कैलकुलस

इंटीग्रेशन और डिफरेनशिएशन

कैलकुलस में दो महत्वपूर्ण अवधारणाओं - इंटीग्रेशन और डिफरेनशिएशन होती है। इंटीग्रेशन का उपयोग एक समतल आकृति के क्षेत्र की गणना करने के लिए किया जाता है, जबकि डिफरेनशिएशन एक वेरिएबल के साथ दूसरे के संबंध में परिवर्तन दर की फ़ंक्शन खोजने की प्रक्रिया है। इंटीग्रेशन डिफरेनशिएशन का उलट है, और इसे एंटीडिवर्टेटिव भी कहा जाता है।

इस खंड में, उम्मीदवार indefinite और definite integration, महत्वपूर्ण सूत्रों की सूची, इंटीग्रेशन समस्याओं को हल करने के लिए इंटीग्रेशन गुणों का उपयोग कैसे करें, और विभिन्न इंटीग्रेशन विधियों के बारे में सीखेंगे।

अनिर्दिष्ट इंटीग्रेशन

अनिर्दिष्ट इन्टीग्रल को एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक विशिष्ट बिन्दु से एक निर्दिष्ट बिन्दु तक एक दिए गए फ़ंक्शन की कर्व के नीचे क्षेत्र की गणना करेगा। और पढ़ें।

अनिर्दिष्ट इंटीग्रेशन के लिए मानक सूत्र

1. (\int{{{x}^{n}}dx=\frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}+c})

2. (\int a^x , dx = \frac{a^x}{\ln a} + c)

3. $$\int{{e}^{x}}dx = {e}^{x} + c$$

4. $$\int{\frac{1}{x}}dx=\ln\,x+c$$

5. $$\int{\sin x\,dx=-\cos x+c}$$

6. (\int{\cos x,dx=\sin x+C})

7. (\int{{{\sec }^{2}}x,,dx=\tan x+C})

8. (\int{\cos e^{{c}^{2}}x,,dx=-\cot x,+c})

9. (\int{\sec x\tan x,dx=\sec x - \ln|\sec x + \tan x| + c})

10. $$\int{\cos ec\,\,x\,\,}\cot x\,dx=-\cos ec\,x+c$$

(\int{\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx = \left{ \begin{matrix} {{\sin }^{-1}}x+c \ -{{\cos }^{-1}}x+c \ \end{matrix} \right.)

12. (\int{\frac{1}{1+{{x}^{2}}}}dx = \left{ \begin{matrix} {{\tan }^{-1}}x+c \ -{{\cot }^{-1}}x+c \ \end{matrix} \right.)

13. (\frac{1}{x\sqrt{{{x}^{2}}-1}} = \left{\begin{matrix} \sec^{-1}x + c \ -\csc^{-1}x + c \end{matrix} \right.)

⇒ समीकरण का परिचय: अधिक जानें

इंटीग्रेशन के विधियाँ

1. प्रतिस्थापन विधि

2. अंशद्वयी भिन्न के द्वारा इंटीग्रेशन

3. भागों द्वारा

4. भागों द्वारा

5. भागों द्वारा

6. यूलर प्रतिस्थापन

7. कमी की विधि

अनिश्चित इंटीग्रेशन के लाभ

1. (\begin{array}{l}k\int{f\left( x \right)dx = k\int{f\left( x \right)dx}}\end{array} )

2. (\int{f\left( x \right)+g\left( x \right) , dx = \int{f\left( x \right) , dx + \int{g\left( x \right) , dx}}})

इंटीग्रेशन गुणों और प्रतिस्थापन विधि के चित्रण:

उदाहरण 1: हल करें $$\int{\frac{{{\left( 1+x \right)}^{3}}}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}}dx$$

समाधान: (\int\frac{(1+x)^3}{x^{2/3}}dx=\int\frac{1+3x+3x^2+x^3}{x^{2/3}}dx)

