सामग्री की सूची

• लॉगारिदम के नियम
• लॉगारिदम पर हल किए गए उदाहरण
• लक्षण और मेंटिसा
• लॉगारिदम की गुणधर्म
• लॉगारिदम की मोनोटोनिकता की गुणधर्म
• लॉगारिदमिक फ़ंक्शंस ग्राफ
• इंगित किए गए लॉगारिदम समस्याएं

लॉगारिदम का परिचय

किसी भी सकारात्मक संख्या का लॉ आधार से लॉगारिदम, ज़ीरो से अधिक एंक है और इसके आधार के लिए एक संख्या प्राप्त करने के लिए मूल को उठाने की घाती है।

गणितीय रूप से: यदि (a^x = b) (जहां (a > 0, \ne 1)) तो (x) को (b) के लॉगारिदम के रूप में (a) के आधार से कहते हैं और हम (\log_a b = x) लिखते हैं, स्पष्ट रूप से (b > 0)। इसलिए, (\log_a b = x \Leftrightarrow a^x = b، a > 0، a \ne 1 \ और b > 0.)

यदि a = 10, तो हम log_b लिखेंगे बजाय log_{10} b। यदि a = e है, तो हम ln_b लिखेंगे बजाय log_e b। यहां, ’e’ को नेपीयर का आधार के रूप में जाना जाता है और इसकी संख्यात्मक मान 2.7182 के बराबर है। इसके अलावा, log_{10} e को नेपीरियन संयति के नाम से जानते हैं।

लॉ₁₀ e = 0.4343

ln b = 2.303 log_{10} b

[\left[\text{क्योंकि}\ \ln ,b=2.303\ {{\log }_{10}}b \right]]

महत्वपूर्ण बिंदु ⇒ ⇒ मुख्य बातें

1. log₂ 2 = log₁₀ 2 = 0.3010

2. log₃ = log₁₀ 3 = 0.4771

3. ln 2 = 2.303
log 2 = 0.693

ln 10 = 2.303

लॉगारिदम के नियम

परियोजन 1: ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

($$\begin{array}{l}{a}^{{\log }_{a}b}=b,a>0,a\ne 1औरb>0\end{array}$$)

जिसे मूल लॉगारिदम विशिष्टता के रूप में जाना जाता है।

परियोजन 2: (f\left( x \right)={{\log }_{a}}x,a>0,a\ne 1) द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन एक लॉगारिदमिक फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है। इसका डोमेन (0, ∞) होता है और रेंज R (सभी वास्तविक संख्याओं का सेट) होता है।

परियोजन 3: सभी $x\in \mathbb{R}$, $x>0$

1. यदि (a > 1) है, तो (ax) मोनोटॉनिक रूप से बढ़ता है। उदाहरण के लिए, (5^{2.7} > 5^{2.5}) और (3^{222} > 3^{111})।

यदि (0 < a < 1) है, तो (ax) मोनोटॉनिक रूप से घटता है। उदाहरण के लिए, ($$\begin{array}{l}{\left(\frac{1}{5}\right)}^{2.7}>{\left(\frac{1}{5}\right)}^{2.5},{\left(0.7\right)}^{222}>{\left(0.7\right)}^{212}\end{array}$$ )

परियोजन 4:

1. अगर $a>1$ है, तो $a^{-\mathrm{\infty }}=0$, अर्थात् ${\log }_{a}0=-\mathrm{\infty }$ (अगर $a>1$ है)।

अगर $0<a<1$ है, तो $a^{\mathrm{\infty }}=0$। अर्थात् ${\log }_{a}0=+\mathrm{\infty }$ (अगर $0<a<1$ है)

परियोजन 5:

अगर $a>1$ है, तो ${\log }_{a}b\to \mathrm{\infty }$

अगर 0 < a < 1 है, तो ${\log }_{a}b\to -\mathrm{\infty }$ और ${\log }_{a}b\to \mathrm{\infty }$

टिप्पणियाँ: यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि हमारा काम दूसरों के लाभ के लिए है।

1. log शब्द की संक्षिप्त रूप है logarithm का।

2. सामान्य लॉगारिदम (ब्रिग के लॉगारिदम): आधार 10 है।

यदि x < 0, a > 0 और a ≠ 1 है, तो log_a x म् एक काल्पनिक संख्या होता है।

4. $${\log }_{a}1=0\text{(जहां }a>0,a\ne 1)$$

5. $${\log }_{a}a=1\text{(जहां }a>0\text{ और }a\ne 1\text{)}$$

6. (\log_{\left( -1 \right)} \left( 1/a \right) ) (जहां (a > 0) और (a \ne 1))

($$\begin{array}{l}\text{अगर}a>1,x>1\Rightarrow {\log }_{a}x=+ve,x=1\Rightarrow {\log }_{a}x=0,0<x<1\Rightarrow {\log }_{a}x=-ve\text{और अगर}a\le 1,\end{array}$$)

($$\begin{array}{l}0<a<1,{\log }_{a}x=\{\begin{array}{l}+ve,0<x<10,x=1-ve,x>1\end{array}\end{array}$$ )

लॉगरिद्म के हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: ($$\begin{array}{l}{\log }_{\tan 45{}^{\circ }}\cot 30{}^{\circ }इसकामान\frac{1}{2}है।\end{array}$$ )

दिया गया:

यह शीर्षक है

समाधान:

यह शीर्षक है

base tan 450 = 1

लॉगरिद्म परिभाषित नहीं है।

उदाहरण 2: ($$\begin{array}{l}lo{g}_{(se{c}^2{60}^0-ta{n}^2{60}^0)}cos{60}^0कामानढूंढें।\end{array}$$ )

दिया गया:

यह एक शीर्षक है

समाधान:

यह एक शीर्षक है

यहां, base $${\sec }^2{60}^{\circ }-{\tan }^2{60}^{\circ }=1$$

लॉगरिद्म परिभाषित नहीं है।

उदाहरण 3: (\log_{\left(sec^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ\right)} 1)

दिया गया:

यह एक शीर्षक है

समाधान:

यह एक शीर्षक है

क्योंकि $${\log }_{({\sin }^2{30}^{\circ }+{\cos }^2{30}^{\circ })}1={\log }_{1}1\ne 1$$

log परिभाषित नहीं है, क्योंकि base = 1.

