एक अंतरक्रिया समीकरण एक समांतर बालवी समीकरण होता है जो प्रभावी चर की अपेक्षा से अन्य स्वतंत्र समीकरणों के साथ अवकलन से संबंधित होता है। यह एक शक्तिशाली उपकरण है जो विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग होता है जैसे गणित, चिकित्सा, रसायन विज्ञान, भौतिकी, और इंजीनियरिंग में गणितीय मॉडल बनाने के लिए। इस खंड में, हम विस्तार से अंतरक्रिया समीकरणों की खोज करेंगे, साथ ही हल किए गए उदाहरणों के साथ।

अंतरक्रिया समीकरण वे समीकरण हैं जो किसी स्रोत के एक या एक से अधिक स्वतंत्र चर के विपरीत संबंधित चर की अपेक्षा से अप्रत्याशित उनके विकास को वर्णित करने के लिए प्रयोग होते हैं। वे विभिन्न भौतिकीय प्रणालियों के व्यवहार का वर्णन करने के लिए उपयोग होते हैं, जैसे विद्युत सर्किट, यांत्रिक प्रणाली, और जीवविज्ञानिक प्रणाली।

एक अंतरक्रिया समीकरण एक फ़ंक्शन और उसके एक या एक से अधिक अवकलनों के अपेक्षा एक या एक से अधिक निर्भर चर के अपेक्षा विकल्पन कि समीकरण होता है। यदि एक फ़ंक्शन का केवल एक स्वतंत्र चर होता है, तो यह एक साधारण अंतरक्रिया समीकरण होता है।

अंतरक्रिया समीकरणों के उदाहरण:

• विभाजनीय अंतरक्रिया समीकरण
• सटीक अंतरक्रिया समीकरण
• रैखिक अंतरक्रिया समीकरण
• बर्नूली अंतरक्रिया समीकरण
• सदमेंय अंतरक्रिया समीकरण
• अनियमित अंतरक्रिया समीकरण

1. (\frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} - 4x = 0)

2. $\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right) - 6\frac{dy}{dx} + 8y = 0$

3. $$\left[ 2+\left( \frac{dy}{dx} \right) \right]={{\left( \frac{{{d}^{2}}y}{d{{x}^{2}}} \right)}^{\frac{2}{3}}}$$

नोट: एक आंशिक अंतरक्रिया समीकरण एक कई चरों के एक या एक से अधिक स्वतंत्र चर के फ़ंक्शन और उसके आंशिक विपरीत विकल्पनों के साथ जुड़े हुए एक समीकरण होता है।

अंतरक्रिया समीकरणों की श्रेणी एवं आदेश

आदेश: सर्वाधिक द्रुतिसंबंधीय संकलन

श्रेणी: पॉलिनोमियल रूप में व्यक्त किए गए या व्यक्त किए जाने वाले अंतरक्रियाओं की सर्वाधिक शक्ति अंतरक्रिया समीकरण के व्यवहार का जो आंशिक व्यक्त किया जाता है, श्रेणी के रूप में जाना जाता है।

(\begin{array}{l}f\left( xy \right)\frac{{d}^{m}}{d{{x}^{m}}}y+g\left( xm \right)\frac{{d}^{m-1}}{d{{x}^{m-1}}}y+…=0\end{array} )

स्मरणक: अंतरक्रिया समीकरण की श्रेणी केवल जब यह पॉलिनोमियल रूप में होता है तब परिभाषित होती है।

अंतरक्रियाओं की श्रेणी को परिभाषित करने के लिए विभिन्न तरीके:

* (y’ + 6y^2 + y = 0 \ \text{at} \ (1, 1))

* (y’ + y - \sqrt{1} = 0 \ \text{at} \ (1,2))

* (y + \left(2y\right)^6 + \sin(y) = 0 \ \text{at} \ (2, 1))

* $y’+\sin(y)+y=0$ at $(2, ND)$

अंतरक्रिया समीकरणों का गठन

प्रमाण किजिए $y$ और $x$ संबंधी और अप्रतिष्ट चर हों, जहां $k$ एक मनयित ध्रुवीय है। अब, यहां ₹ंक्रियाओं का गठन बनाने के लिए एक कदम है:

स्वतंत्र मनयित चरों की संख्या को गिनें (चाहे $n$ शूद्रित होगा की संख्या)

मनयित चरों के समानांतर ध्रुवियों की क्रमशः कम संख्या होगी। (n)

