हाइपरबोला एक खुली कर्व है जिसमें दो शाखाएं होती हैं जो एक दूसरे के आदर्श छवि हैं। यह अनंत धनुष की तरह दो कर्व हैं। इस पाठ में, हम हाइपरबोला समीकरण, फोकस, विलोमता, निर्देशकर, लताकषर और इस प्रकार की कर्व की विशेषताओं का अन्वेषण करेंगे।

हाइपरबोला एक कोनिक खंड है, जो एक तलवर-कोन के समांतर्भूतबिंदु और एक दोहरी-सील द्वारा बनाई जाती है। इसके दो शाखाएं होती हैं जो एक केंद्रीय बिंदु से बाहर फैलती हैं और एक उल्टा “S” आकार होता है।

एक हाइपरबोला ऐसे बिंदुओं का समुदाय होता है जिसमें प्रत्येक फोकस के दूरी हमेशा एक से अधिक होती है। दूसरे शब्दों में, एक तल में एक बिंदु के दूरी का संचार एक निश्चित बिंदु से (फोकस) दूसरी निश्चित रेखा (निर्देशक) तक की दूरी के अनुपात निर्धारित करता है, और वह अनुपात हमेशा 1 से अधिक होता है।

![हाइपरबोला फोकस] ()

बिन्दु निर्देशक के रेखा पर नहीं होता है।

(e > 1) $\Rightarrow$ (PS/PM) = (childती)

![हाइपरबोला] ()

हाइपरबोल के मानक समीकरण

हाइपरबोल का मानक समीकरण सरल होता है जब हाइपरबोल का केंद्र मूल पर होता है और फोकस वाइयर या y-अक्ष पर होते हैं। समीकरण दिया जाता है:

[(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2)] = 1

b2 = a2(e2 - 1)

हाइपरबोल के संबंधित महत्वपूर्ण शब्द और सूत्र

हाइपरबोल से संबंधित कुछ महत्वपूर्ण शब्द जो इस अवधारणा में संपूर्ण रूप से समझने के लिए निपुण होने चाहिए हैं:

विलोमता (e): $$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \left(\frac{\text{विलोमबाहु}}{\text{पारभू बाहु}}\right)^2$$

फोकसी: S = (ae, 0) और S’ = (-ae, 0)

निर्देशक: x = $\frac{a}{e}$, x = $\frac{-a}{e}$

पारभू बाहु:

2a लंबी लाइव सिमेंट में (जिसमें दोनों फोकल बिंदु S’ और S स्थित होते हैं) हाइपरबोल की पारभू बाहु कहलाती है।

विलोम बाहु:

बिंदु B’ $(0, -b)$ और B $(0, b)$ के बीच, 2b लंबी सीधी पश्चाती बाहु को हाइपरबोल का विलोम बाहु कहा जाता है।

मुख्य धनुष:

त्रिभुजीय बाहु और विलोम बाहु।

ध्रुवबिंदु:

A = $(a, 0)$ और $A’ = (-a, 0)$

द्विमुखी वेश्मिका:

जो एक फोकस से गुजरने वाला एक वेश्मिका है, उसे द्विमुखी वेश्मिका कहा जाता है।

द्विपद:

विलम्बसमान बाहु से लंबवत्ता बाहु के रूप में संदर्भित अणु को द्विपद कहा जाता है।

लताकषर:

हाइपरबोल के उल्टीभारवाले फोकस से गुजरने वाली ऊचाई के अनुरूप रेखा को लताकषर कहा जाता है।

इसकी लंबाई = $(2b^2/a) = [(विलोम)^2/त्रिभुजीय] = 2a(e^2 - 1)$

फोकस दूरियों का अंतर समान रहता है।

| |PS - PS’| | = |2a|

लताकषर की लंबाई 2e के बराबर होती है, जब फोकस की निर्देशक से दूरी` से गुणा किया जाता है।

लताकषर के अंतबिंदु: (± $\sqrt{ae}, \pm \frac{b}{2a}$)

केंद्र:

जो अपवाद के हर वोधी (वर्तिका) में बने रेखांकों को दोहराता है, उसे अपवाद का केंद्र कहते हैं।

