अभिप्रेतियों की अवधारणा विश्लेषण की आगे बढ़िया के लिए महत्वपूर्ण है, क्योंकि अनंत श्रृंखला की सशरीरता और बिगड़ने पर यह प्रणाली निर्भर करती है। गणितज्ञों ने सीमाओं के सिद्धांत का सफलतापूर्वक उपयोग किया है ताकि सीमा की अवधारणा के संदर्भ में, निरंतरता, अभिलिप्तियां और निश्चित ऐन्टेग्रल को परिभाषित किया जा सके। इस अध्याय में, आपको हल किए उदाहरणों की सहायता से इस अवधारणा की मूलभूत समझ प्राप्त होगी।

लक्ष्य प्रश्न: द्वारा आपात एकांत

a एक वास्तविक संख्या हो और h करीब करीब 0 है, तब

बाईं ओर सीमा प्राप्त की जाएगी जब x $\rightarrow$ a$^{-}$

इसी तरह, दाईं ओर सीमा प्राप्त की जाएगी जब x $\rightarrow$ a+ हो या x = a + h।

संबंधित अवधारणाएं:

कार्यों और इसके प्रकार

सीमा, सततता और विभाज्यता

अंतरक्रिया

के अनुप्रयोग

सीमा की मौजूदगी

सीमा मौजूद रहेगी अगर निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:

(a) (\underset{x\to {{a}^{-}}}{\mathop{\lim }}f(x) = \underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}f(x) ) अर्थात बाईं हाथ सीमा = दायें हाथ सीमा

(b) तपाईं.एच.एल. और रहल. पदार्थ “निरंतर” होना चाहिए।

उदाहरण:

• उदाहरण 1
• उदाहरण 2
• उदाहरण 3

यह मोटा टेक्स्ट है

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }},,{{x}^{2}}+1={{1}^{2}}+1=2$

(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }},,{{x}^{2}}-x \rightarrow 0)

$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }},,\frac{{{x}^{2}}-4}{x+3} = \frac{(x^2 - 4) \mid_{x=2}}{(x+3) \mid_{x=2}} = \frac{4-4}{2+3} = 0$

(c) सीमाओं में हमें निर्धारित समस्याएं \(\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty },0\times \infty ,\infty \times \infty ,{{1}^{\infty }},0{}^\circ ,\infty {}^\circ\) जैसे गणितीय निर्धारित करने की कोशिश की जाती है।

इस वीडियो को देखें और अधिक संदर्भ के लिए

कथन की समस्याएँ

प्रत्याशित प्रश्न और समाधान

संवर्धन के माध्यम से सीमाएँ मूल्यांकन

थोड़ी महत्वपूर्ण सिरदर्दें

1. (\log(1+x) = x - \frac{{x}^2}{2} + \frac{{x}^3}{3} - \frac{{x}^4}{4} + \dots )

2. $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} - \frac{x^4}{4!} + \cdots$$

3. $$\begin{array}{l}{{a}^{x}}=1+x\log a+\frac{{{x}^{2}}}{2!}{(\log;a)}^{2}+\dots\end{array}$$

4. (\begin{array}{l}\sin x = x - \frac{{x^3}}{6} + \frac{{x^5}}{120} + \dots \end{array})

5. $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$

6. (\displaystyle \tan x = x + \frac{{{x}^{3}}}{3} + \frac{2}{15}{{x}^{5}} + \cdots )

थोड़ी महत्वपूर्ण सीमाएँ

[$$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }},,,,\frac{\sin x}{x}=1$$][]

[$$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }},,,,\frac{1-\cos x}{{{x}^{2}}}=\frac{1}{2}$$][]

[ $$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }},,,,\frac{\tan x}{x}=1$$**][]

हाँ, (f(x)) को x = 4 पर निरंतर है।

दिया गया:

यह मेरा शीर्षक है

समाधान:

यह मेरा शीर्षक है

यहां ही संस्करण का सामग्री है: (\begin{array}{l}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }},\frac{{{x}^{4}}-{{4}^{4}}}{x-4}=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }},,,,,\frac{{{x}^{4}}-256}{x-4}={{4.4}^{4-1}}=256\end{array} )

उदाहरण 3: क्षेत्रांतरण की परिणामस्वरूपताएं

(अ) $\mathrm{sgn}(x^3 - x)$

(ब) (\begin{array}{l}f(x) = \left[ \frac{2}{1 + x^2} \right], \quad x > 0\end{array})

दिया गया:

यह एक हेडलाइन है

समाधान:

यह एक हेडलाइन है

f(x) = sgn(x^3 - x)

यहां, $$x^3 - x = 0$$, इसलिए, $$x = 0, -1, 1$$

इसलिए, $f(x)$ को $x = 0, 1, -1$ पर असंगत किया जाता है

(ब) (\frac{2}{1+{{x}^{2}}}), x > 0 एक न्यूनतम रुप से कम होने वाला फ़ंक्शन है।

इसलिए, $$f(x) = \left[ \frac{2}{1+{{x}^{2}}} \right], \quad x \ge 0$$ असंगत है।

जब $$\frac{2}{1 + x^2}$$ एक पूर्णांक होता है

(\Rightarrow \frac{2}{1+{{x}^{2}}}=1 \quad \text{t} x=1, 0)

उदाहरण 4: x = 0 पर  (\begin{array}{l}f(x) =\left{\begin{matrix} x-2 & x \leq 0\ 4-x^2 & x > 0 \end{matrix}\right.\end{array} ) की सततता का विचार करें