\(\int({{{x}^{5/3}}+3{{x}^{2/3}}+3{{x}^{7/3}}}+{{x}^{10/3}})dx\)

(\begin{array}{l}3{{x}^{1/3}}+\frac{9}{4}{{x}^{4/3}}+\frac{9}{7}{{x}^{7/3}}+\frac{3}{10}{{x}^{10/3}}+c\end{array})

उदाहरण 2: हल करें (\int{{\sec }^{2}}x\cos e{{c}^{2}}x,,dx)

समाधान: (\int{{{\sec }^{2}}x\cos e{{c}^{2}}x,,dx=\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}x,{{\cos }^{2}}x}}dx})

(\int{{{\sec }^{2}}x+\cos e{{c}^{2}}x,,dx})

\(\tan x - \cot x + c\)

उदाहरण 3. $$\int{2x,,\sin \left( {{x}^{2}} \right)dx}$$

प्रश्नावली: x² = t.

2x \frac{dx}{dt} = 1

(\int{\sin t,,dt=-\cos t+C})

\(-\cos^2 x + c\)

विवरण 4: (\int{{{\sin }^{3}}x{{\cos }^{5}}x,,dx})

प्रश्नावली: (\int {{{\sin }^2}x{{\cos }^5}x\sin x,dx} )

‘(\int{\left( 1-{{\cos }^{2}}x \right)}{{\cos }^{5}}x,,\sin x,,dx)’

cos x = t को डालें

इसलिए, $\int -\sin x ,dx = t + C$

इसलिए, नया समीकरण है: $$\int{\left( 1-{{t}^{2}} \right)}{{t}^{5}}\left( -dt \right)$$

‘(\int{{{t}^{5}}-{{t}^{7}}}dt = \frac{1}{6}{t}^{6} - \frac{1}{8}{t}^{8} + C)’

(-\left( \frac{{{t}^{6}}}{6}-\frac{{{t}^{8}}}{8} \right))

मान मिलाने पर, हमें मिलता है:

(\frac{{{\cos }^{6}}x}{6} + \frac{{{\cos }^{8}}x}{8} + c)

अविच्छेदित अनिश्चित धारणा के लिए महत्वपूर्ण सूत्र

1. (\int{\frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}}} = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + c)

2. $$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \ln\left|x + \sqrt{x^2 - a^2}\right|$$

3. $$\int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}} = \ln\left| x+\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}} \right|$$

4. $$\int{\frac{1}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}dx=\frac{1}{a}{{\tan }^{-1}}\left( \frac{x}{a} \right).$$

5. $$\int{\frac{1}{{a^2}-{x^2}}}dx = \frac{1}{2a}\ln\left| \frac{a+x}{a-x} \right|.$$

6. $$\int{\frac{1}{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}dx=\frac{1}{2a}\ln\left| \frac{x-a}{x+a} \right|.$$

7. $$\int{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx = \frac{x}{2}\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}+\frac{{{a}^{2}}}{2}{{\sin }^{-1}}\left( \frac{x}{a} \right).$$

$$\int{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}},dx = \frac{x}{2}\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}} + \frac{{{a}^{2}}}{2}\ln\left| x+\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}} \right|$$

$$\int{\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}dx = \frac{x}{2}\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}} + \frac{{{a}^{2}}}{2}\ln\left| x+\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}} \right|$$

प्रकार वाले प्रतिष्ठानों का अनुकरण:

प्रकार I:

प्रकार I

(\int{{{\sin }^{m}}x{{\cos }^{n}}x,,dx})

नियम: सभी कर्मचारी को कर्मभूमि पर एक वर्दी पहननी होगी।

1. यदि m और n दोनों विषम हैं, तो एक सम घटक के लिए स्थानांतरण करें।

यदि दोनों संख्याएं विषम हैं, तो किसी एक के लिए स्थानांतरण करें।

3. यदि दोनों सम हैं, तो त्रिकोणमिति समिकरण का उपयोग करें।

प्रकार II: त्रिकोणमिति के स्थानांतरण

1. (\begin{array}{l}x=a\sin \theta\rightarrow{{}}\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\end{array} )

