बाह्यपुर्वविभव $ g’(x) $ का अवरक संबंधी $ dx $ द्वारा ढूंढी जाती है, और यह इंटीग्रेशन की प्रक्रिया के माध्यम से मिलता है, और इसे दिया जाता है:

∫ g’(x) \ dx = g(x) + C, \ जहां \ C \ इंटीग्रेशन \ का \ स्थाई \ है।

दो प्रकार की इंटीग्रेशन शामिल हैं:

• अनिश्चित इंटीग्रेल
• निर्दिष्ट इंटीग्रेल

निश्चित इंटीग्रेल: एक ऐसी इंटीग्रेल जिसमें निर्दिष्ट ऊच्चतम और निम्नतम सीमाएं होती हैं, बिना इंटीग्रेशन के स्थाई के।

अनिश्चित इंटीग्रेल: अकर्षक सीमाएँ और शामिल किए गए एक मनमाने स्थाई के बिना एक ऐसी इंटीग्रेल।

इस लेख में मौखिक इंटीग्रेशन, उनकी गुणधर्मों, महत्वपूर्ण सूत्रों, और इंटीग्रेशन के उदाहरणों का व्यापक अवलोकन प्रदान किया गया है जो छात्रों को विषय की गहराई समझने में मदद करेगा।

मानक इंटीग्रेल

व्याज और विभवों का इंटीग्रेल

(\begin{array}{l} \int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \ne 1 \ \int \frac{1}{x} , dx = \ln |x| + C \ \int c , dx = c \cdot x + C \ \int x , dx = \frac{x^2}{2} + C \ \int x^2 , dx = \frac{x^3}{3} + C \ \int \frac{1}{x^2} , dx = -\frac{1}{x} + C \\end{array})

(\begin{array}{l} \int \sqrt{x} , dx = \frac{2 \cdot x \cdot \sqrt{x}}{3} + C \ \int \frac{1}{1+x^2} , dx = \arctan x + C \ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} , dx = \arcsin x + C \end{array})

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों का इंटीग्रेल

(\begin{array}{l} \int \sin x,dx = -\cos x + C \ \int \cos x,dx = \sin x + C \ \int \tan x,dx = \ln|\sec x| + C \ \int \sec x,dx = \ln|\tan x + \sec x | + C \\end{array})

(\begin{array}{l} \int \sin^2x,dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cdot \cos x) + C \ \int \cos^2x,dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cdot \cos x) + C \ \int \tan^2x,dx = \tan x - x + C \ \int \sec^2x,dx = \tan x + C \end{array})

घटनात्मक और लघू फ़ंक्शनों का इंटीग्रेल

(\begin{array}{l} \int \ln x ,dx = x \cdot \ln x - x + C\ \int x^n \cdot \ln x ,dx = \frac{x^{n+1} \cdot \ln x}{n+1} - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C\ \int e^x ,dx = e^x + C\ \int a^x ,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\ \end{array})

इंटीग्रेशन की गुणधर्मों

गुणधर्म 1: (\int\limits_{a}^{a} f(x),dx = 0)

गुणधर्म 2: (\int\limits_{a}^{b}{f(x),dx=-\int\limits_{b}^{a}{f(x),dx}})

गुणधर्म 3: (\int\limits_{a}^{b}{f(x) , dx} = \int\limits_{a}^{b}{f(t) , dt})

गुणधर्म 4: (\int\limits_{a}^{b}{f(x),dx} = \int\limits_{a}^{c}{f(x),dx} + \int\limits_{c}^{b}{f(x),dx})

गुणधर्म 5: (\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx} = \int\limits_{a}^{b}{f(a+b-x)dx})

(\begin{array}{l}\int\limits_{0}^{a}{f(x)dx} = \int\limits_{0}^{a}{f(a-x)dx}\end{array})

⇒ भी पढ़ें निश्चित और अनिश्चित इंटीग्रेशन

त्रिकोणमितीय कार्यों का एकीकरण

प्रकार 1: (\int{{{\sin }^{m}}x{{\cos }^{n}}xdx})