दिए गए समीकरण को ’n’ बार अप्रत्यक्ष करने के लिए बिना ध्रुवियों को नष्ट किए हुए सुचारू समीकरण होगी।

ऊपरोक्त नष्ट करने वाली समीकरण एक आवश्यक अंतरक्रिया समीकरण होगी।

परिवार के ध्यान में: (\begin{array}{l}f\left( x,y,\alpha ,{{\alpha }{2}}….{{\alpha }{n}} \right) = 0 \end{array})

यदि हम न बार तक भेदन करें, तो हम मामले (1) के

सामग्री की ही संस्करण क्या है: (xvii) $\mathrm{d}\left(\frac{e^{y}}{x}\right) = \frac{x e^{y} \mathrm{dy} - e^{y} \mathrm{dx}}{x^{2}}$

(xviii) $\mathrm{d}\left(x^{m}y^{n}\right) = x^{m-1}y^{n-1}(m \mathrm{y} \mathrm{dx} + nx \mathrm{dy})$

(xix) $\mathrm{d}\left(\sqrt{x^{2} + y^{2}}\right) = \frac{x \mathrm{dy} - y \mathrm{dx}}{x^{2} - y^{2}}$

(xx

परिवर्तनशील विधि

यदि किसी समीकरण को इंटीग्रेशन के लिए पृथक मानों के साथ लिखा जा सकता है, तो इसे हल किया जा सकता है।

(\int{f\left( x \right) , dx + \int{g\left( y \right) , dy = c})

होमोजिनियस डिफरेंशियल समीकरण

वह समीकरण जिसकी रूप में (\frac{dy}{dx}=\frac{f\left( x,y \right)}{\phi \left( x,y \right)}) है, जहां (f) और (\phi) होमोजिनियस हैं, को होमोजिनियस डिफरेंशियल समीकरण कहा जाता है।

होमोजिनियस फ़ंक्शन: यदि f(ax, ay) = a^nf(x, y) है, जहां a एक स्थिरांक है और n एक स्थिरांक है, तो फ़ंक्शन f(x, y) को होमोजिनियस फ़ंक्शन कहा जाता है।

(\begin{array}{l}f\left( \lambda x, \lambda y \right) = \lambda^n \cdot f\left( x,y \right)\end{array})

इस प्रकार, एक होमोजिनियस फ़ंक्शन को इस प्रकार लिखा जा सकता है

(\begin{array}{l}f\left( x,y \right)={{x}^{n}}f\left( \frac{y}{x} \right)\end{array} )

या

(\begin{array}{l}f\left( x,y \right)={{y}^{n}}f\left( \frac{y}{x} \right)\end{array} )

होमोजिनियस डिफ़ेरेंशियल समीकरण

पहले क्रम के पहले डिग्री डिफरेंशियल समीकरणों को इस रूप में व्यक्त किया जाता है: $$\frac{dy}{dx} = f(x,y)$$

(\frac{dy}{dx}=\frac{f\left( x,y \right)}{g\left( x,y \right)})

समाधान: $x^2 \frac{dy}{dx} + y(x + y)\frac{dx}{dy} = 0$ समीकरण का समाधान $y = 1$ जब $x = 1$ होता है $y = x^2 + 1$ है।

दिया गया है:

यह एक शीर्षक है

समाधान:

यह एक शीर्षक है

\(\begin{array}{l}{{x}^{2}}\ dy + y\left(x + y\right)\ dx = 0\end{array}\)

(\begin{array}{l}{-y\left( x+y \right)}dx = {x}^{2}dy\end{array})

(\frac{d}{dx}\left( y \right) = \frac{-y\left( x+y \right)}{{{x}^{2}}})

क्योंकि दोनों xy + y^2 और x^2 होमोजिनियस हैं।

लगाना, $$y = vx$$

$$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$$

(\begin{array}{l}v\frac{dv}{dx} + x\frac{dv}{dx} = -\left( \frac{v{{x}^{2}}+{{v}^{2}}{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}} \right)\end{array})

(\begin{array}{l}x\frac{dv}{dx} + v = -{{v}^{2}} - v\end{array})

(\int{\frac{1}{{{v}^{2}}+2v}dv = -\int{\frac{1}{v}}dv)

(\begin{array}{l}\log \left| \frac{v+1-1}{v+1+1} \right|=-2\log x+2\log c\end{array} )

(\begin{array}{l}\log \left| \frac{v}{v+2} \right| + 2\log x = 2\log c\end{array})

(\log \left| \frac{v{{x}^{2}}}{v+2} \right| = 2\log k)