2. (\begin{array}{l}x=a\tan \theta \\ \sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\end{array})

3. (\begin{array}{l}{x} = a \sec \theta \\sqrt{{{x}^{2}} - {{a}^{2}}} \rightarrow{} \end{array})

4. (\begin{array}{l}x=a{{\cos }^{2}}\theta +b{{\sin }^{2}}\theta \rightarrow{{}}\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}\end{array})

5. (\displaystyle \sqrt{\frac{x-a}{x-b}} \rightarrow x = a\sec^2\theta - b)

प्रकार III:

(\begin{array}{l} \int{\frac{px+q}{a{{x}^{2}}+bx+c}},dx \\ \int{\frac{px+q}{\sqrt{a{{x}^{2}}+bx+c}}},dx \\ \int{\left( px+q \right)}\sqrt{a{{x}^{2}}+bx+c},dx \end{array})

हम (px+q) को इस प्रकार व्यक्त करते हैं: (\begin{array}{l}m{{\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)}^{1}}+n\end{array} ) तब, इसे मानक निती रूप में बदल दिया जाता है (\int m{{\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)}^{1}}+n,dx)।

द्विपद स्थानांतरण

1. (\int{f\left( x+\frac{1}{x} \right)}\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)dx )

(\begin{array}{l}\text{लिए } x\text{ के लिए हल करें: } \ x+\frac{1}{x}=t \end{array})

2. (\int f\left( x \right) \left(1+\frac{1}{x^2}\right) - \int\frac{f\left(x\right)}{x^2} dx)

(\begin{array}{l}\text{लिए}\ \left( x-\frac{1}{x} \right)=t\end{array} )

हल किए गए समस्याएं:

समस्या 1: हल करें (\int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+2}}})\

हल: (\int{\frac{dx}{\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+1}}} = \int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+2}}})।

$\log \left| \left( x+1 \right) + \sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+1} \right|$

समस्या 2: हल करें (\int{\frac{5{{x}^{2}}+2x+3}{\sqrt{5{{x}^{2}}+2x+3}},,dx)

हल: (\int{\frac{5}{2}{{x}^{2}}+x+3},,dx)

यहाँ

(\begin{array}{l}5{{\left( x+\frac{1}{5} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{\frac{14}{25}} \right)}^{2}} = 5{{x}^{2}}+2x+3\end{array})

(\int{\sqrt{5{{x}^{2}}+2x+3},dx}=\sqrt{5}\int{{{\left( x+\frac{1}{5} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{\frac{14}{25}} \right)}^{2}},dx})

\(\sqrt{5}\frac{\left( x+\frac{1}{5} \right)}{2}\sqrt{\left( x+\frac{1}{5} \right)^{2}+\left( \sqrt{\frac{14}{15}} \right)^{2}}+\frac{14}{25.2}\log \left| \left( x+\frac{1}{5} \right)+\sqrt{\left( x+\frac{1}{5} \right)^{2}+\frac{14}{15}} \right|\)

समस्या 3: निर्णय करें (\int{\frac{x+1}{{{x}^{2}}+3x+4}}dx)

हल: $$\int{\frac{x+1}{{{x}^{2}}+3x+4}}dx$$

(\begin{array}{l}x+1 = a{{\left( {{x}^{2}} + 3x + 4 \right)}^{1}} + b\end{array})

(\begin{array}{l}2ax + 3a + b\end{array})

(\therefore a=\frac{1}{2},,,,,b=\frac{-1}{2})

(\begin{array}{l}\Rightarrow I=\int \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{{{x}^{2}}+3x+4} \right)\ d\left( {{x}^{2}}+3x+4 \right)\end{array} )