1. अगर m विषम होता है, तो cos x = t रखें

2. अगर n विषम होता है, तो sin x = t रखें

अगर m और n राशियों (rational) होते हैं, तो tan x = t रखें

अगर दोनों सम होते हैं, तो तत्क्षणीकरण विधि का उपयोग करें

(\begin{array}{l}Q\int{\frac{{1-t^2}}{t^6}dt}=\int{\frac{{{\cos }^{3}}x}{{{\sin }^{6}}x}dx}\end{array} )

t = sin(x)

(\int{{{t}^{-5}}dt})

(\begin{array}{l}=\frac{-1}{5\sin^5x}+\frac{1}{3\sin^3x}+c\end{array})

प्रकार 2: (\int{\frac{dx}{a\cos x + b\sin x + c}})

t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)

उदाहरण

(\begin{array}{l}\int{\frac{dx}{2+\sin x}} = \int{\frac{d(2\tan\left(\frac{x}{2}\right))}{2+\sin x}} \end{array} )

(\begin{array}{l}\Rightarrow \int{\frac{d(2\tan\left(\frac{x}{2}\right))}{2+\sin x}} = \int{2\frac{dt}{1+t^2}} \end{array} )

(\begin{array}{l}\Rightarrow t=\tan \left( \frac{x}{2} \right)\end{array} )

(\frac{d}{dt}\left( {{t}^{2}} \right)=2t)

(\begin{array}{l}=\int{\frac{dt}{{{t}^{2}}+t+1}}\end{array})

(\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{2t+1}{\sqrt{3}}\right))

(\begin{array}{l}=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{2\tan\frac{x}{2}+1}{\sqrt{3}}\right)+c\end{array})

अविच्छिन्न कार्यों के लिए स्थानांतरण

प्रपत्र 1: (\displaystyle \int \sqrt{द्विघातीय} \ dx )

(\begin{array}{l}\text{m=Quadratic का स्थानांतरण करें},\ n=Linear\end{array})

प्रपत्र 2: (\int{\frac{dx}{\sqrt{l_{1}in}}},,\int{\frac{l_{1}in}{\sqrt{l_{1}in}}}dx,,\int{\frac{\sqrt{l_{1}in}}{l_{1}in}dx})

(\begin{array}{l}\text{li{{n}_{1}}={{t}^{2}} का स्थानांतरण करें} \ \rightarrow \ li{{n}_{1}}={{t}^{2}} \end{array} )

**प्रपत्र 3:** (\int{\frac{1}{\sqrt{Qua}}dx})

स्थानांतरण $$lin = \frac{1}{t}$$

प्रपत्र 4: (\int{\frac{dx}{\left( a{{x}^{2}}+b \right)\sqrt{\left( {{x}^{2}}+d \right)}})

x = $\frac{1}{t}$ का स्थानांतरण करें और फिर $a t^2 + b$ के लिए $u^2$ का उपयोग करें

कार्यों की एकीकरण सूत्र

1. (\int\limits_{a}^{b}{f(x),dx} = \int\limits_{a}^{b}{f(t),dt})

2. (\begin{array}{l}-\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx=}\int\limits_{b}^{a}{f(x)dx}\end{array} )

$$\int_a^b f(x) , dx = \int_a^c f(x) , dx + \int_c^b f(x) , dx$$

4. (\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx=\int\limits_{a}^{b}{f(a+b-x)dx}})

5. $$\int\limits_{0}^{2a}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{a}{f(x)dx}+\int\limits_{0}^{a}{f(2a-x)dx}$$ $$=0 \quad \text{यदि} \quad f(2a-x)=-f(x)$$ और $$=2\int\limits_{0}^{a}{f(x)} \quad \text{यदि} \quad f(2a-x)=f(x)$$

6. $$\int_{-a}^{a}{f(x)dx=\begin{cases} 0 & \text{यदि } f(x) \text{ विषम है} \ 2\int_{0}^{a}{f(x)dx} & \text{यदि } f(x) \text{ सम है} \end{cases}}$$

अतिरिक्तचित्र कार्यों पर

उदाहरण:

$$\int_{0}^{2}{{x}^{2}\left[ x \right]dx}=\int_{0}^{1}{{x}^{2}\left[ x \right]dx}+\int_{1}^{2}{{x}^{2}\left[ x \right]dx}$$