उदाहरण 4: ($$\begin{array}{l}{\log }_{30}1कामानढूंढें\end{array}$$ )

उत्तर: ($$\begin{array}{l}{\log }_{30}1कामान0है\end{array}$$ )

दिया गया पाठ:

यह एक शीर्षक है

समाधान:

यह एक शीर्षक है

‘${\log }_{30}1=0$’

अंशिका और मंटिसा

लॉगरिद्म की अंशिका संख्या का पूर्णांक भाग है, जबकि मंटिसा फ्रैक्शनल (दशमलव) भाग होता है।

log N = पूर्णांक + दशमलव/दशमलव भाग (सकारात्मक)

लगाए गए संख्या 564 को log564 = 2.751279 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां 2 अंशिका है और 0.751279 मंटिसा है।

-2.0481769 = log_0.00895 = -2 - 0.0481769 = (-2 - 1) + (1 - 0.0481769) = -3 + 0.9518231

इसलिए, अंशिका -3 है और मंटिसा 0.9518231 है।

log 0.00895 का मंटिसा 0.0481769 नहीं है।

($$\begin{array}{l}\text{संक्षेप में, -3 + 0.951823 को लिखा जाता है}\overline{-0.048177}\end{array}$$ )

अंशिका और मंटिसा पर महत्वपूर्ण निष्कर्ष

यदि लॉग N की अंशिका n हो, तो उस संख्या की अंशांकित भाग में n+1 अंक होते हैं (जहां N > 1 है)।

यदि लॉग N की अंशिका -n हो, तो दशमलव भाग में उस संख्या के बादवाले (n-1) शून्य होते हैं, जहां 0 < N < 1 है।

यदि $$N>1$$, तो $$\log N$$ की अंशिका $$N$$ के पूर्णांक भाग में पाए जाने वाले अंको से कम होती है।

यदि $$0<N<1$$, तो $$\log N$$ की अंशिका नकारात्मक होती है और संख्या के दशमलव भाग में सीधे पश्चिमी के बादवाले शून्यों से ज्यादा होती है।

उदाहरण के लिए:

यहाँ एक उदाहरण दिया गया है।

उदाहरण के लिए: यह वाक्य एक उदाहरण प्रदान करता है।

1. यदि $N=235.68$ होता है, तो $\log N=2.3723227$ होता है।

N के पूर्णांक के अंश में अंकों की संख्या 3 होती है।

लघुकांक लॉग 235.68 = N - 1 = 3 - 1 = 2

2. ($$\begin{array}{l}\text{यदि}{10}^{\bar{5}.4456042}=0.0000279\end{array}$$ )

0.0000279 के बाद में ( \overline{5} ) शून्य होते हैं, यानी ( \overline{4+1} )।

समाधान: 620 में अंकों की संख्या 3 होती है।

समाधान: P = (2×3)²⁰

log P = 20 {log (2×3)} = 20 {log 2 + log 3}

= 15.560

लघुकांक लॉग P का 15 होने के कारण, इसलिए P में अंकों की संख्या होगी 15 + 1, अर्थात 16।

लघुकांक की मुख्य गुणधर्म

निम्नलिखित हैं लघुगणित के नियम:

$म$ और $न$ को यदि व्यापक संख्याएं हों और $x$ और $y$ को किसी भी वास्तविक संख्या को, तब

सामान्य रूप में, loga (x1, x2, x3,…, xn) = loga x1 + loga x2 + loga x3 +… + loga xn (यहां x1, x2, x3,…, xn > 0 हैं)

या

${\log }_a\left(\prod _{i=1}^n{x}_i\right)=\sum _{i=1}^n{\log }_a{x}_i,\mathrm{\forall }{x}_i>0$

जहां, $i=1,2,3,\dots ,n$।

2. ${\log }_a(m/n)={\log }_{a}m-{\log }_{a}n$

3. $${\log }_a{m}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}m$$

4. $${\log }_{a^{\beta }}m=\frac{1}{\beta }{\log }_{a}m$$

$$5. \log_b m = \frac{\log_a m}{\log_a b}$$

6. $${\log }_{b}a{\log }_{a}b=1\iff {\log }_{b}a=\frac{1}{{\log }_{a}b}$$

7. (\log_a c = \frac{\log_b a}{\log_b c})

(\log_{a}x = \log_{y}x \cdot \log_{z}y \cdot \log_{a}z)

9. $$e^{\ln a^x} = a^x$$

और भी लघुगणक गुणधर्म

लघुगणक गुणधर्म:

1. $$\begin{array}{l}{a}^{{\log }_{b}x}=x^{{\log }_{b}a},b\ne 1,a,b,x\text{ पॉजिटिव संख्याएं हैं।}\end{array}$$

2. $$\begin{array}{l}{a}^{{\log }_{a}x}=x,a>0,a\ne 1,x>0\end{array}$$

3. $${\log }_{a^k}x=\frac{1}{k}{\log }_{a}x,a>0,a\ne 1,x>0$$

4. $${\log }_a{x}^{2k}=2k{\log }_a\left|x\right|,a>0,a\ne 1,k\in \mathbb{I}$$

5. $${\log }_{a^{2k}}x=\frac{1}{2k}{\log }_{|a|}x,x>0,a\ne \pm 1,k\in \mathbb{I}10$$

6. ${\log }_{a^{\alpha }}{x}^{\beta }=\frac{\beta }{\alpha }{\log }_{a}x$, $x>0$, $a>0$, $a\ne 1$, $\alpha \ne 0$

7. ${\log }_a{x}^2\ne 2{\log }_{a}x,a>0,a\ne 1$

loga (x)^2 का डोमेन $\mathbb{R}\setminus 0$ है, जबकि loga x का डोमेन $(0,\mathrm{\infty })$ है, जो एक जैसे नहीं हैं।