(\frac{1}{2}\log \left( {{x}^{2}}+3x+4 \right) - \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3\left( x+\frac{3}{2} \right)} + \frac{7}{4}x + c \right])

(\frac{1}{2}\log \left( {{x}^{2}}+3x+4 \right)-\frac{1}{2}\sqrt{7}\tan ^{-1}\left( \frac{x+\frac{3}{2}}{\sqrt{7}} \right))

(\frac{1}{2}\log \left| {{x}^{2}}+3x+4 \right|-\frac{1}{\sqrt{7}}{{\tan }^{-1}}\left( \frac{2x+3}{\sqrt{7}} \right))

समस्या 4: हल करें [ \int{\frac{1+{{x}^{2}}}{1+{{x}^{4}}}},dx ]

हल: (\int{\frac{\left( 1+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}{\left( 1+\frac{1}{{{x}^{2}}}+{{x}^{2}} \right)}},dx)

(\int{\frac{\left( 1+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)dx}{{{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{2}}+2}})

(\int{\frac{d\left( x-\frac{1}{x} \right)}{{{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{2}}+2}} = \frac{1}{2}\ln{\left| x-\frac{1}{x} \right|} + C)

(\frac{1}{\sqrt{2}}{{\tan }^{-1}}\left( \frac{\sqrt{2}\left( x-\frac{1}{x} \right)}{2} \right))

आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन

भिन्नों के गठन :

1. जब $ g (x) $ गैर-दोहरान पंक्तियों का गुणक रूप में व्यक्त हो

(\begin{array}{l}g\left( x \right)=\prod\limits_{i=1}^{n}{\left( x-{{a}_{i}} \right)} \end{array} )

(\begin{array}{l}\frac{f}{g}=\frac{{A}_1}{x-{a}_1}+\frac{{A}_2}{x-{a}_2}+\dots + \frac{{A}_n}{x-{a}_n}\end{array})

2. $ g $ के कुछ अंश दोहरे हैं, तो $$g (x) = (x-a)^ k (x-a_1) (x-a_2)…$$

(\frac{f}{g}=\frac{{A_1}}{\left(x-a\right)}+\frac{{A_2}}{{\left(x-a\right)}^2}+\dots+\frac{{A_k}}{{\left(x-a\right)}^n}+\dots )

3. (\frac{f}{g}=\frac{Ax+B}{a{{x}^{2}}+bx+c}) अगर g (x) में एक द्विघातीय टर्म है

जहां A और B संतोषकों की तुलना करके निर्धारित किया जाता है।

उदाहरण अन्वेषण करते हैं

उदाहरण 1: (\int{\frac{dx}{\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)}}) हल करें

उत्तर: (\int{\frac{dx}{\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)}} = \frac{1}{2} \ln\left| \frac{x+1}{x-2} \right| + C)

समाधान: (\int{\frac{a\left( x-2 \right)+b\left( x+1 \right)}{\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)}},dx = a\ln{\left| x+1 \right|}+b\ln{\left| x-2 \right|} + c)

\(\int{\frac{-\frac{1}{3}}{x+1}}\,dx + \int{\frac{\frac{1}{2}}{x-2}}\,dx\)

(\begin{array}{l}=-\frac{1}{3}\ln\left| x+1 \right| + \frac{1}{2}\ln\left| x-2 \right|\end{array})

उदाहरण 2: \begin{align*}\int{\frac{2{{x}^{2}}-1}{\left( x-1 \right){{\left( x+1 \right)}^{2}}}}dx\end{align*} हल करें

समाधान: (\int{\frac{A\left( x+1 \right)+B\left( x-1 \right)}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)^{2}}+C\frac{1}{\left( x+1 \right)^{2}}}dx=2{x}^{2}-1 )

(\begin{array}{l}A{{\left( x+1 \right)}^{2}}+B\left( x+1 \right)\left( x+1 \right)+C\left( x-1 \right)=2{{x}^{2}}-1\end{array})

x = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{2}

x = -1 \Rightarrow C = -\frac{1}{2}

B = \frac{3}{2}.