समीकरण [(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2)] = 1 का केंद्र (0, 0) होता है।

महत्वपूर्ण:

आप देखेंगे कि अंडाकारी के लिए परिणाम भी हाइपरबोला के लिए उपयोगी होते हैं। आपको b2 को (-b2) से बदलना होगा।

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हाइपरबोला को संलग्न करने वाली प्रैक्टिस समस्याएँ

उदाहरण 1:

यहां वाक्य दोहराना होगा।

यह वाक्य दोहराया गया है।

2x + y = 1 रेखांकन के साथ हाइपरबोला की समीकरण , फोकस (1, 2) और अपेक्षा √3 है। (x - 1)^2/3 - (y - 2)^2/9 = 1 होगा।

दिया गया है:

यह एक हेडिंग है

समाधान:

यह एक हेडिंग है

P(x, y) को हाइपरबोला पर कोई भी बिंदु मानें।

एक रेखा रेखांकन से नेतृत्वशील रेखा खींचें। बिंदु पी से अपेक्षिती, ePM = SP के अनुसार।

(SP)² = e² (PM)²

$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 3\left(\frac{2x+y-1}{\sqrt{4+1}}\right)^2$

5(x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5)

3(4x^2 + y^2 + 1 + 4xy - 2y - 4x)

7x^2 - 2y^2 + 12xy - 2x + 14y - 22 = 0

यहां आवश्यक हाइपरबोला है?

उदाहरण 2:

लंबवत रेखा अक्ष का आधा हाइपरबोला कांटवत है, इसका अपेक्षाकरण ढूंढें।

दिया गया है:

यह एक हेडिंग है

समाधान:

यह एक हेडिंग है

एक हाइपरबोला की समीकरण को इस तरह व्यक्त किया जा सकता है:

(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1

फिर लंबवत अक्ष = 2a होगा और कांटवत = (2b^2 / a) होगा।

(2b^2)/a = (1/2) * 2a

2b² = a² (क्योंकि, b² = a² (e² − 1))

2a² (e² - 1) = a²

2e2 - 2 = 400 - 2 = 398

e2 = 1.5

e = $\sqrt{\frac{3}{2}}$

इसलिए, आवश्यक अपेक्षाकरण है $\sqrt{\frac{3}{2}}$

संलग्न हाइपरबोला एक प्रकार की हाइपरबोला है जो दो अलग शाखाओं से मिलकर बनी होती है, जो एक-दूसरे के मिरर छवि होती हैं।

दो हाइपरबोला एक-दूसरे के संलग्न अक्ष होते हैं, एवं एक हाइपरबोला के संलग्न अक्ष होते हैं, वे एक-दूसरे के मुख्य अक्ष होते हैं, इसे कहा जाता है संलग्न हाइपरबोला।

समीकरण (x² / a²) - (y² / b²) = 1 और (−x² / a²) + (y² / b²) = 1 संलग्न हाइपरबोलों का प्रतिष्ठान करते हैं।

(y2 - b2) / (x2 - a2) = 1

a^2 = b^2 * (e^2 - 1)

नक्काशी: (0, $\pm$b) और L.R. = $\frac{2a^2}{b}$

संलग्न हाइपरबोलों के संबंध में महत्वपूर्ण निष्कर्ष

यदि हाइपरबोला और उसके संलग्न के उत्कृष्टताएं दी गई हों,

1/e<sub>1</sub><sup>2</sup> + 1/e<sub>2</sub><sup>2</sup> = 1

हाइपरबोला की फोकस और इसके संलग्नों के फोकस संयुक्त वर्तुल हैं और एक चौरस के रूप में सम बाहों और सम कोणों वाले चार-भुज बनाते हैं।

दो हाइपरबोले समान होते हैं यदि उनके अपेक्षाकरण (c) समान हों।

दो समान हाइपरबोले समान होते हैं अगर उनके लंबवत अक्ष समान हों।

उदाहरण 3:

हाइपरबोला 16x2 − 9y2 = −144 की निम्नलिखित गुणधर्मों का पता लगाएं:

• माला एवं संकट अक्ष की लंबाई

• अपेक्षाकरण

• फोकसों के संदर्भांक

• शीर्षका

• लंबवत-रैखिक के लंबाई

• सीधी के समीकरण

दिया गया:

यह एक कथन है

समाधान:

यह एक कथन है

(x^2 / 9) - (y^2 / 16) = -1

(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = -1

a² = 9, b² = 16

a = 3, b = 4

ऊभरी धनुष की लंबाई: ऊभरी धनुष की लंबाई (2b) 8 के बराबर है।

तुल्य धनुष की लंबाई: तुल्य धनुष की लंबाई = 2a = 6

अपरिहार्यता: परिभाषा: सामान्य से अलग होने या आचरण या उपस्थिति में असामान्य होने की गुणवत्ता।

फोकस: फोकस के संयोजनांक (0, $\pm$ 5) हैं, अर्थात (0, $\pm$ 5)

शीर्षक: शीर्षकों के संयोजनांक (0, 4) और (0, -4) हैं।

ऊभर-आरेख की लंबाई: ऊभर-आरेख की लंबाई = $$\frac{2a^2}{b}$$ = $$\frac{2(3^2)}{4}$$ = $$\frac{9}{2}$$

आपशिष्टों का समीकरण: आपशिष्टों का समीकरण है x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1।

y = ± $\frac{4}{\frac{5}{4}}$ ⇒ y = ± $\frac{16}{5}$

हाइपरबोला के अनुरक्त वृत्त

जिसके केंद्र C है और उसका व्यास उसकी ऊभली धनुष की आधारी धनुष के रूप में जाना जाता है, उसे हाइपरबोला के द्वारकवृत्त कहा जाता है। हाइपरबोला के आपशिष्ट वृत्त का समीकरण निम्न प्रकार है:

हाइपरबोला के आपशिष्ट वृत्त का समीकरण है: (x^2) + (y^2) = (a^2)

आपशिष्ट वृत्त और हाइपरबोला के “समान बिंदुओं” के रूप में एक-दूसरे को कहते हैं, वे आंकल संयोग पर हैं।

मापदार्शी प्रतिस्थापन:

x = asec $\theta$ और y = btan $\theta$

यदि $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ हाइपरबोला पर हो तो, तो $(a \cos \theta, a \sin \theta)$ आपशिष्ट वृत्त पर होगा। दो बिंदुओं $P(\alpha)$ और $Q(\phi)$ को जोड़ने वाले धोरण का समीकरण निम्नलिखित है:

![हाइपरबोला समीकरण]()

निर्देशिका प्रान्त

S1 का मान धीमा, शून्य, या नकारात्मक होता है, जब संयोगी संकेंद्र (x1, y1) समीकरण x12/a2 + y2/b2 = 1 के भीतर, समान या बाहर होता है।

बिंदु (5, -4) हाइपरबोला 9x2 - y2 = 1 के बहार है।

दिया गया पाठ:

जीवन का अर्थ क्या है?

समाधान:

जीवन का अर्थ अभिजात्य और व्यक्ति के अनुसार परिवर्तनशील होता है।

क्योंकि $9^2 - (-4)^2 - 1 = 225 - 16 - 1 = 208 > 0,

बिंदु (5, -4) हाइपरबोला 9x^2 - y^2 = 1 के भीतर पाया जाता है।

आयताकार हाइपरबोला

आयताकार हाइपरबोला का हाइपरबोला धनुष (या विघटक) समांतर होता है, और इसकी अपरिहार्यता √2 के बराबर होती है। एक आयताकार हाइपरबोला का उदाहरण है जिसका तुल्य धनुष का प्रकार उसकी ऊभली धनुष के बराबर होता है, अर्थात a = b होता है।

x^2/a^2 - y^2/b^2

x^2/a^2 - y^2/a^2 = 1

x2 - y2 = a2

आयताकार हाइपरबोला की अपरिहार्यता

इसके अलावा, (xy = c)

x = 1/y, y = 1/x

आयताकार हाइपरबोला की स्पर्शरेखा

एक आयताकार हाइपरबोला की स्पर्शरेखा एक रेखा है जो आयताकार हाइपरबोला की कर्व को छूती है। एक आयताकार हाइपरबोला की स्पर्शरेखा का समीकरण और ढाल प्रपत्र निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