(\left| k \right| = \left| \frac{v{{x}^{2}}}{v+2} \right|)

(\left| k \right| = \left| \frac{{{x}^{2}}y}{y+2x} \right|)

y = 1 और x = 1

k = 1/3

3x + 2 = y

(\begin{array}{l}\frac{2x}{3{{x}^{2}}-1}=y \ \text{जो आवश्यक समाधान है}.\end{array} )

समाधान: (\int {{x}^{2}},\mathrm{d}x-\int \left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}} \right),\mathrm{d}y=0) को हल करें

दिया गया है:

यह एक शीर्षक है

समाधान:

यह एक शीर्षक है

कंटेंट का हिंदी संस्करण क्या है: (\frac{d}{dx}\left( \frac{x^2y}{x^3+y^3} \right)=\frac{x^2y\left( 3x^2+3y^2 \right)-\left( x^3+y^3 \right)\left( 2xy \right)}{\left( x^3+y^3 \right)^2})

(y = vx) और (\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}) लेते हैं।

(\begin{array}{l}v\frac{dx}{dx} + x\frac{dv}{dx} = \frac{v{{x}^{3}}}{{{x}^{3}}+{{v}^{3}}{{x}^{3}}}\end{array})

(\frac{v{x}^{3}}{{x}^{3}\left( 1+{v}^{3} \right)})

(\frac{v}{1 + v^3})

(\begin{array}{l}x\frac{dv}{dx}=\frac{v}{1+{{v}^{3}}} - v\end{array})

\(\frac{d}{dx}\left( x\left( 1+{{v}^{3}} \right) \right) = -{{v}^{4}}\)

(\left( \frac{d}{dv}\left( \frac{1+{{v}^{3}}}{{{v}^{4}}} \right) \right)dv=\frac{-dx}{x})

(\begin{array}{l} \frac{1}{3{{v}^{3}}}+\log \left| v \right|+\log \left| x \right|=c \end{array})

(\begin{array}{l} \frac{1}{3},{{x}^{3}},{{y}^{-3}}+\log \left| \frac{y}{x}\cdot x \right|=c \end{array})

$$\frac{-{{x}^{3}}}{3{{y}^{3}}}+\log \left| y \right|=c$$ वांछित उत्तर है।

हम द्वारा y = tx और उस के अनुसार आगे बढ़ते हैं।

रैखिक अवकलनीय समीकरण

(dy/dx) + py = θ

रैखिक अवकलनीय समीकरण: यदि अवकलनीय समीकरण में निर्भर चर (y) और इसके अवकलनों केवल पहले निर्भरता के रूप में प्रतिष्ठित होते हैं, तो वह रैखिक होता है।

(\frac{dy}{dx} + P \cdot y = Q)

यहां, P और Q संख्याएं हैं।

(\begin{array}{l}\text{इस प्रकार के समीकरण को } {{e}^{\int{Pdx}}} \end{array}) घात लेकर हम इसे हल कर सकते हैं।

इसलिए

(\begin{array}{l}{{e}^{\int{P, dx}}}\left( \frac{d y}{d x} + P y \right) = Q,{{e}^{\int{P, dx}}}\end{array})

(\frac{d}{dx}\left{ y,{{e}^{\int{Pdx}}} \right}=Q,{{e}^{\int{Pdx}}})

दोनों पक्षों को अवकलन करें,

(\begin{array}{l}\int{,Q,,{{e}^{\int{Pdx}}}dx}+c=y,{{e}^{\int{Pdx}}}\end{array} ) I said

I said, “Here.”

अवकलन फैक्टर कहलाता है $\left(e^{\int{Pdx}}\right)$।

(\begin{array}{l}y[I.F] = \int{Q,(I.F),dx} + c\end{array})

अवकलनीय समीकरण के अनुप्रयोग

दर प्रमाणन करने के लिए

वक्र को ढ़लवाने के लिए

उदाहरण:

उदाहरण 1: यदि बैक्टीरिया की जनसंख्या 15 वर्षों में तिगुनी हो जाती है, तब यदि वृध्दि की दर बैक्टीरिया की संख्या के प्रतिष्ठित होती है, तो यह कितने वर्षों में दोहरी होगी?