(\begin{array}{l}\int{\frac{1}{2}\frac{1}{x-1}}dx+\frac{3}{2}\int{\frac{1}{x+1}}dx+\left( \frac{-1}{2} \right)\int{\frac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}}dx\end{array} )

(\frac{1}{2}\ell n\left| x-1 \right| + \frac{3}{2}\ell n\left| x+1 \right| + \frac{1}{2}\frac{1}{x+2} + c )

उदाहरण 3: $$\int{\frac{dx}{\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}$$ हल करें

समाधान: (\int{\frac{A\left( {{x}^{2}}+1 \right)+\left( Bx+C \right)\left( x+2 \right)}{\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}dx=A+\frac{Bx+C}{{{x}^{2}}+1})

x = -2 ⇒ A = 1/5

B = -1/2 * x^2 और C = 2/5 * x^2

मान लगाने और समाकरण करने पर हमें। योगचित्तेषु आनयित्वहः।

कन्टेंट का हिंदी संस्करण है: (\begin{array}{l}I=\frac{1}{5}\ln\left| x+2 \right|-\frac{1}{10}\ln\left( {{x}^{2}}+1 \right)+\frac{2}{5}\arctan\left( x \right)\end{array} )

ट्रिगोनोमेट्रिक फ़ंक्शन का समकालन

प्रकार 1: (\int {{{\sin }^{m}}x{{\cos }^{n}}dx} )

1. यदि m विषम है, तो cos x = t डालें

2. यदि n विषम है, तो sin x = t रखें

यदि m और n गणितीय संख्याएँ हैं, तो $\tan x = t$ डालें

4. यदि दोनों सम हैं, तो कम करने का तरीका प्रयोग करें।

उदाहरण के लिए:

(\int{\frac{{{\cos }^{3}}x}{{{\sin }^{6}}x}dx=\int{\frac{1-{{t}^{2}}}{{{t}^{6}}}dt}})

(t = sin(x))

(\int{{{t}^{-6}}-{{t}^{-4}}dt} = \frac{{{t}^{-5}}}{5} - \frac{{{t}^{-3}}}{3} + C)

(\begin{array}{l}=\frac{-1}{5\sin^5x} + \frac{1}{3\sin^3x} + c\end{array})

प्रकार 2: (\int{\frac{dx}{a\cos x + b\sin x + c}})

(t = \tan \left(\frac{x}{2}\right))

उदाहरण:

(\begin{array}{l}\int{\frac{dx}{2+\sin x}} = \int{\frac{dt}{1+t^2}}\end{array} ) (\begin{array}{l}\Rightarrow t=\tan \left( \frac{x}{2} \right)\end{array} )

(\frac{d}{dt}\left( {{t}^{2}} \right)=2t)

(\begin{array}{l}=\int{\frac{d(1+{{t}^{2}})}{2(1+{{t}^{2}})+2t}}\end{array} ) (\begin{array}{l}\Rightarrow \int{\frac{d(1+{{t}^{2}})}{{{t}^{2}}+t+1}}\end{array} )

(\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{2t+1}{\sqrt{3}}\right))

(\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{2\tan\left(\frac{x}{2}\right)+1}{\sqrt{3}}\right) + c)

प्रकार 3

(\int{\frac{dx}{a{{\cos }^{2}}x+b{{\sin }^{2}}x}}), (\int{\frac{dx}{a+b{{\sin }^{2}}x}})

(\begin{array}{l}\int{\frac{1}{a+b{{\cos }^{2}}x}},dx, \\int{\frac{1}{{{\left( a\sin x+b\cos x \right)}^{2}}}},dx \\text{या} \\int{\frac{1}{a+b{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x}},dx\end{array} )