8. $$a_b^{log;a}=\sqrt{a},\text{ अगर }b=a^2,a>0,b>0,b\ne 1$$

9. $$a_b^{log;a}=a^2,\text{अगर }b=\sqrt{a},a>0,b>0,b\ne 1$$

उदाहरण 1: समीकरण $$3.x^{{\log }_5;2}+2^{{\log }_5;x}=64$$ का समाधान करें।

दिया गया है:

यह एक परीक्षण है

समाधान:

यह एक परीक्षण है

($$\begin{array}{l}\Rightarrow {\log }_5;(3.x^2+2^x)={\log }_5;64\end{array}$$ )

\(\Rightarrow 3.2^{\log\_{5}\;x} + 2^{\log\_{5}\;x}=64\)

अतिरिक्त गुणधर्म (i) द्वारा

($$\begin{array}{l}\Rightarrow {\log }_{5}x=\frac{{\log }_{4.2}64}{{\log }_{4.2}4.2}\end{array}$$ )

‘इसलिए’

कंटेंट का है उसका हिंदी संस्करण: ($$\begin{array}{l}=(1+{\log }_2\lambda )(3{\log }_{2}2+{\log }_2\lambda )\text{-}(4{\log }_{2}2+{\log }_2\lambda ){\log }_2\lambda \end{array}$$ )

($$\begin{array}{l}=(1+{\log }_2\lambda )(3+{\log }_2\lambda )-4{\log }_2\lambda -{{\log }_2}^2{\lambda }^2\end{array}$$)

3 =

RHS = दाहिना हाथ

लघुगणित में लोगारिद्रोधी संपत्तियाँ

एक निश्चित बेस के साथ लोगारिद्र

1. $${\log }_{a}x>{\log }_{a}y\iff \{\begin{array}{lll}x>y>0,& \text{अगर }a>10<x<y,& \text{अगर }0<a<1\end{array}$$

2. $${\log }_{a}x<{\log }_{a}y⟺\{\begin{array}{lll}0<x<y,& \text{अगर }a>1x>y>0,& \text{अगर }0<a<1\end{array}$$

3. ${\log }_{a}x>p\iff \{\begin{array}{lll}x>a^p,& \text{अगर }a>10<x<a^p,& \text{अगर }0<a<1\end{array}$

$4.{\log }_{a}x<p\iff \{\begin{array}{lll}0<x<a^p,& \text{अगर }a>1x>a^p,& \text{अगर }0<a<1\end{array}$

बेरोजगार बेस के साथ लोगारिद्र

1. उदाहरण के लिए, $$a>0$$, $$x>0$$, और $$x\ne 1$$ है तो Log_x a परिभाषित होता है।

2. अगर $$a>1$$ हो तो ${\log }_{x}a$ को $(0,1)\cup (1,\mathrm{\infty })$ में संवर्धनीय घटनाओं में कम होता है।

अगर 0 < a < 1 हो तो निश्चित बेस के संबंध में x का लोगारिद्रिय निश्चितता वृद्धि वितरण संवर्धनीय होती है।

मुख्य बिंदु

1. यदि $$a>1$$ और $$p>1$$ हो तो $${\log }_{a}p>0$$ होता है।

यदि $$0<a<1$$ और $$p>1$$ हो, तो $${\log }_a(p)<0$$ होता है।

यदि $$a>1,0<p<1$$ हो तो, $${\log }_{a}p<0$$ होता है।

यदि p > a > 1 हो, तो log_a p > 1

यदि a > p > 1 हो, तो 0 < log_a p < 1

यदि 0 < a < p < 1 हो, तो 0 < log_a p < 1

यदि $$0<p<a<1$$ हो, तो $${\log }_{a}p>1$$ होता है।

लोगारिद्रीय फ़ंक्शन की ग्राफ़ा

1. ग्राफ़ा य = \log_a x, अगर a > 1 और x > 0 हो

2. ग्राफ़ा y = \log_a x, अगर 0 < a < 1 और x > 0 हो

यदि नंबर x और बेस a एक ही तरफ़ यूनिटी के हों, तो लोगारिद्रीय पॉज़िटिव होता है।

y = \log_a x, जहाँ a > 1 और x > 1 हो

y = \log_a x, जहाँ 0 < a < 1 और 0 < x < 1 हो

यदि नंबर x और बेस a एक दूसरे तरफ़ यूनिटी के हों, तो लोगारिद्रीय नकारात्मक होता है।

y = \log_a x, जहाँ a > 1 और 0 < x < 1 हो

y = \log_a x, जहाँ 0 < a < 1 और x > 1 हो

3. ग्राफ़ा y = \log_a \left| x \right|

ग्राफ़ा स्वयं आरेखीय द्वीपरेखीय हैं।

4. ग्राफ़ा (\left|y = \log_a \left|x\right|\right|)

ग्राफ़ा दोनों मामलों में समान हैं, चाहे a > 1 हो या 0 < a < 1।

5. ग्राफ़ा (\left| y \right| = \left| \log_a \left| x \right| \right|)

सामग्री का हिंदी संस्करण क्या है: 6. जहां (y = \log_a(x)), \text{जहां } a > 1 \text{ और } x \ge 1)

जिसकी सबसे बड़ी पूर्णांक फ़ंक्शन, [x] है।

[x] उसकी सबसे बड़ी पूर्णांक फ़ंक्शन है।

क्योंकि, जब $$1\le x<2$$ हो, तब $$[x]=1⟹{\log }_a[x]=0$$ है

जब $$2\le x<3$$ हो, तब $$x=2\Rightarrow {\log }_{a}x={\log }_{a}2$$ होता है

जब $$3\le x<4$$ हो, तब $$x=3\Rightarrow {\log }_{a}x={\log }_{a}3$$ आदि।

लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने के लिए आवश्यक शॉर्टकट

1. एक गैर-नकारात्मक संख्या a और (n \ge 2, n \in \mathbb{N}) के लिए, (\sqrt[n]{a} = a^{1/n}).