समाधान: बैक्टीरिया की संख्या को x लेते हैं

(\therefore \frac{dx}{dt} \sim x)

(\therefore \frac{dx}{dt} = kx)

(\int{\frac{dx}{x}} = k,t + C)

(\begin{array}{l} x=e^{kt+C} \end{array})

‘(\begin{array}{l}x={{x}_{0}}{{e}^{kt}}\Rightarrow ,,x={{e}^{kt+C}}\end{array} )’

जहां $$eC = x_0$$ $$t = 0$$ पर विकास की गणना होती है, $$t = 10$$ वर्ष पर, $$x = 2x_0$$।

(\begin{array}{l}2{{x}_{0}}={{x}_{0}},,{{e}^{k\times 10}}\end{array})

(\begin{array}{l}k=\frac{\log_{10} 2}{10}\end{array})

अब, x = 3x⁰ के लिए

t = ?

(\begin{array}{l}3{{x}_{0}}={{x}_{0}} \\ \Rightarrow t=10\frac{\log 3}{\log 2} \\ \text{जहां },{{e}^{\left( \frac{\log 2}{10} \right)t}} \end{array})

t = 15.9 वर्ष

इसको रिक्तियों के द्वारा विभाजित करने से मिलता है: (\frac{1}{{{x}^{2}}+1})

दिया हुआ है:

यह एक हेडिंग है

समाधान:

यहां हीलियों द्वारा दिए गए सामग्री का हि संस्करण है

इसका एक हीडिंग है

(\frac{dy}{dx}=\frac{x}{{{x}^{2}}+1})

(\int{dy} = \int{\frac{xdx}{{{x}^{2}}+1}})

(\int{dy}=\frac{1}{2}\int{\frac{2x,,dx}{{{x}^{2}}+1}})

दिए गए

जो ही संस्करण है सामग्री का: (\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left( t + x\frac{dt}{dx} \right) = \frac{dt}{dx} + x\frac{d^2t}{dx^2} = f’(t) + xf’’(t))

(\begin{array}{l}\Rightarrow ,,,\frac{dt}{dx}=\frac{f\left( t \right)-t}{x}\end{array} )

‘(\frac{3 + 3t - t^2}{1 - t})’

(\frac{3+{{t}^{2}}}{1-t})

(\frac{dx}{dt}=\frac{1-t}{3+{{t}^{2}}})

(\int{\frac{dx}{x}} = \int{\frac{1-t}{3+t^2}dt})

$$\ln x + C_1 = \int \frac{dt}{3 + t^2} - \frac{1}{2} \int \frac{2t}{3 + t^2} , dt$$

(\frac{1}{\sqrt{3}}{{\tan }^{-1}}\left( \frac{t}{\sqrt{3}} \right) - \frac{1}{2}\ln \left( 3 + {{t}^{2}} \right) + {{C}_{2}})

$\begin{array}{l} \ln x + C_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{y}{\sqrt{3}x} \right) - \frac{1}{2} \ln \left( 3 + \frac{y^2}{x^2} \right) + C_2 \end{array}$

डिफरेंशियल समीकरण अभ्यास समस्याएं

उदाहरण 1: सुलझाएँ (\frac{dy}{dx} + y = 1)

दिया गया:

यह एक शीर्षक है

समाधान:

यह एक शीर्षक है

$$\frac{dy}{dx} = 1 - y$$

(\left( \frac{dx}{dy} = \frac{1}{1-y} \right))

(\begin{array}{l}\int{dx}=\int{\frac{dy}{1-y}}\end{array} )

x = log |1 - y| + c यह आवश्यक समाधान है।

उदाहरण 2: सुलझाएँ (\frac{dy}{dx} = \sec y)

दिया गया:

फ्रांस की राजधानी क्या है?

समाधान:

फ्रांस की राजधानी पेरिस है।

(\frac{dy}{dx}=\sec y=\frac{1}{\cos y})

(\int{dx} = \int{\cos ,y,dy})

आवश्यक समाधान x = sin y + c है।

उदाहरण 3: सुलझाएँ (\dfrac{dy}{dx} = 2xy ) जब (x + 1 = 0) हो

दिया गया:

एक भाषा सीखने का सबसे अच्छा तरीका क्या है?

समाधान:

किसी भाषा को सीखने का सबसे अच्छा तरीका उसमें खुद को डुबोना है। जितना संभव हो संवाद करें, मूल भाषा बोलने वालों को सुनें, और ऐप्स, पुस्तकें, और ऑनलाइन कोर्सेज जैसे भाषा सीखने के उपकरण का उपयोग करें।

(\left( x+1 \right)dy = 2xy,,dx)

(\begin{array}{l}\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{x+1}\end{array})

\( \begin{array}{l} \frac{dy}{y} = \frac{2x \, dx}{x+1} \end{array} \)

(\int{\frac{dy}{y}}=\int{\frac{2x,,dx}{\left( x+1 \right)}})

$\log ,y=2\left{ x-\log \left| x+1 \right| \right}+c$ का समाधान दिया जाता है।

उदाहरण 4: सुलझाएँ (\int{{e}^{x}}\sqrt{1-{{y}^{2}},}dx+\frac{y}{x}dy=0 )

दिया गया:

सीएमएस का उपयोग करने के लाभ क्या है?