नियम: सभी छात्रों को हमेशा उनके आईडी कार्ड साथ रखना होगा।

वर्गोंको कोण और मूलरूप से भाग करें।

उदाहरण:

(\begin{array}{l}\int{\frac{dx}{2+\sin x}} = \int{\frac{d\left(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)}{2+\tan\left(\frac{x}{2}\right)}}\end{array} ) (\begin{array}{l}\Rightarrow \int{\frac{dx}{2+\sin x}} = \int{\frac{dt}{2+t}}\end{array} )

(\frac{d}{dt}\left(t^2 + 1\right) = 2dt)

(\begin{array}{l}=\int{\frac{d(2t)}{(1+{{t}^{2}})(2+\frac{2t}{1+{{t}^{2}}})}}\end{array} ) (\begin{array}{l}\Rightarrow \int{\frac{2dt}{(1+{{t}^{2}})(2+\frac{2t}{1+{{t}^{2}}})}}\end{array} ) (\begin{array}{l}\Rightarrow \int{\frac{dt}{{{t}^{2}}+t+1}}\end{array} )

(\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{2t+1}{\sqrt{3}}\right))

(\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{2\tan\frac{x}{2} + 1}{\sqrt{3}}\right) + c)

प्रकार 3:

‘(\int{\frac{dx}{a{{\cos }^{2}}x+b{{\sin }^{2}}x}},,\int{\frac{dx}{a+b{{\sin }^{2}}x}})’

(\begin{array}{l}\int{\frac{1}{a+b{{\cos }^{2}}x}},dx,\int{\frac{1}{a+b{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x}},dx\end{array} ) या (\begin{array}{l}\int{\frac{1}{{{\left( a\sin x+b\cos x \right)}^{2}}}},dx\end{array} )

नियम: सभी कर्मचारियों को नौकरी के समय अपने नाम की पहचान टैग पहनना चाहिए।

वर्गोंको कोण और मूलरूप से भाग करें।

उदाहरण:

मूल संरचना: (\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}},dx=\int{\frac{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}}{\frac{3}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{4{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}}},dx)

\(\int{\frac{1}{3-4\tan^2 x}\sec^2 x\,dx}\)

(\begin{array}{l}=\int{\frac{sec^2x \ dx}{3\left( 1+{{tan^2x}} \right)-4{{tan^2x}}}}\end{array} )

‘(\displaystyle \int{\frac{dt}{3-{{t}^{2}}}} )’

\(\int{\frac{1}{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}-{{t}^{2}}}}dt\)

(\frac{1}{2\sqrt{3}} \ln \left| \frac{\sqrt{3} + t}{\sqrt{3} - t} \right|)

(\begin{array}{l} \log \left| \frac{\sqrt{3}+\tan x}{\sqrt{3}-\tan x} \right| = 2\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2\sqrt{3}}\end{array})

अनिश्चित अंश - वीडियो पाठ

![अनिश्चित अंश - वीडियो पाठ]()

अनिश्चित अंश समस्याएं

निश्चित अंतरबल

[a, b] कोई $n$ भागों में विभाजित करें जहां $h = \frac{b - a}{n}$, जिससे $(n - 1)$ अंतरबल का निर्माण हो।

(\int\limits_{a}^{b}f(x) , dx = \underset{h \to 0}{\mathop{\lim }},h,\sum\limits_{n=0}^{n-1}f(a + rh))

(\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right),dx} = \underset{h \to 0}{\mathop{\lim }},h,\sum\limits_{n = 0}^{n - 1}{f\left( a + rh \right)}).

