एक वृत्त एक प्लेन में एकल बिंदु से सभी बिंदुओं का समान दूरी पर स्थित होने वाले बिंदु सेट है, जिसे केंद्र के रूप में व्यक्त किया जाता है। वृत्त के केंद्र से वृत्त के किसी भी बिंदु तक की दूरी को त्रिज्या के रूप में जाना जाता है। इस लेख में, वृत्तों की एक अवलोकन प्रदान किया जाता है, जिसमें केंद्ररेखा, सामान्य, और संपर्क की त्रिज्याओं की मक्तवर्धियों की समीकरण शामिल हैं।

वृत्त की समीकरण

वृत्त की समीकरण एक केंद्र $(h,k)$ और त्रिज्या $r$ वाले एक वृत्त के लिए निम्न द्वारा दी जाती है:

$$(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=r^2$$

1. वृत्त की मानक समीकरण: $$x^2+y^2=r^2$$

$$\begin{array}{l}{x}^{2}+{y}^{2}={r}^{2}\end{array}$$

केंद्र = (0, 0) और

त्रिज्या = r

2. केंद्र-त्रिज्या रूप में वृत्त की समीकरण: $$(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=r^2$$

\(\left(x-h\right)^2 + \left(y-k\right)^2 = r^2\)

वृत्त का केंद्र $(h,k)$ होता है और त्रिज्या $r$ होती है।

3. सामान्य रूप में वृत्त की समीकरण: $$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$$

($$\begin{array}{l}{x}^2+y^2+2gx+2fy+c=0\end{array}$$)

केंद्र = $(-g,-f)$

r2 = g2 + f2 - c

(\sqrt{{{g}^{2}}+{{f}^{2}}-c} = \text{त्रिज्या})

(x - x1)^2 + (y - y1)^2 = (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2

$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$

5. तीन गैर-संलग्नक बिंदुओं P(x1, y1), Q(x2, y2) और R(x3, y3) से गुजरने वाले वृत्त की समीकरण है:

$$(x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2=(x-x_2{)}^2+(y-y_2{)}^2=(x-x_3{)}^2+(y-y_3{)}^2$$

($$\left|\begin{array}{ccccccccccccc}{x}^2+y^2& x& y& 1x_1^2+y_1^2& x_1& y_1& 1x_2^2+y_2^2& x_2& y_2& 1x_3^2+y_3^2& x_3& y_3& 1\end{array}\right|$$ = 0)

वृत्त का क्षेत्रफल = πr²

परिधि = 2πr, जहां r त्रिज्या है।

विभिन्न स्थितियों में वृत्त की समीकरण

(x - a)² + (y - a)² = a²

बिंदु (a, a) के केंद्र वाले वृत्त और त्रिज्या r = a के संपर्क में होने वाले वृत्त की समीकरण है:

(x - a)^2 + (y - a)^2 = a^2

($$\begin{array}{l}(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=a^2\end{array}$$)

केवल x-अक्ष को संपर्क करता है, जिसका केंद्र है $(\alpha ,a)$

($$\begin{array}{l}{(x-\alpha )}^2+{(y-\beta )}^2=a^2\end{array}$$)

समीकरण y = β का ग्राफ य-अक्ष को संपर्क करता है, (0, β) पर।

($$\begin{array}{l}(x-a{)}^2+(y-\beta {)}^2=a^2\end{array}$$)

(x - (α/2))^2 + (y - (β/2))^2 = r^2

($$\begin{array}{l}{x}^2+y^2-\alpha x-\beta y=0\end{array}$$)

वृत्त की पैरामीट्रिक समीकरण

वृत्त की समीकरण: x^2 + y^2 = r^2

X = r * cos(θ)

Y = r sin θ

दोनों पक्षों का वर्ग लेना:

x² + y² = r² (cos²θ + sin²θ)

r^2 (cos^2θ + sin^2θ)

x^2 + y^2 = r^2

एक बिंदु का स्थान वृत्त के संबंध में

वृत्त को समीकरण x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 दिया जाता है और बिंदु p(x1, y1) दिया जाता है।