समाधान:

सीएमएस का उपयोग करने के लाभ शामिल हैं:

• आसान वेबसाइट रखरखाव
• प्रयोक्ता अनुभव में सुधार
• बढ़ी हुई सुरक्षा
• बढ़ी हुई स्कैलेबिलिटी
• बढ़ी हुई सहकर्मीता

\(\int x{{e}^{x}}dx = \int \frac{-y}{\sqrt{1-{{y}^{2}}} } dy\)

एकीकरण के उत्पादन का नियम लागू करें

(\begin{array}{l}\int{{e}^{x}}dx - x{{e}^{x}} = \frac{1}{2}\int{\frac{dt}{\sqrt{t}}} - (1-{{y}^{2}})\end{array} )

$xe^x - e^x = \sqrt{t} + c$

$xe^x - e^x = \sqrt{1 + y^2} + c$ यह आवश्यक समाधान है।

उदाहरण 5: सुलझाएँ (\frac{dy}{dx} = {{e}^{x+y}})

दिया गया:

यह एक शीर्षक है

समाधान:

यह एक शीर्षक है

\(\frac{dy}{dx} = e^x e^y\)

$ dy = e^x \cdot e^y \cdot dx $

(\frac{d y}{e^y} = e^x , dx)

(\int{{e}^{-y}},dy = -{e}^{-y} + C)

(\int{{e}^{x}},dx = {e}^{x} + C)

कॉंटेंट का निर्वाचन क्या है: (\frac{{{e}^{x}}+C}{-1}={{e}^{-y}})

(\begin{array}{l}{e}^{x}={e}^{-y}+C\end{array})

उदाहरण 6: समाधान करें (\frac{d}{dx}\left( {{\left( x+y \right)}^{2}} \right) ={{a}^{2}})

दिया गया है:

यह एक शीर्षक है

समाधान:

यह एक शीर्षक है

x + y = v

तो $$\frac{dy}{dx} + 1 = \frac{dv}{dx}$$

(\begin{array}{l}\frac{dv}{dx}-1=\frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dv}{dx}=\frac{dy}{dx}+1\end{array} )

$D.E. \quad {{V}^{2}}\left( \frac{dv}{dx}-1 \right)={{a}^{2} \quad }$

(\begin{array}{l}{{v}^{2}}\frac{d^2v}{dx^2}-{{v}^{2}}={{a}^{2}}\end{array})

(\begin{array}{l}{v}^{2}\frac{dv}{dx} = {a}^{2} + {v}^{2}\end{array})

(\int{\left( \frac{{{V}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{v}^{2}}} \right),dv=x+C})

(\begin{array}{l}{\tan }^{-1}\left( \frac{v}{a} \right)=x+c,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,v-a\end{array})

(\left( x+y \right)-a\arctan \left( \frac{x+y}{a} \right)=x+C) आवश्यक समाधान है।

उदाहरण 7: समाधान करें (\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = 2x^2)

दिया गया पाठ: #नमस्ते दुनिया

समाधान: #नमस्ते दुनिया

(\frac{d}{dx}\left( y \right)+\left( -\frac{1}{x} \right)\left( y \right)=2{{x}^{2}})

$$P=\frac{-1}{x} \text{ और } Q=2{{x}^{2}}$$

दोनों पक्षों को I.F. से विभाजित करें।

(\begin{array}{l}I.F.={{e}^{-\int{\frac{1}{x}dx}}}={{e}^{-\log x}}\end{array})

(\begin{array}{l}={{x}^{-1}}\end{array})

(\frac{1}{x})

(\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}y\right)-\frac{1}{{{x}^{2}}}y=2x)

दोनों पक्षों को x के साथ तालिका संयोजित करने के साथ, हमें मिलता है:

$$y\left(\frac{1}{x}\right) = \int 2x,dx + c$$

(\frac{y}{x} = x^2 + c)

(\begin{array}{l}y={{x}^{3}}+cx \quad \text{आवश्यक समाधान है।}\end{array} )

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