स्पर्श इकाय

यदि रेखा y = mx + c और हाइपरबोला x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 के बीच टैंजेंट होगी तो c^2 = a^2/m^2 - b^2 होगा।

स्क्लोप-इंटरसेप्ट रूप एक कोणी का

y = mx $\pm$ $\sqrt{a^2m^2 - b^2}$

सिकंट

सिकंट एक द्विंद्रुव से एकांतर करेगा

c^2 > a^2 m^2 - b^2

न तो सिकंट और न ही कोणी

किसी रेखा को न तो सिकंट बनाने और न ही कोणी बनाने के लिए एक घातीय समीकरण मान्यता देता है।

⇒ c² < a²m² - b²

त्रिकोणमिति के तन्तुशार का समीकरण $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ बिंदु $(x_1, y_1)$ पर है

(xx1)/a2 = (yy1)/b2 = 1

तन्तुशार का पैरामीट्रिक रूप:

$$x = x_0 + r \cos \theta$$

$$y = y_0 + r \sin \theta$$

$\frac{x\sec{\theta}}{a} - \frac{y\tan{\theta}}{b} = 1$

संपर्क बिंदु और कोणी के उदाहरण

विरोध:

y = mx + c

(xx1/a2) - (yy1/b2) = 1 - mx + y - c

x1 = (-a2c)/m;

y1 = \frac{-b}{c}

(x1, y1) = \left[\frac{-a^2m}{c}, \frac{-b^2}{c}\right]

हाइपरबोला पर हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 5: घातीय कोण के साथ हाइपरबोला $\frac{x^2}{9}-y^2= 1$ के लिए तन्तुशार का समीकरण ढूंढें

दिया गया:

हमारी वेबसाइट में आपका स्वागत है!

समाधान:

हमारी वेबसाइट में आपका स्वागत है! :smile:

तन्तुशार का कोणी m = 5, a^2 = 9, b^2 = 1

तन्तुशार के समीकरण का स्क्लोप-इंटरसेप्ट रूप होगा:

$$y = mx + b$$

y = mx $\pm$ $\sqrt{a^2m^2 - b^2}$

y = 5x $\pm$ $\sqrt{9.52 - 1}$

y = 5x $\pm$ 4$\sqrt{14}$

एक त्रिकोणमिति का निर्देशांक वृत्त का समीकरण है x²/a² + y²/b² = 1, जहां x² + y² = a² + b² होता है।

सामान्य: मुझे समुद्र तट पर जाना पसंद है

पुनर्लेखित करें: मुझे समुद्र तट पर जाना आनंद आता है।

एलिप्स के बिन्दु $(x_1, y_1)$ पर सामान्य का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है $ \frac{x_1}{a^2} - \frac{y_1}{b^2} = 1$

a2x/x1 + b2y/y1 = (a2 + b2)

उदाहरण 6: हाइपरबोला x^2/18 - y^2/9 = 1 पर बिन्दु (6, 3) पर सामान्य ढूंढें

दिया गया:

यह एक हेडर है

समाधान:

यह एक हेडर है

बिन्दु ($x_1$, $y_1$) पर सामान्य का समीकरण है $a^2 = 18$, $b^2 = 9$

a2x/x1 + b2y/y1 = (a2 + b2)(x1y1)/(x1y1)

बिन्दु (6, 3) पर सामान्य का समीकरण है:
$$y - 3 = \frac{1}{2} (x - 6)$$

18x/6 + 9y/3 = 18 + 9

(18x + 54y)/6 = 27

x + y = 9

उदाहरण 7: हाइपरबोला $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ के बिंदु (2, 3) के लिए संपर्क की समीकरण ढूंढें

दिया गया:

यह एक कथन है

समाधान:

यह एक कथन है

संपर्क की समीकरण का समीकरण है T = 0

अर्थात $\frac{xx1}{a2} - \frac{yy1}{b2} - 1 = 0$

2x/16 - 3y/9 = 1

x/8 - y/3 = 1

एक तार का समीकरण जब मध्य बिंदु दिया गया हो

T = $\frac{x_1}{a^2} - \frac{y_1}{b^2} - 1 = \frac{x_2}{a^2} - \frac{y_2}{b^2} - 1$

उदाहरण 9: उस हाइपरबोला का समीकरण ढूंढें जिसका मध्यबिंदु $(5, 1)$ है.