(\int\limits_{0}^{1}{x^2,dx} + \int\limits_{1}^{2}{x^2,dx})

$\int_{1}^{2}\frac{x^3}{3}dx = 0$

(\frac{8-1}{3} = \frac{7}{3})

उदाहरण:

(\int\limits_{{\pi }/{6}}^{{\pi }/{3}}{\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}dx})

वाक्यांश:

(\begin{array}{l}I = \int{\frac{\sqrt{\cos (\frac{\pi}{2} - x)}}{\sqrt{\sin (\frac{\pi}{2} - x)}+\sqrt{\cos (\frac{\pi}{2} - x)}}dx}\end{array})

(\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}},dx} = \int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}{1,dx} = \frac{\pi}{6})

(\begin{array}{l}I=\frac{\pi }{12}\end{array})

चित्रण:

(\begin{array}{l}I=\int{{{\sin }^{100}}x{{\cos }^{99}}x,dx}\end{array} )

यहाँ f(2π - x) = f(x)

(Or\ \begin{array}{l}I=2\int\limits_{0}^{\pi}{{{\sin }^{100}}x{{\cos }^{99}}x}\end{array})

(\int\limits_{0}^{\pi }{{{\sin }^{100}}\left( \pi -x \right){{\cos }^{99}}\left( \pi -x \right)},dx = 2)

-I = I

I = 0

चित्रण:

(\int\limits_{-5}^{5}{{{x}^{3}}\ \text{d}x=0} \ \text{as}\ f(x)=x^3 \ \text{is\ an\ odd\ function})

लीबनिट्स का नियम

(\frac{d}{dx}\int\limits_{u(x)}^{v(x)}{f(t)dt} = f(v(x))\frac{dv(x)}{dx} - f(u(x))u’(x))

साधन समस्याएं

समस्या 1. (\begin{array}{l}\text{यदि}\ \int\limits_{x^2}^{x^3}{\frac{1}{\log t}dt=y},\ \text{तो}\ \frac{dy}{dx}\ \text{निकालें}\end{array})

(\frac{dy}{dx}=x\left( x-1 \right){{\left( \log x \right)}^{-1}})

समस्या 2. यदि $$\int\limits_{\sin x}^{1}{{{t}^{2}}f\left( t \right)dt=1-\sin x.$$ where $x \in (0, \frac{\pi}{2})$, find $f(\frac{1}{\sqrt{3}})$.

समस्या 3. (\displaystyle \lim_{x \to 2} \int_{6}^{f(x)}\frac{4t^{3}}{x-2}dt = 18.)

समस्या 4. (\displaystyle \lim_{x\to \infty }\frac{\int\limits_{0}^{x}{{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}}{\int\limits_{0}^{x}{{{e}^{2{{x}^{2}}}}dx}}=0)

अंतरण के द्वारा समाधान

(\int{uv,dx} = u\int{vdx} - \int{u’\left( \int{vdx} \right)},dx)

चित्रण:

Q. (\int{\ln,x,dx} = \int{\ln,x.1,dx})

(\begin{array}{l}x,\ell n,x - \int{x,dx - \int{\frac{1}{x},dx}}\end{array})

(\begin{array}{l}=\ell n,x-1\end{array})

Q. (\int x,{{e}^{x}}dx = x\int{{{e}^{x}}dx - \int{{{\left( 1 \right)}}\left( \int{{{e}^{x}}dx} \right)}dx} )

(\int x{{e}^{x}}dx = x{{e}^{x}} - \int{{{e}^{x}}dx})

\(\frac{d}{dx} \left( xe^x - e^x \right) \)

बिगणित बीजगणितिक फलनों का अंशीकरण

प्रकार $\int{\frac{dx}{{{\left( ax+b \right)}^{k}}\sqrt{px+q}}};$

Q. (\int{\frac{x}{\left( x-3 \right)\sqrt{x+1}}dx})

x + 1 = t2 $\Rightarrow$ x = t2 - 1

(\begin{array}{l}I=2\int{\frac{{{t}^{2}}-1}{{{t}^{2}}-4},dt}\end{array})

\(\int{2}+\frac{3}{{{t}^{2}}-4}dt\)

