गणित में फ़ंक्शन्स

फ़ंक्शन्स वे संबंध होते हैं जिनमें प्रत्येक इनपुट का एक विशेष आउटपुट होता है। इस पाठ में, हम गणित में फ़ंक्शन्स के अवधारणाओं और विभिन्न प्रकार के फ़ंक्शन्स को समझने में मदद करने के लिए कई उदाहरणों को समेटने हेतु चर्चा करेंगे।

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गणित में फ़ंक्शन क्या होते हैं?

गणित में फ़ंक्शन एक संबंध होता है जो इनपुटों के एक सेट और अनुमति प्राप्त आउटपुटों के एक सेट के बीच कार्य करता है, जहां प्रत्येक इनपुट केवल एक आउटपुट से संबंधित होता है।

एक फ़ंक्शन एक संबंध है जो एक सेट A के इनपुट, और एक सेट B के अनुमति प्राप्त आउटपुट के बीच होता है, जिसमें हर एक इनपुट के लिए सेट B में एक और केवल एक इमेज होती है।

उदाहरण:

यह एक उदाहरण वाक्य है।

उत्तर:

यह एक उदाहरण वाक्य है।

एक फ़ंक्शन को संबंध “f” के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जहां सेट “A” के प्रत्येक तत्व को केवल सेट “B” में सम्मिलित एक तत्व के साथ मैप किया जाता है, और इतने वन जोड़ों को नहीं हो सकता है जिनमें पहले तत्व होता है।

एक फ़ंक्शन के लिए एक आवश्यक शर्त:

सेट A और सेट B खाली नहीं होनी चाहिए।

फ़ंक्शन f: A → B यह सूचित करता है कि f A से B एक फ़ंक्शन है, जहां A डोमेन है और B कोडोमेन है।

एक तत्व a के लिए (a ∈ A), क्या एक ऐसा अद्वितीय तत्व b होता है (b ∈ B), जैसा कि (a, b) ∈ f हो?

तत्व f(a), जो a से b का संबंध रखता है, सामान्यतया f के a के रूप में उल्लिखित किया जाता है, f के मान या f का छवि के तहत का छवि कहलाता है।

f(a) की श्रृंखला

जहां मिलते हैं, f(x) की संग्रह में मिलकर कहलाते हैं।

f की श्रेणी = { y ∈ Y | y = f(x), किसी x ∈ X के लिए }

एक वास्तविक-मूल्य वाला फ़ंक्शन अपनी रेंज के रूप में P या उसके उपसमूहों में से कोई भी एक स्वीकृत करता है, और यदि इसकी डोमेन भी P हो या P का कोई उपसमूह हो, तो इसे एक वास्तविक फ़ंक्शन कहा जाता है।

पार्श्वीय रेखा परीक्षण: यह तय करने का एक तरीका है कि क्या किसी संबंध के चित्र का एक फ़ंक्शन है यह परीक्षण उच्चार रेखा परीक्षण कहलाता है। इसका कहना है कि यदि चित्र में एक ऊर्ध्वाधर रेखा चित्र को एक से अधिक बार काटती है तो यह चित्र एक फ़ंक्शन नहीं है। इसे ऊर्ध्वाधर रेखा परीक्षण कहा जाता है।

फ़ंक्शनों की प्रतिनिधि

f(x) एक आम प्रतिनिधि है एक फ़ंक्शन की।

f(x) = x^3

f(x) = x^3

फ़ंक्शन को इस तरह भी प्रतिष्ठित किया जा सकता है g(), t(), `आदि।

फ़ंक्शनों को हल करने के लिए चरण

उत्तर: फ़ंक्शन g(t) = 6t² + 5 की आउटपुट t पर 36t² + 5 है।

(i) t = 0

(ii) t = 2

दिया हुआ:

यह एक शीर्षक है

समाधान:

यह एक शीर्षक है

ग(t) = 6t² + 5

(i) जब t = 0 होता है, तो g(0) = 6(0)^2 + 5 = 5

(ii) जब t = 2 होता है, तो g(2) = 6(2)² + 5 = 29

फ़ंक्शन के प्रकार

गणित में फ़ंक्शन के विभिन्न प्रकार

नीचे दिए गए हैं गणित में फ़ंक्शन के विभिन्न प्रकार की एक सूची, जिनका विस्तार से विवरण दिया गया है:

7. रैखिक

8. घातांकीय

9. बहुपदीय

10. प्रासंगिक

11. घटावीय

12. लघावीय

एक से एक फ़ंक्शन (एक्सजेक्टिव फ़ंक्शन)

बहुत से एक फ़ंक्शन

ओंटो - फ़ंक्शन (सरजेक्टिव फ़ंक्शन)

इंटो() फ़ंक्शन

बहुपदीय फ़ंक्शन

रैखिक फ़ंक्शन

अभिन्न फ़ंक्शन

घातांकीय फ़ंक्शन

प्रासंगिक फ़ंक्शन

बीजगणितीय फ़ंक्शन

घनात्मक फ़ंक्शन

मॉड्यूलस फ़ंक्शन

संकेत फ़ंक्शन

सबसे बड़ी पूर्णांक फ़ंक्शन

आंशिक अंश फ़ंक्शन

सम और विषम फ़ंक्शन

आवर्ती फ़ंक्शन

अभिकलित फ़ंक्शन

निरंतर फ़ंक्शन

तांत्रिक फ़ंक्शन

स्थिर फ़ंक्शन

पहचान फ़ंक्शन

![फ़ंक्शन के प्रकार]()

अभ्यास: ऊपरी ग्राफों में छुपा हुआ समीकरण पहचानें।

फ़ंक्शन - वीडियो पाठ

फ़ंक्शन और फ़ंक्शन के प्रकार

फ़ंक्शनों की संख्या

सम और विषम फ़ंक्शनें

अभिकलित और आवर्ती फ़ंक्शनें

एक से एक फ़ंक्शन (एक्सजेक्टिव फ़ंक्शन)

यदि किसी फ़ंक्शन के डोमेन में प्रत्येक तत्व का एक अलग छायांक होता है, तो उसे एक से एक फ़ंक्शन कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन $f: R \rightarrow R$ जो $f(x) = 3x + 5$ द्वारा दिया गया है, एक से एक फ़ंक्शन है।

बहुत से एक फ़ंक्शन

यदि डोमेन में कम से कम दो तत्व हों जिनके छायांक समान होते हैं, तो फ़ंक्शन को बहुत से एक फ़ंक्शन कहा जाता है।

![बहुत से एक फ़ंक्शन]()

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ जो $f(x) = x^2 + 1$ द्वारा दिया गया है, एक बहुत से एक फ़ंक्शन है।

ओंटो - फ़ंक्शन (सरजेक्टिव फ़ंक्शन)

एक फ़ंक्शन को ओंटो फ़ंक्शन कहा जाता है यदि निर्देशांक में हर तत्व के लिए प्रतिस्पर्धी तत्वं का एक संबंधित तत्व हो।

इंटोफ़ंक्शन

यदि कोई ऐसा सदस्य अंश हो जिसको कोई तत्व का छायांक नहीं होता है, तो फ़ंक्शन इंटो (एक्सजेक्टिव) होगा।

(प) जब दिए गए मैपिंग $A = {x : 1 < x < 1} = B$ के साथ फ़ंक्शन $f(x) = |x|$ की प्रकृति क्या होती है? (प) दिए गए फ़ंक्शन $f(x) = |x|$ की प्रकृति एक आभ्सोलूट मान फ़ंक्शन है।

f(x) = |1|

x = 1 और -1 के लिए समाधान

इसलिए, यह स्पष्ट है कि $f(x)$ का रेंज $[-1, 1]$ का है, जो कि कोडोमेन के बराबर नहीं है।

इसलिए, यह फ़ंक्शन इंटोफ़ंक्शन है।

![इंटो - फ़ंक्शन उदाहरण]()

चलो कहते हैं हमारे पास एक फ़ंक्शन है,

$$f(x)=\begin{cases} x^2 & \text{अगर } x \geq 0\ -x^2 & \text{अगर } x < 0 \end{cases}$$