%E0% समाधान:#E0%

यह एक हेडलाइन है

(\underset{x\to 0^-}{\mathop{\lim }},f(x) = -2)

बीच स्थान मान उदाहरण

यदि $f$ को $[a, b]$ पर निरंतर है और $f(a) \neq f(b)$, तो किसी मान $c \in (f(a), f(b))$ के लिए, कम से कम एक संख्या $x_0 \in (a, b)$ होगी जिस पर $f(x_0) = c$ होगा।

लिमिट्स, सततता, और अभेद्यता पर JEE Main प्रशन

सूत्रों, सततता और अभेद्यता के 12 महत्वपूर्ण JEE प्रश्न

अभेद्यता

आंतरण फ़ंकशन $f(x)$ कहा जाता है कि बिंदु $x = a$ पर $f’(a)$ हर बिंदु में मौजूद होता है।

डिरिवेटिव की मौजूदगी

दाएं हाथ और बाएं हाथ डिरिवेटिव

F.H.D: $$\underset{h\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} \frac{f(a+h)-(a)}{h}$$

L.H.D: F'(\displaystyle F'(a^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{h(a-h)-f(a)}{-h}

एक फंक्शन को अ-डिफरेंटयेबल होने के लिए क्या शर्तें हैं?

फंक्शन f(x) को x = a पर गैर-डिफरेंटयेबल कहा जाता है अगर यह सतत नहीं है या उसका डिरिवेटिव x = a पर मौजूद नहीं है।

(a) दोनों R.H.D और L.H.D मौजूद हैं, लेकिन वे एक समान नहीं हैं।

रेन्डम एच.डी. या एल.एच.डी. (या दोनों) संख्यात्मक नहीं हैं।

(c) रेन्डम एच.डी. या एल.एच.डी., या दोनों, मौजूद नहीं हो सकती हैं।

वीडियो पाठ:

लिमिट्स, सततता और अभेद्यता - पार्ट 1

लिमिट्स, सततता और अभेद्यता - पार्ट 2

लिमिट्स, सततता, और अभेद्यता: महत्वपूर्ण मुद्दे

लिमिट्स, सततता, और अभेद्यता पर महत्वपूर्ण प्रश्न

संशोधन पाठ भाग 1: सीमा, सांतत्य और विभेद

सीमा, सांतत्य और विभेद - संशोधन पाठ भाग 2

एक फ़ंक्शन की सांतत्य

सांतत्य पर सिद्धांत

विभेदीता और उसकी शर्तें

एक अंतराल में विभेदीता

![अंतराल में विभेदीता]()

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

एक समांतर फ़ंक्शन एक ऐसा फ़ंक्शन है जिसके लिए, इसकी डोमेन में किसी भी दो बिंदुओं के लिए, उन दो बिंदुओं के बीच के सभी बिंदुए इसकी डोमेन में भी होते हैं।

यदि $\lim_{x \to a}f(x)$ मौजूद है और $\lim_{x \to a}f(x) = f(a)$, तो एक फ़ंक्शन को एक बिंदु $x = a$ पर सांतत होने कहा जाता है।

विभेदीता एक कैलकुलस में एक अवधारणा है जो फ़ंक्शन की विभेदीयता, यानी इसकी परिवर्तन दर की गणना की क्षमता की ओर संदर्भित होती है।

यदि एक फ़ंक्शन $f(x)$ कोई बिंदु $x = a$ पर विभेदी होता है, तो उसके अवकलनीयकारी $f’(a)$ उसकी डोमेन के हर बिंदु पर मौजूद होता है।

फ़ंक्शन $f(x)$ की सांतत्य की जांच का प्रक्रिया क्या है?

यदि बाईं हाथ​​ की सीमा (L.H.L) दाईं हाथ​​ की सीमा (R.H.L) के बराबर है और बिंदु $x = a$ पर फ़ंक्शन के मान के बराबर है, तो फ़ंक्शन बिंदु $x = a$ पर सांतत होता है।

एक फ़ंक्शन की द्वितीय विभेदी की परिभाषा क्या है?

एक फ़ंक्शन की द्वितीय विभेदी उस फ़ंक्शन के अवकलित का अवकलज है। हम $f(x)$ की द्वितीय विभेदी को $f’’(x)$ से दर्शाते हैं।

हाँ, सांतत्य और विभेदीता संबंधित हैं।

हाँ, यदि एक फ़ंक्शन अपनी डोमेन में किसी भी बिंदु पर विभेदी होता है, तो वह उस बिंदु पर सांतत होगा। हालांकि, उम्रकैंसा यह सत्य नहीं होता।

$\lim_{x \to 0}(\log (1+x)/x)$ की मान 0 है।

$$\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+x)}{x} = 1$$ की मान 1 है।

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ की मान 1 है।

$ x \rightarrow 0$ के रूप में $\frac{e^x - 1}{x}$ की सीमा 1 है।

क्या एक सांतत फ़ंक्शन हमेशा विभेदी होता है?

नहीं, एक सांतत फ़ंक्शन हमेशा विभेदी नहीं होता है।

एक सांतत फ़ंक्शन को विभेदी होने की जरूरत नहीं है। यदि एक फ़ंक्शन f(x) बिंदु a पर विभेदी है, तो वह बिंदु a पर सांतत होगा। हालांकि, इसका उलट नहीं सत्य होता।