क्रमांकन और धर्मीयकरण विश्लेषण

इस पाठ में, हम क्रमांकन और धर्मीयकरण विश्लेषण करने के लिए आवश्यक चरणों का संक्षेप प्रदान करेंगे, कई उदाहरण प्रश्नों के साथ जो इस प्रक्रिया को स्पष्ट करने में मदद करेंगे।

धर्मीयकरण पर सभी सामग्री

धर्मीयकों का परिचय

न्यूनताएं और सहसंघर्षीय

धर्मीयकों की गुणधर्में

धर्मीयकों का उपयोग करके रैखिक समीकरण प्रणाली

धर्मीयकों का क्रमांकन और धर्मीयकरण

मानक धर्मीयकों

धर्मीयकों का क्रमांकन

यदि $\Delta(x) = \left| \begin{matrix} f_1(x) & g_1(x) \ f_2(x) & g_2(x) \end{matrix} \right|$ हो

अगर f1(x) = f2(x) और g1(x) = g2(x), तो x दोनों समीकरणों का समाधान है।

(\Delta’\left( x \right)=\left| \begin{matrix} {{f}_{1}}’\left( x \right) & {{g}_{1}}’\left( x \right) \ {{f}_{2}}’\left( x \right) & {{g}_{2}}’\left( x \right) \ \end{matrix} \right|+\left| \begin{matrix} {{f}_{1}}\left( x \right) & {{g}_{1}}’\left( x \right) \ {{f}_{2}}\left( x \right) & {{g}_{2}}’\left( x \right) \ \end{matrix} \right|)

धर्मीयक को क्रमांकित करने का प्रक्रिया क्या है?

इस प्रकार, धर्मीयक को क्रमांकित करने के लिए, हम एक पंक्ति (या स्तंभ) को एक बार में क्रमांकित करते हैं, जबकि बाकी को अस्पष्ट करते हैं। यदि हम लिखें (\begin{array}{l}\Delta \left( x \right)=\left[ {{C}_{1}},,,{{C}_{2}} \right],\end{array} ) जहां $C_i$ $i^{th}$ स्तंभ को दर्शाता है, तो (\begin{array}{l}\Delta’\left( x \right)=\left[ {{C}_{1}}’,,,{{C}_{2}} \right]+\left[ {{C}_{1}},,,{{C}_{2}}’ \right],\end{array} ) जहां $C_i’$ $i^{th}$ स्तंभ को प्राप्त करने के द्वारा क्रमांकित क्रमांकित करते हैं। इसी तरह, अगर (\begin{array}{l}\Delta \left( x \right)=\left[ \begin{matrix} {{R}_{1}} \ {{R}_{2}} \ \end{matrix} \right],; then ;\Delta’ \left( x \right)=\left[ \begin{matrix} {{R}_{1}}’ \ {{R}_{2}} \ \end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} {{R}_{1}} \ {{R}_{2}}’ \ \end{matrix} \right]\end{array} )

उसी प्रकार, हम उच्च आदेश के धर्मीयकों को अलग कर सकते हैं।

नोट: धर्मीयकों को क्रमांकन भी पंक्ति के रूप में किया जा सकता है एक स्तंभ को एक बार में लेकर।

धर्मीयकों का धर्मीयकरण

यदि $f(x)$, $g(x)$ और $h(x)$ $x$ के फ़ंक्शंस हैं और $a$, $b$, $c$, $\alpha$, $\beta$ और $\gamma$ ऐसे स्थानांतरित हैं कि

$$\Delta \left( x \right)=\left| \begin{matrix} f\left( x \right) & g\left( x \right) & h\left( x \right) \ a & b & c \ \alpha & \beta & \gamma \ \end{matrix} \right|$$