2. जब आधार a हो और विशेषता n हो, तो ध्यान देने वाले सकारात्मक पूर्णांकों की संख्या (a^{n+1}-a^n) होती है।

शून्य और नकारात्मक वास्तविक संख्याओं का लॉगरिदम परिभाषित नहीं है।

4. $$|{\log }_{b}a+{\log }_{a}b|\ge 2,\mathrm{\forall }a>0,a\ne 1,b>0,b\ne 1$$

5. ($$\begin{array}{l}{\log }_2{\log }_2\underset{n,,बार}{\underbrace{\sqrt[2^n]{2}}}=-n\end{array}$$ )

6. $$\begin{array}{l}{a}^{\sqrt{{\log }_{a}b}}=b^{\sqrt{{\log }_{b}a}}\end{array}$$

10 आधार वाले लॉगरिदम को सामान्य लॉगरिदम या ब्रिग्ग्स लॉगरिदम के रूप में जाना जाता है।

यदि $$x={\log }_{c}b+{\log }_{b}c,y={\log }_{a}c+{\log }_{c}a,z={\log }_{a}b+{\log }_{b}a,$$ तो $$x^2+y^2+z^2-4=xyz$$ होता है।

#लॉगरिदम पर अभ्यास समस्याओं

समस्या 1: सिद्ध कीजिए कि ${\log }_{11}(1011)>{\log }_{11}(1110)$।

दिया गया

यह एक हीडिंग है

समाधान:

यह एक हीडिंग है

(\log {{10}^{11}} = 11 \log 10 = 11)

10log₁₁ = 10 × 1.0414 = 10.414

स्पष्ट है कि 11, 10.414 से बड़ा है।

($$\begin{array}{l}\Rightarrow {\log }_{10}{10}^{11}>{\log }_{10}{11}^{10}\end{array}$$ ) [क्योंकि, आधार = 10]

($$\begin{array}{l}\Rightarrow {10}^{11}>{11}^{10}\end{array}$$ )

समस्या 2: log2 (x - 2) < log4 (x - 2) होने पर x का अंतराल खोजें।

दिया गया:

यह एक हीडिंग है

समाधान:

यह एक हीडिंग है

x > 2

⇒ x > 2 \ (i)

और $$\begin{array}{l}{\log }_2(x-2)<{\log }_{2^2}(x-2)=\frac{1}{2}{\log }_2(x-2)\end{array}$$

($$\begin{array}{l}\Rightarrow {\log }_2(x-2)<\frac{1}{2}{\log }_2(x-2)\end{array}$$ )

($$\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{1}{2}{\log }_2(x-2)<0\\ \Downarrow 2{\log }_2(x-2)<0\\ \Downarrow {\log }_2(x-2)<0\end{array}$$ )

‘($$\begin{array}{l}x-2<2\end{array}$$)’

x - 2 < 1

⇒ x < 3 \ \ (ii)

समीकरण (i) और समीकरण (ii) से हम प्राप्त करते हैं:

($$\begin{array}{l}x\in (2,3),,या,,2<x<3\end{array}$$)

समस्या 3: यदि $$\text{Extra close brace or missing open brace}$$ जहां $a,b,c\in \mathbb{Q}$, वैल्यू ऑफ $abc$ होगा ${\displaystyle a\cdot b\cdot c}$

(a) 9
(b) 12
(c) 16
(d) 20

दिया गया:

यह एक हेडर है

समाधान:

यह एक हेडर है

विकल्प: (c)

$$\begin{array}{l}{a}^{{\log }_{b}c}=3^{1+{\log }_{4}3}{+}^{{\left({\log }_{4}3\right)}^2}{+}^{{\left({\log }_{4}3\right)}^3}+\dots \mathrm{\infty }\end{array}$$

($$\begin{array}{l}=3^{{\log }_{4/3}4}=3^{{\log }_4\left(4/3\right)}=3^{1/(1-{\log }_{4}3)}\end{array}$$)

a = 3, b = 4/3, c = 4

इसलिए, $$abc=3\times \frac{4}{3}\times 4=16$$

समस्या 4: समीकरण की सच्चिद्वितीय मूलों की संख्या $$3^{{\log }_3(x^2-4x+3)}=(x-3)$$ है

(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) अनंत

विकल्प (a)

($$\begin{array}{l}{\log }_3(x^2-4x+3)=3^{(x-3)}\dots \dots \dots .(i)\end{array}$$)

समीकरण (i) की परिभाषा है जब x^2 - 4x + 3 > 0 हो

\((x-1)(x-3) > 0\)

x < 1 **या** x > 3

समीकरण (i) कम करता है $$\begin{array}{l}{x}^2-5x+6=0\end{array}\Rightarrow x^2-4x+3=x-3$$

x = 2, 3, …, (iii)

समीकरण (ii) और (iii) से हमें $$x\in \mathrm{\Phi }$$ मिलता है।

संख्या की संख्या = 0।

समस्या 5: यदि $$\begin{array}{l}x={\log }_{2a}\left(\frac{bcd}{2}\right),y={\log }_{3b}\left(\frac{acd}{3}\right),z={\log }_{4c}\left(\frac{abd}{4}\right),w={\log }_{5d}\left(\frac{abc}{5}\right)\end{array}$$ और $$\begin{array}{l}\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{1}{w+1}={\log }_{abcd}N+1,\end{array}$$ N की मान्यता

(a) 40
(b) 80
(c) 120
(d) 160

दिया गया है:

यह एक हेडिंग है

समाधान:

यह एक हेडिंग है

विकल्प: (c)

क्योंकि $x={\log }_{2a}\left(\frac{bcd}{2}\right)$

($$\begin{array}{l}\Rightarrow x+1={\log }_{2a}(abcd)\end{array}$$)

(\therefore\ \log_{abcd}2a = \frac{1}{x+1})

इसी तरह, $$\begin{array}{l}\frac{1}{y+1}={{\log }{abcd}}~3b,\frac{1}{z+1}={{\log }{abcd}}~4c\end{array} $$

\( \frac{1}{w+1} = \log_{abcd} 5d \)