(\begin{array}{l}2t + \frac{3}{2} \ln \left| \frac{t-2}{t+2} \right| + c\end{array})

(\begin{array}{l}2\sqrt{x+1} + \frac{3}{2}\ln\left|\frac{\sqrt{x+1}-2}{\sqrt{x+1}+2}\right| + c\end{array})

(\int\limits_{0}^{2a}{f\left( x \right)dx} = \int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx} + \int\limits_{0}^{a}{f\left( 2a-x \right)dx})

f(2a - x) = -f(x) \Rightarrow 0

(\begin{array}{l}=2\int\limits_{0}^{a}{f\left( 2a - x \right)}\ \text{if}\ f(2a - x) = f(x)\end{array} )

अधिकतम और न्यूनतम मानों के लिए क्षेत्र का अधिग्रहण

चित्रण:

##This is a heading

(\begin{array}{l} I = \int\frac{2\cos x+3\sin x}{4\cos x+5\sin x},dx = \int\frac{2+3\tan x}{4+5\tan x},dx \end{array})

यह एक हेडिंग है

प्रकार की समस्या $$\int{\frac{a\cos x+b\sin x+p}{c\cos x+d\sin x+q}},dx,\int{\frac{a{{e}^{x}}+b{{e}^{-x}}+c}{d{{e}^{x}}+f{{e}^{-x}}+h}},dx$$ को हल किया जा सकता है $$Nr=nDr+mDr’$$ उसने कहा

उसने कहा, “अब,”

2 cos x + 3 sin x = a(4 cos x + 5 sin x) + b(-4 sin x + 5 cos x)

तुलना करके हल करने से हमें मिलता है

(\begin{array}{l}a=\frac{23}{41} \ b=\frac{-2}{41}\end{array} )

(\therefore I=\int{\frac{25}{41}\left( \frac{-4\sin x+5\cos x}{4\cos x+5\sin x} \right)dx})

(\begin{array}{l} \frac{23}{41}x-\frac{2}{41}\ln\left| 4\cos x+5\sin x \right| + c \end{array})

समस्या 7: प्रथम चतुर्थांश में कट्टा द्वारी से बांधी गई सीमाओं द्वारा क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूंढें $y^2 \leq 4x$, $x^2 + y^2 \geq 2x$, और $x \leq y + 2$।

दिया:

यह एक वक्तव्य है

उत्तर:

यह एक वक्तव्य है

(\int\limits_{0}^{{{\left( \sqrt{3}+1 \right)}^{2}}}{\sqrt{4x},,dx-} आर्की छाप + आर्की ABC)

(\frac{2{{x}^{3/2}}}{3}_{0}^{{{\left( \sqrt{3}+1 \right)}^{2}}}-\frac{1}{2}{{\left( \sqrt{3}+1 \right)}^{2}}2\left( \sqrt{3}+1 \right)-\sqrt{4}\left( \frac{\pi }{2} \right))

(\frac{{{\left( \sqrt{3}+1 \right)}^{3}}{3} - \frac{\pi}{2})

डेफिनिट इंटीग्रेशन के लिए सबसे महत्वपूर्ण प्रश्न

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

संघनन (Integration) गणित में एक वक्र के तहत क्षेत्रफल की गणना करने की प्रक्रिया को कहा जाता है।

किसी फ़ंक्शन के उप-धुनन सूत्र (Antiderivative) की खोज की प्रक्रिया को ज्ञात किया जाता है संघनन (Integration) कहा जाता है।

x का संघनन $\int x ,dx = \frac{x^2}{2} + C$ है

x का संघनन = $\int x \; dx = \frac{x^2}{2} + C$, जहां $C$ एक निर्धारित संघननस्रोत है।

साइन x का संघनन -cos x + C होता है, जहां C एक ऐच्छिक संघनन स्रोत है।

साइन x का संघनन = -\cos x + C

1. वक्र के तहत क्षेत्र ढूँढें
2. वृत्ताकार पदार्थ का आयाम (व्यास) ढूँढें

संघनन का उपयोग किया जाता है:

• किसी वक्र के तहत क्षेत्र ढूंढें
• सैटेलाइट की गति ढूंढें
• सैटेलाइट की आपातकालीन प्रक्षेपक ढूंढें