धर्मीयकों का धर्मीयक समाधान द्वारा दिया जाता है; (\begin{array}{l}\int{\Delta \left( x \right)dx=\left| \begin{matrix} \int{f\left( x \right)dx} & \int{g\left( x \right)dx} & \int{h\left( x \right)dx} \ a & b & c \ \alpha & \beta & \gamma \ \end{matrix} \right|}\end{array} )

धर्मीयकों का क्रमांकन और धर्मीयकों का धर्मीन: उदाहरण समस्याएं

उदाहरण 1: मान्यांकन कीजिए $\int_0^{\pi/2}\left| \begin{matrix} {\sin^2}x & \log \cos x & \log \tan x \ {{n}^{2}} & 2n-1 & 2n+1 \ 1 & -2\log 2 & 0 \ \end{matrix} \right|dx$.

दिया हुआ:

यह एक शीर्षक है

समाधान:

यह एक शीर्षक है

हम लागू करके क्रमबद्धता वाले तत्वों को देते हुए, हम दिए गए समस्या का समाधान कर सकते हैं।

हमें $$\Delta \left( x \right)=\left| \begin{matrix} {{\sin }^{2}}x & \log \cos x & \log \tan x \ {{n}^{2}} & 2n-1 & 2n+1 \ 1 & -2\log 2 & 0 \ \end{matrix} \right|;\\int\limits_{0}^{\pi /2}{\Delta \left( x \right)dx=\left| \begin{matrix} \int\limits_{0}^{\pi /2}{{{\sin }^{2}}x,dx} & \int\limits_{0}^{\pi /2}{\log ,\cos x,dx} & \int\limits_{0}^{\pi /2}{\log \tan x,dx} \ {{n}^{2}} & 2n-1 & 2n+1 \ 1 & -2\log 2 & 0 \ \end{matrix} \right|}$$

(\left| \begin{matrix} \frac{\pi }{4} & -\frac{\pi }{2}\log 2 & 0 \ {{n}^{2}} & 2n-1 & 2n+1 \ 1 & -2\log 2 & 0 \ \end{matrix} \right|)

-(π/2) 2n log 2 + (π/2) log 2

= 0

उदाहरण 2: अगर $$\begin{array}{l}f\left( x \right)=\left| \begin{matrix} {{x}^{n}} & \sin x & \cos x \ n! & \sin \frac{n\pi }{2} & \cos \frac{n\pi }{2} \ a & {{a}^{2}} & {{a}^{3}} \ \end{matrix} \right|,; तो ;प्रदर्शित ;करे ;कि ;\frac{{{d}^{n}}}{d{{x}^{n}}}\left{ f\left( x \right) \right}=0 ;x= 0.\end{array}$$ तो

$$\frac{{{d}^{n}}}{d{{x}^{n}}}\left{ f\left( 0 \right) \right}=0$$

दिया गया:

यह एक शीर्षक है

समाधान:

यह एक शीर्षक है

प्रत्येक निर्धारित का अवकलन लेकर हम दिए गए समस्या का समाधान कर सकते हैं।

हमें, \(\begin{array}{l}f\left( x \right)=\left| \begin{matrix} {{x}^{n}} & \sin x & \cos x \ n! & \sin \frac{n\pi }{2} & \cos \frac{n\pi }{2} \ a & {{a}^{2}} & {{a}^{3}} \ \end{matrix} \right|; \\frac{{{d}^{n}}}{d{{x}^{n}}}\left{ f\left( x \right) \right}=\left| \begin{matrix} \frac{{{d}^{n}}}{d{{x}^{n}}}\left( {{x}^{n}} \right) & \frac{{{d}^{n}}}{d{{x}^{n}}}\left( \sin x \right) & \frac{{{d}^{n}}}{d{{x}^{n}}}\left( \cos x \right) \ n! & \sin \frac{n\pi }{2} & \cos \frac{n\pi }{2} \ a & {{a}^{2}} & {{a}^{3}} \ \end{matrix} \right|\end{array} )