(\therefore \frac{1}{x+1} + \frac{1}{y+1} + \frac{1}{z+1} + \frac{1}{w+1} = \log_{abcd}\left(2a \cdot 3b \cdot 4c \cdot 5d\right))

($$\begin{array}{l}={\log }_{abcd}\left(120abcd\right)\text{=}4\end{array}$$)

(\log_{abcd} (120+1))

($$\begin{array}{l}={\log }_{abcd}(N+1)\end{array}$$)

हमें तुलना करते समय N = 120 होता है

समस्या 6: यदि $$a={\log }_{12}18,b={\log }_{24}54$$ तो $$ab+5(a-b)$$ की मान्यता

(a) 0
(b) 4
(c) 1
(d) इनमें से कोई नहीं

दिया गया है:

मेरे साइट में आपका स्वागत है

समाधान:

मेरे साइट में आपका स्वागत है

विकल्प: (c)

हम रखते हैं

$$\begin{array}{l}a={{\log }{12}}18=\frac{{{\log }{2}}18}{{{\log }{2}}12}=\frac{1+2{{\log }{2}}3}{2+{{\log }_{2}}3}\end{array}$$ और

$$b=\frac{1+3{\log }_{2}3}{3+{\log }_{2}3}$$

$$\Rightarrow ab+5(a-b)=\frac{1+2x}{2+x}\cdot \frac{1+3x}{3+x}+5(a-b)$$

$$\frac{6x^2+5x+1+5(-x^2+1)}{(x+2)(x+3)}=\frac{x^2+5x+6}{(x+2)(x+3)}=1$$

विषय 7: ($$\begin{array}{l}\text{यह मान निकलिए}\frac{{\log }_{96}2-{\log }_{2}24}{{\log }_{12}2-{\log }_{2}192}\text{है}\end{array}$$ )

(क) 3 (ख) 0 (ग) 2 (घ) 1

दिया गया है:

यह शीर्षक है

समाधान:

यह शीर्षक है

विकल्प: (क)

लॉग₂ 12 को a मानें,

(\frac{1}{{{\log }_{2}}96}={{\log }_{96}}2={{\log }_{96}}({{2}^{3}}\times 12)=a+3)

($$\text{Extra close brace or missing open brace}$$ )

और ($$\begin{array}{l}\frac{1}{{\log }_{12}2}={\log }_{2}12=a.\end{array}$$)

इसप्रकार, दिए गए समीकरण

($$\begin{array}{l}=(1+a)(3+a)-(4+a)a\text{=}3\end{array}$$ )

विषय 8: समीकरण का समाधान ($$\begin{array}{l}{4}^{{\log }_2\log x}=\log x-{(\log x)}^2+1\end{array}$$ ) है: $\log x=\frac{1\pm \sqrt{1-16{\log }^{2}4}}{2}$.

(क) x = 1
(ख) x = 4
(ग) x = 3
(घ) x = e²

दिया गया है:

यह एक शीर्षक है

समाधान:

यह एक शीर्षक है

विकल्प: (ग)

log_2 log_x का अर्थ है अगर x > 1 है।

क्योंकि $$\begin{array}{l}{4}^{{\log }_2\log x}=2^{2{\log }_2\log x}={\left(2^{{\log }_2\log x}\right)}^2={(\log x)}^2\end{array}$$

[\left[ a^{\log_a x} = x, a > 0, a \neq 1 \right]]

इसलिए दिए गए समीकरण को इस प्रकार घटाया जाता है:

($$\begin{array}{l}2{(\log x)}^2-\log x-1=0\log x=\frac{1\pm \sqrt{1+8}}{4}\end{array}$$ )

($$\begin{array}{l}\Rightarrow x=10,x=\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}$$ )

लेकिन x > 1 के लिए,

Log x > 0, इसलिए log x = 1, जिससे x = 3 होता है।

विषय 9: यदि (\log_{0.5}(x-1) < \log_{0.25}(x-1)) है, तो x अंतराल में स्थित है।

(अ) (2, ∞)

(ब) ((3, \infty))

(ग) (-∞, 0)

(घ) (0, 3)

दिया गया है:

यह एक शीर्षक है

समाधान:

यह एक शीर्षक है

(\log_{0.5}(x - 1) < \log_{0.25}(x - 1))

($$\begin{array}{l}{\log }_{0.5}(x-1)>{\log }_{{\left(0.5\right)}^2}(x-1)\end{array}$$)

($$\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{{\log }_{0.5}(x-1)}{2}<{\log }_{0.5}{\left(0.5\right)}^2={\log }_{0.5}\left(0.25\right)\end{array}$$)

$$\iff ,,,,x<1-{0.5}^{{\log }_0.5(x-1)}$$

($$\begin{array}{l}x\in (2,\mathrm{\infty })\iff x-1>1\iff \end{array}$$)

उत्तर: (\frac{1}{{{\log }_{2}}2002}+\frac{1}{{{\log }_{3}}2002}+\frac{1}{{{\log }_{4}}2002}+…+\frac{1}{{{\log }_{2002}}2002})

दिया गया है:

यह बोल्ड पाठ है

समाधान:

यह बोल्ड पाठ है

(\frac{1}{{{\log }_{2}}n}+\frac{1}{{{\log }_{3}}n}+\frac{1}{{{\log }_{4}}n}+\…+\frac{1}{{{\log }_{2002}}n})

($$\begin{array}{l}\frac{1}{{\log }_{n}2}+\frac{1}{{\log }_{n}3}+\frac{1}{{\log }_{n}4}+\dots +\frac{1}{{\log }_{n}2002}\end{array}$$ ) , ($$\begin{array}{l}{\log }_{b}a=\frac{1}{{\log }_{a}b}\end{array}$$ )

$\log_{n}(2.3.4...2002)$

इस समस्या का हल करने के लिए, हम यहां कुछ coding स्निपेट्स प्रस्तुत कर रहे हैं:

Problem 11: अगर x, y, z > 0 हैं और इस प्रकार है कि (\frac{\log x}{y-z}=\frac{\log y}{z-x}=\frac{\log z}{x-y}), तो सिद्ध करें कि (x^2y^2z^2=1).

