नहीं होता।
(i) tr(BA) = tr(AB)
प्रत्येक वर्गाकार मैट्रिक्स के लिए एक गुणकीय पहचान होती है, जिसके लिए $A I = I A = A$ होता है।
मैट्रिक्स प्रश्न उदाहरण
उदाहरण 1: (\begin{array}{l} \text{यदि}\ A=\left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 3 \ 3 & -2 & 1 \ -1 & 0 & 1 \ \end{matrix} \right]\ \text{और}\ B=\left[ \begin{matrix} 1 \ 2 \ 4 \ \end{matrix},,,,\begin{matrix} -2 \ 1 \ -2 \ \end{matrix} \right]\end{array} )
यदि संभव होता है, तो AB और BA ढूंढें।
दिया गया:
यह एक कथन है
समाधान:
यह एक कथन है
मैट्रिक्स A और B का गुणन 3 x 2 के क्रम में होगा, क्योंकि A एक 3 x 3 मैट्रिक्स है और B एक 3 x 2 मैट्रिक्स है, और मैट्रिक्स गुणन के लिए वे ठीक हैं।
$\begin{array}{l}(A_{1,1}) \cdot (B_{1,1})\=\left[ 2,1,3 \right]\left[ \begin{matrix} 1 \ 2 \ 4 \ \end{matrix} \right]\=2\times 1+1\times 2+3\times 4\=16\end{array}$
हालांकि, $AB = \left[ \begin{matrix} 16 & -12 \ 3 & -10 \ 3 & 0 \ \end{matrix} \right]$ है।
BA संभव नहीं है क्योंकि B की कॉलमों की संख्या A की पंक्तियों की संख्या के बराबर नहीं है।**
उदाहरण 2: x और y की मान निकालें जब (\begin{array}{l}2\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \ 0 & x \ \end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} y & 0 \ 1 & 2 \ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 5 & 6 \ 1 & 8 \ \end{matrix} \right]\end{array}) है।
समाधान: x = 6 और y = 3 होगा।
दिया गया:
यह एक हेडिंग है
समाधान:
यह एक हेडिंग है
मात्रिका के गुणा और जोड़ औरसंबंधित तत्व को बराबर करके, हम आसानी से x और y की आवश्यक मान जा सकते हैं।
हमारे पास है, (\begin{array}{l}\left[ \begin{matrix} 2+y & 6 \ 0+1 & 2x+2 \ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 5 & 6 \ 1 & 8 \ \end{matrix} \right]\\Rightarrow 2+y=5,\quad 6=6,\quad 0+1=1,\quad 2x+2=8\\Rightarrow y=3,\quad x=3\end{array} )
संबंधित तत्वों को बराबर करके, a11 और a22, को बराबर करने से प्राप्त होता है
(\begin{array}{l}y=3;,,,x=3\end{array})
इसलिए, x = 3 और y = 3 होता है।
उदाहरण 3: a, b, c और d की मान निकालें, अगर (\begin{array}{l}\left[ \begin{matrix} a-b & 2a+c \ 2a-b & 3c+d \ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} -1 & 5 \ 0 & 13 \ \end{matrix} \right]\end{array}) है?
दिया गया:
हमारे पास $$2x+3y=\left[ \begin{matrix} 2 & 3 \ 4 & 0 \ \end{matrix} \right]….(i)$$ है।
(\begin{array}{l}3x+2y=\left[ \begin{matrix} 2 & -2 \ -1 & 5 \ \end{matrix} \right] \Rightarrow \left[ \begin{matrix} x \ y \ \end{matrix} \right] = \frac{1}{11}\left[ \begin{matrix} 23 & 2 \ 7 & -10 \ \end{matrix} \right]\end{array} )
(i) को 3 से गुणा किया जाए और (ii) को 2 से गुणा किया जाए, तो हमें (\begin{array}{l}6x+9y=\left[ \begin{matrix} 18 & 27 \ 24 & 0 \ \end{matrix} \right]….(iii)\end{array} ) मिलता है।
(\begin{array}{l}6x+4y=\left[ \begin{matrix} 4 & -4 \ -2 & 10 \ \end{matrix} \right] \Rightarrow \left[ \begin{matrix} x \ y \ \end{matrix} \right] = \frac{1}{20}\left[ \begin{matrix} 10 & 4 \ 4 & -6 \ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 4 & -4 \ -2 & 10 \ \end{matrix} \right] \end{array})
(iii) से (iv) को घटाने पर, हमें (\begin{array}{l}5y=\left[ \begin{matrix} 6-4-4 & 9+4-4 \ 12+2-4 & 0-10-4 \ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 2 & 13 \ 14 & -10 \ \end{matrix} \right]\end{array} ) मिलता है।
$\Rightarrow y=\left[ \begin{matrix} \frac{2}{5} & \frac{13}{5} \ \frac{14}{5} & -2 \ \end{matrix} \right]$
y की मान्यता में डालने पर, हमें (\begin{array}{l}2x+3\left[ \begin{matrix} \frac{2}{5} & \frac{13}{5} \ \frac{14}{5} & -2 \ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 2 & 3 \ 4 & y \ \end{matrix} \right]\end{array} ) मिलता है।
(\begin{array}{l} \Rightarrow 2x=\left[ \begin{matrix} 2 & 3 \ 4 & 0 \ \end{matrix} \right] - \left[ \begin{matrix} \frac{6}{5} & \frac{39}{5} \ \frac{42}{5} & -6 \ \end{matrix} \right]\ =\left[ \begin{matrix} 2-\frac{6}{5} & 3-\frac{39}{5} \ 4-\frac{42}{5} & 0+6 \ \end{matrix} \right]\ =\left[ \begin{matrix} \frac{4}{5} & -\frac{24}{5} \ -\frac{22}{5} & 6 \ \end{matrix} \right]\ \Rightarrow x=\left[ \begin{matrix} \frac{2}{5} & -\frac{12}{5} \ -\frac{11}{5} & 3 \ \end{matrix} \right] \end{array})
इसलिए $$x=\begin{bmatrix} \frac{2}{5} & -\frac{12}{5} \ -\frac{11}{5} & 3 \end{bmatrix} ;;\text{और};; y=\begin{bmatrix} \frac{2}{5} & \frac{13}{5} \ \frac{14}{5} & -2 \end{bmatrix}$$
प्रायः पूछे जाने वाले प्रश्न
हाँ, मैट्रिक्स जोड़ना आपाततः-सह संख्याओं का प्रायोग कर सकता है।
हाँ, मैट्रिक्स जोड़ना आपाततः-सह संख्याओं का प्रायोग कर सकता है।
नहीं, मैट्रिक्स गुणन कम्यूटेटिव नहीं है।
नहीं, मैट्रिक्स गुणन कम्यूटेटिव नहीं है।
हाँ, मैट्रिक्स जोड़ना सम्बद्ध है।
हाँ, मैट्रिक्स जोड़ना सम्बद्ध है।
मैट्रिक्स का उत्पाद (गुणन) सन्निहित जब मैट्रिक्स स्तरांतर मात्रा के साथ होता है?
मैट्रिक्स का उत्पाद (गुणन) जब मैट्रिक्स के साथ एक शून्य मैट्रिक्स होता है तो वह मैट्रिक्स एक शून्य मैट्रिक्स होता है।
एक मैट्रिक्स और एक शून्य मैट्रिक्स का उत्पाद (गुणन) एक शून्य मैट्रिक्स होता है।