(\begin{array}{l}=\left| \begin{matrix} n! & \sin \left( x+\frac{n\pi }{2} \right) & \cos \left( x+\frac{n\pi }{2} \right) \ n! & \sin \frac{n\pi }{2} & \cos \frac{n\pi }{2} \ a & {{a}^{2}} & {{a}^{3}} \ \end{matrix} \right|\ {{\left( \frac{{{d}^{n}}}{d{{x}^{n}}}\left{ f\left( x \right) \right} \right)}_{x=0}}=\left| \begin{matrix} n! & \sin \frac{n\pi }{2} & \cos \frac{n\pi }{2} \ n! & \sin \frac{n\pi }{2} & \cos \frac{n\pi }{2} \ a & {{a}^{2}} & {{a}^{3}} \ \end{matrix} \right| \ = 0\end{array})

समस्या समाधान तकनीकें

(\Delta \left( x \right)=\left| \begin{matrix} {{f}_{1}}\left( x \right) & {{f}_{2}}\left( x \right) & {{f}_{3}}\left( x \right) \ {{b}_{1}} & {{b}_{2}} & {{b}_{3}} \ {{c}_{1}} & {{c}_{2}} & {{c}_{3}} \ \end{matrix} \right|) लें, तब (\Delta’ \left( x \right)=\left| \begin{matrix} {{f}_{1}}’\left( x \right) & {{f}_{2}}’\left( x \right) & {{f}_{3}}’\left( x \right) \ {{b}_{1}} & {{b}_{2}} & {{b}_{3}} \ {{c}_{1}} & {{c}_{2}} & {{c}_{3}} \ \end{matrix} \right|)।

सामान्यतः,

कंटेंट का हिंदी संस्करण है: $$\left|\begin{matrix}{\Delta}^n(x) &=& \left|\begin{matrix}f_1^n(x) & f_2^n(x) & f_3^n(x)\ b_1 & b_2 & b_3\ c_1 & c_2 & c_3\end{matrix}\right|\end{matrix}\right|$$ यहाँ n किसी भी सकारात्मक पूर्णांक है और $f_n(x)$ f(x) का n वां अवकलन है।

लेट (\Delta \left( x \right)=\left| \begin{matrix} f\left( x \right) & g\left( x \right) & h\left( x \right) \ a & b & c \ l & m & n \ \end{matrix} \right| )

a, b, c, l, m, और n यहाँ संदिग्धियां हैं।

‘\(\int\limits_{a}^{b}{\Delta \left( x \right)dx=\left| \begin{matrix} \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx} & \int\limits_{a}^{b}{g\left( x \right)dx} & \int\limits_{a}^{b}{h\left( x \right)dx} \ a & b & c \ l & m & n \ \end{matrix} \right|\)’

यदि एक से अधिक स्तंभ या पंक्ति के तत्व x के कार्यावधिक हैं, तो इंटीग्रेशन केवल गणना / विस्तार करने के बाद ही किया जा सकता है।

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संचिकरण - महत्वपूर्ण प्रश्न

JEE के लिए अवश्यक प्रमेय

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अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

संचिकाकरणिका विभाजन की प्रक्रिया क्या है?

संचिक्तिछाना करने के लिए हमें:

1. एक स्तंभ या पंक्ति को सामान्य रखकर, एक बार में अन्यों को बदलना

2. प्राप्त किए गए संचिक्तिछा

संचिकाकरणिका अंतर्वाल

यदि एक से अधिक स्तंभ या पंक्ति के तत्व x के कार्यावधिक हैं, तो हमें पहली पंक्ति के प्रत्येक तत्व की अंतर्ग्रामिकी / विस्तार करने के बाद ही अंतर्वाली होनी चाहिए।

एक अवधारणा संकलन/गणना में एक अंश हैं।

हम एक विभिन्नता का एक भाग का पता लगाने के लिए इंटीग्रेशन का उपयोग करते हैं जो एक तत्व का अंतर्ग्रामिकी है।