दिया गया:

यह एक कथन है

Solution:

यह एक कथन है

हमें दिया गया है:

(\frac{\log x}{y-z}=\frac{\log y}{z-x}=\frac{\log z}{x-y}=\lambda)

यह सिद्ध करने के लिए:

(\log x = \lambda (y - z))

(\log y = \lambda (z - x))

(\log z = \lambda (x - y))

‘$x\log x+y\log y+z\log z$’

(\lambda x\left( y-z \right) + \lambda y\left( z-x \right) + \lambda z\left( x-y \right) = 0)

(\log {{x}^{x}}+\log {{y}^{y}}+\log {{z}^{z}}=0)

(\Rightarrow \log \left( {{x}^{x}}{{y}^{y}}{{z}^{z}} \right)=\log \left( 1 \right)=0)

(\Rightarrow {{x}^{x}}{{y}^{y}}{{z}^{z}}=1)

Problem 12: समाधान:

(\log_3\left{5 + 4\log_3\left(x - 1\right)\right} = 2)

दिया गया:

यह एक उदाहरण है

समाधान:

यह एक उदाहरण है

स्पष्ट है, दिए गए समीकरण का अर्थ है कि x - 1 > 0 हो और 5 + 4 log₃(x - 1) > 0 हो।

(x > 1) और (\log_3(x-1) > -\frac{5}{4})

(\Rightarrow x > 1 , और , x > \frac{4}{3})

(\Rightarrow x > 1 + \frac{1}{3^{\frac{5}{4}}}) हुवा

उसने कहा, “अब।”

log_3\left({5 + 4\, log_3\left(x - 1\right)}\right) = 2

(5+4\log_3\left(x-1\right)=3^2)

(\log_3(x-1) = 1)

x = 4

x = 4

स्पष्ट है, x = 4 में संतुलनवत (i) को पूरा करती है।

इसलिए, उत्तर है x = 4।

समाधान 13: x = 9

समाधान: स्पष्ट है, यदि

({{3}^{x}}-8 > 0 \Rightarrow 3^{x} > 8 \Rightarrow x > \log_3 8)

उसने कहा, “अब।”

(log_3 (3x - 8) = 2 - x)

({{3}^{x}}-8={{3}^{2}}-{{3}^{x}})

({{\left( {{3}^{x}} \right)}^{2}}-8\left( {{3}^{x}} \right)-9=0)

({{3}^{2x}}-8\cdot {3}^{x}-9=0)

({{3}^{x}}-9=0,,,,,,,,,\left[ यहां, {{3}^{x}}>8,,हैं इसलिए, ,,{{3}^{x}}-9 \ne 0 \right])

(x=2)

स्पष्ट है, 2 > log₃ 8

इसलिए, उत्तर है x = 2।

समाधान 14: x = e²

दिया गया:

यह एक शीर्षक है

समाधान:

यह एक शीर्षक है

स्पष्ट है कि समीकरण को केवल जब x > 0 हो ही लागू होता है।

उसने कहा, “अब।”

(2\log_{x}(x) = 10x^2)

(\log \left{ {{x}^{2\log x}} \right} = 2\log x + \log 10x^2)

यह कोई ग्राफ नहीं है लेकिन यह उत्तर बहुत जादा हो सकता है। यदि आपको अभी भी मदद चाहिए, कृपया पूछें!

नमस्ते विश्व

समाधान:

नमस्ते विश्व

फिर, $x=4.08$.

लग (x) = लग (10076)^1/5

‘($$\begin{array}{l}\log x=\log {10076}^{\frac{1}{5}}\end{array}$$ )’

($$\begin{array}{l}\Rightarrow \log x=0.80058\end{array}$$)

‘(\log x = 0.8058)’

($$\begin{array}{l}\Rightarrow x={\log }_{10}\left(0.8058\right)\end{array}$$ )

x = 6.409

समस्या 19: $32\sqrt[5]{4}$ के $2\sqrt{2}$ के आधार पर लघुगणक क्या है?

दिया हुआ:

यह एक शीर्षक है

समाधान:

यह एक शीर्षक है

यहां हम इसे लिख सकते हैं $$32\sqrt[5]{4},,के,,रूप,,में,,2^5{4}^{1/5}={\left(2\right)}^{27/5},,और,,2\sqrt{2},,के,,रूप,,में,2^{\frac{3}{2}}$$

हम इसे निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके हल कर सकते हैं ($$\begin{array}{l}{\log }_a{M}^x=x{\log }_a.M,और,{\log }_{a^x}M=\frac{1}{x}{\log }_{a}M\end{array}$$ ).

$$\begin{array}{l}{{\log }_{2\sqrt{2}}}32\sqrt[5]{4}={{\log }_{\left( {{2}^{3/2}} \right)}}\left( {{2}^{5}}{{4}^{1/5}} \right)={{\log }_{\left( {{2}^{3/2}} \right)}}{{\left( 2 \right)}^{27/5}}=\frac{2}{3}\frac{27}{5}{{\log }_{2}}2=\frac{18}{5}=3.6\end{array}$$

समस्या 20: साबित करें, $${\log }_{\frac{4}{3}}\left(1.\bar{3}\right)=1$$

दिया हुआ:

यह एक शीर्षक है

समाधान:

यह एक शीर्षक है

हम ($$\begin{array}{l}1.\bar{3}=\frac{4}{3},\end{array}$$ ) मिला सकता है, हल करके, और हम इस सूत्र का उपयोग कर सकते हैं ($$\begin{array}{l}{\log }_{a}a=1.\end{array}$$ )

($$\begin{array}{l}{\log }_{\frac{4}{3}}1.\bar{3}=1\end{array}$$)

चलो $x=1.333\dots (i)$

10x = 13.3333….

10x = 13.3333….