विभिन्न मानों के लिए हमें विभिन्न आउटपुट है, जो इसे एक से एक फ़ंक्शन बनाता है। इसके अलावा, यह अपने कोडोमेन में मैप करता है, जो इसे एक ओंटो फ़ंक्शन बनाता है।

बहुपदीय फ़ंक्शन

वास्तविक संख्या मान-युक्त फ़ंक्शन f: P → P , जिसे (\begin{array}{l}y = f(a) = h_{0}+h_{1}a+…..+h_{n}a^{n}\end{array} ) द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां n ∈ N और h0 + h1 + … + hn ∈ P है, प्रत्येक a ∈ P के लिए, एक बहुपद फ़ंक्शन कहलाता है।

N: एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक

एक पॉलिनोमियल फंकशन की ‘डिग्री’ उसके संख्यानुसार उच्चतम घाती के रूप में उपयोग की जाती है।

यदि डिग्री शून्य है, तो इसे स्थिर फंक्शन कहा जाता है।

अगर डिग्री 1 है, तो इसे रैखिक फ़ंक्शन कहा जाता है। उदाहरण: b = a + 1.

ग्राफ़ प्रकार: हमेशा सीधी रेखा

एक पॉलिनोमियल फंक्शन इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

(\begin{array}{l}f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n\end{array})

एक पॉलिनोमियल फंक्शन की ‘डिग्री’ व्यक्ति के परम घाती को कहते हैं। डिग्री के आधार पर, पॉलिनोमियल फंक्शनों को निम्नलिखित प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है: पॉलिनोमियल फंक्शनें।

1. एक स्थिर फांक्शन एक पॉलिनोमियल फ़ंक्शन है जिसकी डिग्री शून्य है।

2. डिग्री एक होने पर, पॉलिनोमियल फ़ंक्शन को रैखिक कहा जाता है।

3. डिग्री दो होने पर, पॉलिनोमियल फ़ंक्शन को द्विघाती कहा जाता है।

4. डिग्री तीन होने पर, पॉलिनोमियल फ़ंक्शन को त्रिघाती कहा जाता है।

रैखिक फ़ंक्शन

जहां a, b ∈ R और a ≠ 0 है, सभी फ़ंक्शन ax + b के रूप में कहलाते हैं रैखिक फंक्शनें। ऐसे फ़ंक्शन का ग्राफ हमेशा एक सीधी रेखा होती है। अन्य शब्दों में, एक रैखिक पॉलिनोमियल फ़ंक्शन प्रथम घाती वाला फ़ंक्शन होता है जहां इनपुट को m से गुणा करके c के साथ जोड़ना होता है। इसे f(x) = mx + c द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।

f(1) = 2(1) + 1 f(1) = 3

f(1) = 2.1 + 1 = 3

f(1) = 3

एक और उदाहरण एक रैखिक फंक्शन है y = x + 3

एकसमान फंक्शन

दो फ़ंक्शन f और g को वेरोधी कहा जाता है अगर वे एक ही इनपुट के लिए एक ही आउटपुट प्रदान करते हैं।

(a) f का डोमेन g के डोमेन के बराबर होता है

(b) f की रेंज g की रेंज के बराबर होती है।

(c) $\forall x \in D_f \cap D_g, f(x) = g(x)$

उदाहरण के लिए:

$$f(x) = x$$

(\begin{array}{l}g(x) = x\end{array} )

f(x) = x हर x के लिए परिभाषित है।

लेकिन (g(x) = \frac{1}{1/x}) 0 होने पर परिभाषित नहीं होता है।

इसलिए, यह R में x हरे रंग के लिए सत्य है, छोड़कर 0।

द्विघाती फंक्शन

सभी फ़ंक्शन जिनका रूप होता है y = ax² + bx + c, जहां a, b, c ∈ R और a ≠ 0 है, इसे द्विघाती फ़ंक्शन कहा जाएगा। इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ बाणीवालीय होगी।

(x=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2}) पर, समीकरण का अधिकतम या न्यूनतम मान नेतिजा पर निर्भर करता है और यह (-\frac{D}{4a}) के बराबर होता है, जहां (D) ज्ञातक है।