निर्धारित आंतरिक के परिभाषा के रूप में निश्चित अंतरबल की सीमा

(\lim_{h\to 0} h \left[f\left(a\right) + f\left(a+h\right) + f\left(a+2h\right) + \dots + f\left(a + \left(n-1\right)h\right)\right])

‘(\begin{array}{l}nh = b - a\end{array})’

सीमा के साथ एक योग का मूल्यांकन

(\begin{array}{l}f\left(x\right)=x \\ h=\frac{b-a}{n} \\ I=\int\limits_{a}^{b}f\left(x\right)dx\end{array})

f(a) = a

f(a + h) = a + h

(\begin{array}{l}I=h\left[ a+\left( a+h \right)+….\left( a+\left( n-1 \right)h \right) \right] = nh\end{array})

\(\displaystyle h\sum_{i=1}^{n-1} ih \)

(\begin{array}{l} hna + \frac{h^2 n(n - 1)}{2} \end{array})

(\begin{array}{l}\frac{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}{2}=\left( b-a \right)a+\frac{{{h}^{2}}{{n}^{2}}}{2}-\frac{{{\left( b-a \right)}^{2}}}{2}\end{array})

(\sum\limits_{r=1}^{n}{n} = \frac{n(n+1)}{2})

(\sum_{r=1}^{n}{n^2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6})

(\sum\limits_{r=1}^{n}{n^{3}} = \left[ \frac{n\left( n+1 \right)}{2} \right]^{2})

GP … $$\begin{array}{l}a+ar+a{{r}^{2}}….a{{r}^{n-1}}=\frac{a\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\end{array} $$

(\sin \alpha + \sin \left(\alpha + \beta \right) + \sin \left(\alpha + 2\beta \right) + \dots + \sin \left(\alpha + \left(n - 1\right)\beta \right))

(\frac{\sin \left( n\frac{\beta }{2} \right)}{\sin \left( \frac{\beta }{2} \right)} \sin \left[ \frac{\alpha + (n-1)\beta}{2} \right])

\(\frac{\sin \left( n\frac{diff}{2} \right)}{\sin \left( \frac{diff}{2} \right)} \cdot \sin \left( \frac{1st+last}{2} \right)\)

(\cos \left( \frac{1st+last}{2} \right) \cdot \frac{\sin \left( \frac{n,diff}{2} \right)}{\sin \left( \frac{diff}{2} \right)})

यहां है ही संस्करण:

(\begin{array}{l}\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}-\frac{1}{{{4}^{2}}}+\frac{1}{{{5}^{2}}}-\frac{1}{{{6}^{2}}}-\frac{1}{{{1}^{2}}}=\frac{{{\pi }^{2}}}{12}\end{array})

(\begin{array}{l}\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\frac{1}{{{4}^{2}}}+\frac{1}{{{5}^{2}}}+\cdots =\frac{{{\pi }^{2}}}{12}\end{array})

(\int\limits_{a}^{b}{e^{x},dx=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }},h\left[e^{a}+e^{a+h}+e^{a+2h}+\cdots+e^{a+(n-1)h}\right])

(\begin{array}{l}h^a \times \left[ 1 + e^n + e^{2h} + \cdots \right]\end{array})

(\frac{e^a \left[ e^{nh}-1 \right] h}{e^n - 1})

(\begin{array}{l}{{e}^{b}}-{{e}^{a}}\end{array})

(\int\limits_{a}^{b} \sin x,dx=\underset{n\to \infty}{\mathop{\lim }},h\left[ \sin a + \sin\left(a + n\right) + \cdots + \sin\left(a + \left(n - 1\right)h\right) \right])

(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }},h\frac{\sin \left( \frac{nh}{2} \right)}{\sin \left( \frac{h}{2} \right)}\left[ \sin \left( \frac{2a+(n-1)h}{2} \right) \right])

$$\begin{array}{l}=\frac{\sin \left( \frac{b-a}{2} \right)}{\left( \frac{1}{h} \right)\sin \left( \frac{h}{2} \right)}\left[ \sin \left( a+\frac{nh}{2}-\frac{h}{2} \right) \right]\=2\sin \left( \frac{b-a}{2} \right)\sin \left( \frac{a+b}{2} \right)\end{array}$$