समीकरण (i) और (ii) से, हमें मिलता है।

इसलिए $\begin{array}{l}9x=12\Rightarrow x=\frac{12}{9},x=\frac{4}{3}\end{array}$

अब $${\log }_{\frac{4}{3}}\frac{1}{\bar{3}}={\log }_{\frac{4}{3}}\left(\frac{4}{3}\right)=1$$

समस्या 21: अगर

(\underset{N\to \infty }{\mathop{\lim }},\left[ {{\left( {{\log }_{2}}N \right)}^{-1}}+{{\left( {{\log }_{3}}N \right)}^{-1}}+…+{{\left( {{\log }_{n}}N \right)}^{-1}} \right]) है जब (N) अपेक्षित इन्फिनिटी करता है (\left[ {{\left( {{\log }_{2}}N \right)}^{-1}}+{{\left( {{\log }_{3}}N \right)}^{-1}}+…+{{\left( {{\log }_{n}}N \right)}^{-1}} \right]) जब (N=n!), (n \in N), और (n\ge 2) हो।

दिया हुआ:

यह एक वक्य है

समाधान:

यह एक वक्य है

हम दिए गए विस्तार को इस तरह लिख सकते हैं $${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$$

($$\begin{array}{l}{\log }_{n!}2+{\log }_{n!}3+\dots \dots +{\log }_{n!}n\end{array}$$ ) और फिर सूत्र का उपयोग करके हमें बनाया जा सकता है ($$\begin{array}{l}{\log }_a\left(n{!}^2\right)={\log }_{a}n!+{\log }_{a}n!\end{array}$$ )

($$\begin{array}{l}\Rightarrow {\left({\log }_{2}N\right)}^{-1}+{\left({\log }_{3}N\right)}^{-1}+\cdots +{\left({\log }_{n}N\right)}^{-1}\text{=}{\log }_{N}2+{\log }_{N}3+\cdots +{\log }_{N}n={\log }_n(2\cdot 3\cdot \cdots \cdot N)={\log }_{N}N=1.\end{array}$$)

समस्या 22: ($$\begin{array}{l}\text{अगर}\log x^2-\log 2x=3\log 3-\log 6\text{ तो x का मान}\end{array}$$ )

दिया हुआ:

यह एक परीक्षण है

समाधान:

यह एक परीक्षण है

$${\log }_a(M.N)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N\text{ और }{\log }_a{M}^x=x{\log }_{a}M$$ का उपयोग करके

स्पष्ट रूप से $x>0$ है। तब दिए गए समीकरण को इस तरह लिखा जा सकता है $x^2+2x+1=0$।

($$\begin{array}{l}\log \left(x\right)=2\log \left(3\right)\Rightarrow x=9\end{array}$$)

समस्या 23 का समाधान:

हम ले सकते हैं (x = \log_{2-\sqrt{3}} (2+\sqrt{3}))। तब,

(2+\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^x \Rightarrow (2+\sqrt{3})^2 = (2-\sqrt{3})^{2x} \Rightarrow 4+6 = 4-6x \Rightarrow 6x = -2 \Rightarrow x = -1)

इसलिए, (\log_{2-\sqrt{3}} (2+\sqrt{3}) = -1)।

दिया गया:

हाय

समाधान:

हाय

(2 + √3) को 2 - √3 से गुणा और बाँटने से हमें मिलेगा:

($$\begin{array}{l}\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}.\end{array}$$ )

हम यह आसानी से सिद्ध कर सकते हैं इसका उपयोग करके ${\log }_{1/N}N=-1$।

($$\begin{array}{l}\Rightarrow -1.{\log }_{2-\sqrt{3}}(2-\sqrt{3})=-1\end{array}$$)

उदाहरण 24: सिद्ध करें, $${\log }_5\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5\dots \mathrm{\infty }}}}=1$$

दिया गया:

यह एक उदाहरण है

समाधान:

यह एक उदाहरण है

यहां ($$\begin{array}{l}y=\sqrt{5y}\end{array}$$ ), जहां ( $$\begin{array}{l}y=\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5\dots \dots ..\mathrm{\infty }}}}\end{array}$$ ) को (\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5……..\infty }}}).

इसलिए, y की मान मिलाकर हम इसे पुष्टि कर सकते हैं।

‘लेट (y = \sqrt{5^{\sqrt{5^{\sqrt{5^{\ddots}}}}})’

($$\begin{array}{l}\Rightarrow y^2-5y=0\\ \Rightarrow y(y-5)=0\\ \Rightarrow y=0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,या,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,y=5\end{array}$$)

($$\begin{array}{l}y(y-5)=0\Rightarrow y=0,,,,y=5\end{array}$$)

\(\therefore \log_5 5 = 1\)

समस्या 25: सिद्ध करें, $${\log }_{2.25}(0.\bar{4})=-1$$

दिया गया: यह एक वाक्य है।

समाधान: यह एक वाक्य है।

($$\begin{array}{l}{\log }_{1/N}N=-1\end{array}$$ \Rightarrow N=\frac{1}{e^{-1}} \Rightarrow N = \frac{1}{\frac{1}{e}} \Rightarrow N = e)

x = 0.4444 ... (i)

10x = 4.4444…. (ii)

10x = 4.4444…. (ii)

समीकरण (ii) - समीकरण (i)

इसलिए $$9x=4\Rightarrow x=\frac{4}{9}$$

और, $$2.25=\frac{225}{100}=\frac{9}{4};,,,,,,,,,,,,,,{{\log }{2.25}}\left( 0.\overline{4} \right)={{\log }{\left( \frac{9}{4} \right)}}\left( \frac{4}{9} \right)=-1$$

समस्या 26: बताएं $$2^{{\log }_{6}18}\cdot {0.3}^{{\log }_{6}3}$$ की मान

दिया गया:

यह एक हेडर है

समाधान:

यह एक हेडर है

हम उपरोक्त समस्या को कदम-द्वारा कदम समस्या को हल कर सकते हैं निम्नलिखित समीकरणों का उपयोग करके:

$$\begin{array}{l}{\log }_a(M.N)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N,और,a^{{\log }_{e}c}=c^{{\log }_{e}a}\end{array}$$

