विभिन्नीकरण रेट ऑफ़ परिवर्तन खोजने का एक तरीका है और जेईई परीक्षा के लिए एक महत्वपूर्ण विषय है। एक चर $y = f(x)$ का विभोजक $x$ के संबंध में $y$ के परिवर्तन की दर है। इस लेख में आपको चर के विभोजक, मानक विभोजक, विभोजक सिद्धांत, अविवहित फ़ंक्शनों का विभोजक, और उनके उच्चतर विभोजक के बारे में सीखने की मदद की जाती है, जिनके साथ हल किए गए उदाहरण भी हैं।

संबंधित विषय:

सीमा, सततता और विभोज्यता

विभोजकों के उपयोग

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यदि सम्मिश्र प्रतिक्रिया दी गई हो, तो निम्नलिखित कोड का उपयोग करें:

dy/dx = 2x \cos(x^2 + 1)

यदि सम्मिश्र प्रतिक्रिया में कोई त्रुटि हो, तो कृपया इसे संशोधित करने के लिए अधिक जानकारी प्रदान करें।

मिसाल 1: $x^2 + 2xy + y^3 = 4$ तो $\frac{dy}{dx}$ ढूंढें।

समाधान: दोनों पक्षों को x के संबंध में अलग करने से हमें मिलता है
$$\frac{d}{dx}({{x}^{2}})+2\frac{d}{dx}(xy)+\frac{d}{dx}({{y}^{3}})=\frac{d}{dx}(4)$$

(\begin{array}{l}2x\frac{dy}{dx} + 2x\frac{dy}{dx} + 2y + 3y^2\frac{dy}{dx} = 0\end{array})

(\frac{d}{dx}\left(y\right)=-\frac{2\left(x+y\right)}{2x+3y^2})

उत्तर:

$$\frac{d}{d\sqrt{\cos x}}\log\sin x = \frac{\cos x}{\sin x\sqrt{\cos x}}$$

समाधान: चलिए u = log sin x और v = (\sqrt{\cos x}) लेते हैं

(\begin{array}{l} \frac{du}{dx} = \cot x \ \frac{dv}{dx} = \frac{-\sin x}{2\sqrt{\cos x}} \end{array})

(\frac{du}{dx}=-2\sqrt{\cos x}\cot x\csc x)

उच्चतर क्रम तक के पृथक्करण

फ़ंक्शन के n^th अवकलज को विभिन्नीकरण की प्रक्रिया जारी रखी जा सकती है।आमतौर पर, हम फ़ंक्शन के प्रथमक्रमी तथा द्वितीयक्रमी अवकलजों के साथ निपटते हैं।

\frac{dy}{dx} dx संबंधित के साथ y के प्रथमक्रमी अवकलज हैं।

y के समान निपटानी वाली y के द्वितीयक्रमी अवकलज d2y/dx2 हैं।

इसी प्रकार, किसी भी फ़ंक्शन g(x) की तिसरे, चौथे, पाँचवे और उच्चतर क्रमी अवकलज का पता लगाना उसके पदवीनामकी अवकलज कहलाता है।

gn(x) या d^n/dx^n

प्रमाण: हमें देखना है कि (u=\tan^{-1} x)

तब (y=e^u)

(\frac{d}{dx} u = \frac{1}{1+x^2})

(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} e^u = e^u \frac{d}{dx} u = e^u \frac{1}{1+x^2})

(\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left(e^u \frac{1}{1+x^2}\right) = e^u \frac{d}{dx} \frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{1+x^2} \frac{d}{dx} e^u)

(\frac{d^2 y}{dx^2} = e^u \frac{-2x}{(1+x^2)^2} + \frac{1}{1+x^2} e^u \frac{1}{1+x^2})

(\frac{d^2 y}{dx^2} = e^u \frac{1-2x}{(1+x^2)^2})

(\frac{d^2 y}{dx^2} = (1-2x) \frac{dy}{dx})

दिया:

यह एक सर्शक है

समाधान:

यह एक सर्शक है

(\begin{array}{l}{e}^{{{\tan }^{-1}}x} = y\end{array})

$$\frac{dy}{dx} = e^{\tan^{-1}x}\frac{1}{1+x^2}$$

(\frac{e^{\tan^{-1}x}}{1+x^{2}}) (i)

(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(1+x^2)e^{\tan^{-1}x}\frac{1}{1+x^2} - 2xe^{\tan^{-1}x}}{(1+x^2)^2})

$$\frac{(1-2x)e^{\tan^{-1}x}}{(1+x^{2})^{2}}$$

(\frac{d^2y}{dx^2} \left(1 + x^2\right) = \frac{(1-2x)e^{\tan^{-1}x}}{\left(1+x^{2}\right)})

\frac{d}{dx}\left( (1-2x)y \right) (eqn (i) से )

इसलिए, यह प्रमाणित है।

वीडियो पाठ

भिन्नीकरण की विधियाँ - JEE हल के सवाल

JEE के लिए महत्वपूर्ण भिन्नीकरण के सिद्धांत

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

गणित में भिन्नीकरण एक प्रक्रिया है जिसमें एक फ़ंक्शन की बदलती दर का पता लगाया जाता है एक इसके चर्मीकाश में से एक के साथ संबंधित करते हुए।

भिन्नीकरण एक फ़ंक्शन का अवकलज ढूंढने की प्रक्रिया होती है।

भिन्नीकरण के उपमहादेश में कहा गया है कि अगर $f(x)$ और $g(x)$ भिन्नीय फ़ंक्शनें हैं, तो $(f(x)g(x))’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)$ होता है।

उपमहादेश: $(\frac{d}{dx})(uv) = u(\frac{dv}{dx}) + v(\frac{du}{dx})$

विभाजन नियम के अनुसार विभेदोत्तर निर्णय का अर्थ है कि: $$\frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{f’(x)g(x) - g’(x)f(x)}{[g(x)]^2}$$

(d/dx)(u/v) = (v (du/dx) - u (dv/dx))/v^2

x के साथ cot(x) का विभेदी क्या है?

cot x के संबंध में x का विभेदी = -cosec²x.