(\cos \left( \frac{b-a}{2} \right)-\cos \left( \frac{a+b}{2} \right))

cos a - cos b

(\begin{array}{l}\int\limits_{0}^{2}{\left( 3{{x}^{2}}+2x+1 \right)dx=\frac{14}{3}}\end{array} )

(\begin{array}{l}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\cos x,dx=1} \\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\sin }^{2}}x,dx=h\left[ \frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{1-{{\cos }^{\left( 2n+2n \right)}}}{2}…… \right]}\end{array} )

(\frac{1}{2}\left( b-a \right) - \frac{1}{4}\left( \sin 2b - \sin 2a \right))

निर्दिष्ट अवकलजन और इसकी सीमाएं

(\int\limits_{a}^{b}{f\left(x\right) , dx = \underset{h \to 0}{\mathop{\lim }},\sum\limits_{r=1}^{n}{f\left(a + rh\right)}})

विशेष मामला: a = 0 और b = 1

(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right),dx=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }},\frac{1}{n}\sum\limits_{r=1}^{n}{f\left( \frac{r}{n} \right)}).

(\int\limits_{0}^{k}{f\left(x\right),dx=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }},\frac{1}{n}\sum\limits_{r=1}^{kn}{f\left(\frac{r}{n}\right)}).

(\begin{array}{l}\sum\rightarrow \text{सदिश अनुपात के }n\ \int \frac{1}{n}, dx \Rightarrow \frac{r}{n}\end{array})

अवकलन के लिए सीमा का उपयोग करना:

1. एक्स अवयव को पहचानें जिसे एकल होने के लिए खंडित करना है
2. अवकलजन की सीमाएं पहचानें
3. अवकलजन को बनाम एक सीमा दोबारा लिखें
4. सीमा की मान्यता का मूल्यांकन करें
5. जवाब का व्याख्या करें

(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }},\left[ \frac{1}{na}+\frac{1}{na+1}+\frac{1}{na+2}+\cdots+\frac{1}{nb} \right])

(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }},\sum\limits_{r=0}^{b-a}{\frac{1}{n(a+r)}})

जीवंतता:(\begin{अर्रेर}\sum_{n\rightarrow \infty }{\frac{1}{n}\sum_{r=0}^{\left( b-a \right)n}{\frac{1}{a+\frac{r}{n}}}}\ =\int_{0}^{b-a}{\frac{dx}{a+x}}\ =\left[ \log \left( a+x \right) \right]_{a}^{b-a}\ =\log \left( \frac{b}{a} \right)\end{अर्रेर} )

एंटीग्रेशन के अनुप्रयोग पर वीडियो

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#JEE प्रगति के लिए परिभाषित रासांभिक की अत्यंत महत्वपूर्ण प्रश्न

आम प्रश्न

ऐंटीग्रेशन एकीकरण की तरफ विभिन्न घटकों या उपप्रणालियों को जोड़कर एक सिस्टम में बदलने का उपयोग करता है।

किसी फ़ंक्शन के एंटीडाइरीवेट का पता लगाना एक ऐंटीग्रेशन की विधि है।

ऐंटीग्रेशन के नियम क्या हैं?

• ऐंटीग्रेशन के कई नियम होते हैं, जैसे:

• गुणन नियम
• सम और अंतर नियम
• घटन नियम
• प्रतिपक्ष नियम
• सांतानिक नियम
• प्रतिस्थापन नियम
• अंश ऐंटीग्रेशन नियम, आदि।

ऐंटीग्रेशन के लाभ क्या हैं?

गणित में ऐंटीग्रेशन से उत्पन्न हुआ नियतत्‍विता, क्षेत्र, स्थानांतरण आदि की प्राप्ति के लिए प्रयोग किया जाता है।