दिया गया:

मुझे फुटबॉल खेलना पसंद है

समाधान:

मुझे फुटबॉल खेलना आनंद आता है

हम जानते हैं हाइपरबोला का समीकरण जिसका मध्य बिंदु $(x_1, y_1)$ है।

T = $\frac{x_1^2}{a^2} - \frac{y_1^2}{b^2} - 1 = \frac{x_2^2}{a^2} - \frac{y_2^2}{b^2} - 1$

मध्यबिंदु है (5, 1)।

=> 5x/9 - y/4 - 1 = 25/9 - ¼ - 1

=> 5x/9 - y/4 = 91/36

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अक्समान्यताएँ

एक हाइपरबोला एक प्रकार की कर्व है जिसे एक गणितीय समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहां कर्व पर दो निश्चित बिंदुओं से दूरी का अंतर स्थिर होता है।

हाइपरबोला एक ऐसी कर्व है जिसमें एक स्थिर बिन्दु से और एक स्थिर रेखा से दूरी का अनुपात, 1 से अधिक और स्थिर होता है।

हाइपरबोला के अल्पता हमेशा १ से अधिक होती है।

हाइपरबोला की अल्पता १ से अधिक होती है।

हाइपरबोला की अल्पता का सूत्र है e = √(1 + (b^2/a^2)), जहां a और b अर्ध-महावर्ती और अर्ध-लघु ध्रुवीकों की लंबाई हैं।

अल्पता निम्नलिखित सारणी द्वारा दी गई है:

$$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$$

हाइपरबोला का मानक समीकरण है: $$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$$

हाइपरबोला का मानक समीकरण है (x²/a²) - (y²/b²) = 1।

हाइपरबोला का पारित धारा वह रेखांकित का एक रेखांश है जो हाइपरबोला के दो शाखाओं के अनुपात से लगभगन लंबकर होता है और हाइपरबोला के केंद्र से पास होता है।

हाइपरबोला का पारित धारा हाइपरबोला के केंद्र और दो ध्रुवीकों के माध्यम से गुजरने वाली रेखा होती है। हाइपरबोला (x2/a2) - (y2/b2) = 1 के लिए, पारित धारा x-अक्षीय होती है, और इसकी लंबाई 2a द्वारा दी जाती है।

हाइपरबोला का एसिंप्टोट एक रेखा है जिसके द्वारा हाइपरबोला की ग्राफ अनंत नजदीक तक पहुंचती है, लेकिन कभी नहीं छूती है।

हाइपरबोला के एसिंप्टोटेस वह रेखाएं हैं जो हाइपरबोला के समांतर होती हैं और मानवी रूप से हाइपरबोला को अनंत दूरी पर काटने का कार्य करती हैं।

हाइपरबोला के ध्रुवीक ऐसे दो बिंदु होते हैं जो हाइपरबोला पर हर बिंदु से दूरी की जोड़ के योग की योग्यता रखते हैं

हाइपरबोला के ध्रुवीक वह दो बिंदु हैं जो हाइपरबोला के केंद्र से और हर बिंदु पर से दूरी के आपसी अंतर पर समानांतर होते हैं। हाइपरबोला (x²/a²) - (y²/b²) = 1 के लिए, ध्रुवीक सामंजस्य (ae, 0) और (-ae, 0) द्वारा दिए जाते हैं।

हाइपरबोला की संयुक्त धाराएं हाइपरबोला के केंद्र पर कटती दो रेखाएं होती हैं और एक-दूसरे के लिए लंबकर होती हैं।

हाइपरबोला की संयुक्त धारा हाइपरबोला के केंद्र से गुजरने वाली रेखा होती है और प्रत्याशित धारा कहीं और होती है।