(\begin{array}{l} \Rightarrow {{2}^{{{\log }_{6}}18}}{{\left( 3 \right)}^{{{\log }_{6}}3}}={{2}^{{{\log }_{6}}\left( 6\times 3 \right)}}{{.3}^{{{\log }_{6}}3}}\ ={{2}^{1+{{\log }_{6}}3}}{{.3}^{{{\log }_{6}}3}}={{2.2}^{{{\log }_{6}}3}}{{.3}^{{{\log }_{6}}3}},,,\left( क्योंकि, {{a}^{{{\log }_{6}}c}}\={{c}^{{{\log }_{6}}a}} \right)

त्रुटि: अवैध एकीकरण

दिए गए साधनों के अनुसार, (\displaystyle =\left(\frac{1}{2(1)}+\frac{1}{2(1)+1} \right)\frac{1}{4^{1}}+\left(\frac{1}{2(2)}+\frac{1}{2(2)+1} \right)\frac{1}{4^{2}}+\left(\frac{1}{2(3)}+\frac{1}{2(3)+1} \right)\frac{1}{4^{3}}+…… )

(\displaystyle =\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3} \right)\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5} \right)\frac{1}{4^{2}}+\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{7} \right)\frac{1}{4^{3}}+…… )

(\displaystyle =\left(\frac{3}{4(2)(3)} \right)+\left(\frac{9}{4^{2}(4)(5)} \right)+\left(\frac{15}{4^{3}(6)(7)} \right)+…… )

(\displaystyle =\frac{1}{4}\left(\frac{3}{2(3)}+\frac{3}{2^{2}(4)(5)}+\frac{15}{2^{3}(6)(7)}+…… \right) )

(\displaystyle =\frac{1}{4}\left(\frac{3}{2(3)}\left(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{4^{3}}+…… \right) \right))

(\displaystyle =\frac{1}{4}\left(\frac{3}{2(3)}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{4}} \right) \right))

(\displaystyle =\frac{1}{4}\left(\frac{3}{2(3)}\left(\frac{1}{\frac{3}{4}} \right) \right))

(\displaystyle =\frac{1}{4}\left(\frac{3}{2(3)}\left(\frac{4}{3} \right) \right))

(\displaystyle =\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2} \right))

(\displaystyle =\frac{1}{8})

इसके विस्तार में n^{-r} के संकेतक को

(1) \frac{1}{r \log_{e} 10}

(2) \frac{\log_{e} 10}{r}

(3) -\frac{\log_{e} 10}{r}

(4) किसी में भी नहीं

हल:

\log_{10}\left(\frac{n}{n-1}\right) \Rightarrow \log_{e}\left(\frac{n}{n-1}\right) \cdot \log_{10} e

\Rightarrow-\log \left(\frac{n-1}{n}\right) \log_{10} e

\Rightarrow-\log \left(1-\frac{1}{n}\right) \log_{10} e

यहां हिंदी संस्करण का सामग्री है: = \left[\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^{2}}+\frac{1}{3n^{3}}+\ldots \ldots+\frac{1}{m^{r}}+\ldots \ldots \ldots \infty\right] \log_{10} e \ \therefore \quad \text {ज्ञात मान }\ n^{-r}=\frac{1}{r} \log_{10} e\ =\frac{1}{r \log_{e} 10}\ उत्तर: [1] \end{array}

प्रश्न 36: $$\log \frac{(1+x{)}^{(1-x)/2}}{(1-x{)}^{(1+x)/2}}\text{ समान है}$$

(1) $x+\frac{5x^3}{2.3}+\frac{9x^5}{4.5}+\frac{13x^7}{6.7}+\dots \dots ..+\mathrm{\infty }$

(2) $x-\frac{5x^3}{2.3}+\frac{9x^5}{4.5}-\frac{13x^7}{6.7}+\dots \dots ..+\mathrm{\infty }$

(3) $x-\frac{5x^3}{2.3}-\frac{9x^5}{4.5}-\frac{13x^7}{6.7}-\dots \dots ..-\mathrm{\infty }$

(4) $\text{इनमें से कोई नहीं}$

समाधान: $$\log \frac{(1+x{)}^{(1-x)/2}}{(1-x{)}^{(1+x)/2}}$$ $$=\frac{1}{2}(1-x)\log (1+x)-\frac{1}{2}(1+x)\log (1-x)$$ $$=\frac{1}{2}[\log (1+x)-\log (1-x)]-\frac{1}{2}[\log (1+x)+\log (1-x)]$$ $$=\frac{1}{2}\cdot 2[[x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\dots \dots .]-\frac{1}{2}\cdot x(-2)[\frac{1}{2}{x}^2+\frac{x^4}{4}+\dots ..]$$ $$=x+(\frac{1}{3}+\frac{1}{2})x^2+(\frac{1}{5}+\frac{1}{4})x^5+(\frac{1}{7}+\frac{1}{6})x^7+\dots \dots .$$ $$=x+\frac{5x^3}{2.3}+\frac{9x^5}{4.5}+\frac{13x^7}{6.7}+\dots \dots \dots .$$

उत्तर: [1]

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अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

लघवंश का आविष्कार किसने किया?

लघवंश का आविष्कार जॉन नेपीयर ने 1614 में किया।

जॉन नेपीयर ने लघवंश का आविष्कार किया।

लघवंश का उत्पादन नियम कहता है कि: $${\log }_a(xy)={\log }_a(x)+{\log }_a(y)$$

log_a(m\cdot n) = log_a(m) + log_a(n)

लघवंश का बोधक नियम कहता है: $${\log }_a\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_a(x)-{\log }_a(y)$$

log_a(m/n) = log_am - log_an

1. लघवंश का उपयोग किसी समाधान के pH की गणना करने के लिए किया जाता है।
2. लघवंश का उपयोग किसी ध्वनि के डेसिबल स्तर की गणना करने के लिए किया जाता है।

बायोलॉजिस्ट द्वारा जनसंख्या वृद्धि दर की गणना करने के लिए लघवंश का उपयोग किया जाता है।

इसे भूकंप के माहिती के मात्रा को मापने के लिए इस्तेमाल किया जाता है।

लघवंश का शक्ति नियम कहता है ${\log }_b{x}^n=n{\log }_{b}x$

\log_b(x^a) = a \cdot \log_b(x)