र - त्रिज्या

R > cp, {बिंदु बाहर होता है}

CP = R, _ग्राफ पर_

cp < R, {x | x ∈ ℝ, x < R}

पैरामीट्रिक वृत्त समीकरण - वीडियो पाठ

समांतरी और लंबवत भागों की समीकरण

समांतरी और लंबवत भागों की समीकरण की व्याख्या नीचे की गई है। वृत्त की समीकरण होती है:

x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0

एक बिन्दु पर कोण का समांतरी रेखा P(x1, y1) होती है।

वृत्त समीकरण का समांतरी

($$\begin{array}{l}x{x}_1+y{y}_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\end{array}$$)

समांतरी की ढाल ’m’ होती है।

y = mx + b

जहां $$c=\pm \left(\sqrt{g^2+f^2-c}\right)\left(\sqrt{1+m^2}\right)$$

\(\begin{array}{l}c=\pm \sqrt[s]{1+{{m}^{2}}}\end{array} \)

एक बाह्य बिंदु $p(x_1,y_1)$ से जोड़ी गई समांत दोरी

T2 = ss1

जहां (T \equiv x_1x + y_1y + g(x + x_1) + f(y + y_1))

($$\begin{array}{l}S=x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\end{array}$$) \ और

($$\begin{array}{l}{S}_1\equiv x_1^2+y_1^2+2g{x}_1+2f{y}_1+c=0\end{array}$$)

वृत्त पर बाह्य बिंदु $(x_1,y_1)$ पर लंबवत रेखा की समीकरण $$S\equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$$ होती है

(\begin{array}{l}\frac{x-{{x}{1}}}{{x{1}}+g} = \frac{y-{{y}{1}}}{{y{1}}+f}\end{array})

रेखांश समीकरण

PQ की समीकरण:

$$\overline{PQ}=\overline{x_1,y_1}-\overline{x_2,y_2}$$

($$\begin{array}{l}whereT=S_1\end{array}$$)

($$\begin{array}{l}T=x_{1}x+y_{1}y+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\end{array}$$ )

($$\begin{array}{l}{S}_1\equiv x_1^2+y_1^2+2g{x}_1+2f{y}_1+c=0\end{array}$$)

संपर्क रेखा


संपर्कबिंदु को AB कहा जाता है। संपर्क की समीकरण को T = 0 द्वारा दिया जाता है।

($$\begin{array}{l}{x}_1+y_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\end{array}$$)

दो वृत्तों का रैडिकल अक्ष

दो वृत्तों S1 और S2 का रैडिकल अक्ष का समीकरण।

$$S_2=x^2+y^2+2g_{2}x+2f_{2}y+c_2=0$$

($$\begin{array}{l}{S}_2\equiv x^2+y^2+2g_{2}x+2f_{2}y+c_2=0\end{array}$$ )

रैडिकल अक्ष का समीकरण है: $$x^2/a^2+y^2/b^2=1$$

S1 - S2 = 0

वृत्त परिवार

S1 + λS2 = 0

जहां λ पैरामीटर है


वृत्त के विशेष मामले

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वृत्त पर समस्याएं

उदाहरण 1: वृत्त के केंद्र और त्रिज्या की समीक्षा खोजें ($$\begin{array}{l}3x^2+3y^2-8x-10y+3=0.\end{array}$$ )

दिया हुआ:

यह एक शीर्षक है

समाधान:

यह एक शीर्षक है

($$\begin{array}{l}{x}^2+y^2-\frac{8}{3}x-\frac{10}{3}y+1=0\end{array}$$)

($$\begin{array}{l}g=-\frac{4}{3},f=-\frac{5}{3},c=1.\end{array}$$)

केंद्र (4/3, 5/3) है और त्रिज्या (r) है

(\sqrt{\frac{16}{9}+\frac{25}{9}-1} = \frac{4\sqrt{2}}{3})

उदाहरण 2: केंद्र $(1,2)$ वाले और जो बिंदु $(4,6)$ से गुजरता है, उसकी समीकरण खोजें।

दिया हुआ:

यह एक शीर्षक है

समाधान:

यह एक शीर्षक है

वृत्त की त्रिज्या है $$\sqrt{{(4-1)}^2+{(6-2)}^2}=\sqrt{25}=5.$$

इसलिए, वृत्त का समीकरण है:

(\left( x-1 \right)^2 + \left( y-2 \right)^2 = 25)

($$\begin{array}{l}{x}^2+y^2-2x-4y=20\end{array}$$)

चित्रण 3: बिन्दुओं $(-4,3)$ और $(12,-1)$ के बीच वाली रेखा है उस सर्कल का समीकरण ढूंढें। इसकी $y$-अक्ष पर बने हुए कटक की लंबाई भी ढूंढें।

दिया गया:

यह एक शीर्षक है

समाधान:

यह एक शीर्षक है

एक सर्कल का समीकरण होता है: $(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=r^2$

($$\begin{array}{l}(x+4)(x-12)+(y-3)(y+1)=0\end{array}$$)

$y$-अक्ष पर, $$x=0\Rightarrow -48+y^2-2y-3=0$$

($$\begin{array}{l}\Rightarrow y^2-2y-51=0\\ Rightarrow{y}^2-2y=51\\ Rightarrowy(y-2)=51\\ Rightarrowy=1\pm \sqrt{52}\end{array}$$ )

इसलिए $y$-अक्ष पर कटक की लंबाई $$=2\sqrt{52}=4\sqrt{13}.$$

चित्रण 4: बिन्दुओं $(1,1)$ $,(2,-1)$ और $(3,2)$ से गुजरने वाले सर्कल का समीकरण ढूंढें।

दिया गया:

यह एक शीर्षक है

समाधान:

यह एक शीर्षक है

($$\begin{array}{l}{x}^2+y^2+2gx+2fy+c=0\end{array}$$)

तीन दिए गए बिन्दुओं के स्थानीयांक को स्थानीयांक फिर लगाते हैं, हम प्राप्त करते हैं।

\(\begin{array}{l}2g + 2f + c = -2\end{array}\)

($$\begin{array}{l}4g-2f+c=-5\end{array}$$)

($$\begin{array}{l}6g+4f+c=-13\end{array}$$ \Rightarrow c=-13-6g-4f\end{array})

ऊपर दिए गए तीन समीकरणों को हल करके, हम प्राप्त करते हैं:

($$\begin{array}{l}f=-\frac{1}{2};g=-\frac{5}{2},c=4.\end{array}$$ )

इसलिए सर्कल का समीकरण होगा:

($$\begin{array}{l}{x}^2+y^2-5x-y+4=0\end{array}$$)

चित्रण 5: सेंटर (3, 4) और जो रेखा 5x + 12y = 1 को स्पर्श करता है, उस सर्कल का समीकरण है (x-3)^2 + (y-4)^2 = 25.

दिया गया:

यह कथन प्रभावी है.

समाधान:

यह सटीकन प्रभावी है.

सर्कल का परिधि $2\pi r$ से बराबर है।

r = $\sqrt{(3-0{)}^2+(4-0{)}^2}$ = $\sqrt{25}$

(\left| \frac{15+48-1}{13} \right| = \frac{62}{\sqrt{25+144}})

इसलिए आवश्यक सर्कल का समीकरण है $${(x-3)}^2+{(y-4)}^2={\left(\frac{62}{13}\right)}^2$$

($$\begin{array}{l}{x}^2+y^2-6x-8y+\frac{381}{169}=0\end{array}$$)

चित्रण 6: बिंदु पी (10, 7) से सर्कल $\begin{array}{l}{x}^2+y^2-4x-2y-20=0.\end{array}$ की सबसे बड़ी दूरी ढूंढें।

दिया गया:

यह एक शीर्षक है

समाधान:

यह एक शीर्षक है

P सर्कल के बाहर स्थित है, क्योंकि $$S_1={10}^2+7^2-4\times 10-2\times 7-20>0.$$

P को दिए गए सर्कल के केंद्र C(2, 1) से जोड़ें।

पैमाने C परिकेंद्रीय बिंदुओं A और B पर काटता है, जहां A C से अधिक पास बिंदु A

PB सर्कल से P की सबसे बड़ी दूरी है।

हमें, $$PC=\sqrt{{(10-2)}^2+{(7-1)}^2}=10$$

और CB = त्रिज्या $$=\sqrt{4+1+20}=5$$

∴ PB = PC + CB = 10 + 5 = 15

प्रश्नावली 7: जिसका व्यास 2x - y = 2 और (4, 3) से (2, 1) तक व्यास पर वृत्त के लिए संकलन बिंदु (1, 0) है। इसका समीकरण (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5 है।

दिया गया:

यह एक शीर्षक है

समाधान:

यह एक शीर्षक है

(4, 3) और (2, 1) के बीच की रेखा भी व्यास के रूप में है।

हम कोणों (शीर्षक) को ज्ञात कर सकते हैं:

रेखा (2x - y = 2) और रेखा (y - 3 = \frac{3 - 1}{4 - 2}\left(x - 4\right)) यानी (x - y - 1 = 0) के समन्वयबिंदु हैं|

इन्हें हल करके हमें केंद्र मिलता है (1, 0)।

त्रिज्या = (1, 0) से (2, 1) के बीच की दूरी = $\sqrt{2}$

एक वृत्त का समीकरण दोनों रूपों में व्यक्त किया जा सकता है ($$\begin{array}{l}{(x-1)}^2+{(y-0)}^2=2\end{array}$$ ) या ($$\begin{array}{l}{x}^2+y^2-2x-1=0.\end{array}$$ )

प्रश्नावली 8: $\begin{array}{l}{x}^2+y^2+2x+6y=0\end{array}$ और $\begin{array}{l}{x}^2+y^2-4x-2y-6=0\end{array}$ के वृत्तों के समानता वाले त्रिज्या की लंबाई बताएँ।

इस *ताक़तवर* पाठ है।

समाधान: **यह *ताक़तवर* पाठ है।**

एक सामान्य ज्या का समीकरण है $$S_1-S_2=0$$ या $$6x+8y+6=0$$ या $$3x+4y+3=0.$$

S1 का केंद्र C1(-1, -3) है और इसकी त्रिज्या है (\sqrt{10}).

C1 से सामान्य तार की दूरी = $\frac{12}{5}$

सामान्य तार की लंबाई = $\frac{2\sqrt{106}}{5}$

प्रश्नावली 9: शीर्षबिंदु और विन्यास के बिंदु के आंतरबिंदु से बीज से जोडी दो लंब रेखाएँ हैं।

( \left{-2, 2\right} )

{-3, 3}

{-4, 4}

{-5, 5}

दिया गया:

यह एक शीर्षक है

समाधान:

यह एक शीर्षक है

विन्यास ($$\begin{array}{l}{x}^2+y^2=4\end{array}$$ ) को सततता के साथ श्रेणी ($$\begin{array}{l}x+y=a,\end{array}$$ ) के लिए अनुपाती बनाने के लिए, हम दोनों ओरों को (a^2) से गुणा करना चाहिए, जिससे हमें मिलेगा: ($$\begin{array}{l}{x}^2{a}^2+y^2{a}^2=4a^2\end{array}$$ )

($$\begin{array}{l}{x}^2+y^2-4{(x+y)}^2/a^2=0\end{array}$$)

($$\begin{array}{l}\Rightarrow ,,,,,a^2(x^2+y^2)-4(x^2+y^2+2xy)=0\end{array}$$)

($$\begin{array}{l}\Rightarrow ,,,,,x^2(a^2-4)+y^2(a^2-4)-8xy=0\end{array}$$)

इन दोनों लंब रेखाओं के केंद्रित रेखाओं को मिलते हैं, हम यह निर्णय ले सकते हैं कि

a² - 4 + a² - 4 = 0

a2 - 4 = 0

a = ±2

इसलिए, आवश्यक $a$ का समूह है $-2,2$।

इसलिए, विकल्प (अ) सही उत्तर है।

वृत्त - महत्वपूर्ण विषय

वृत्त - गणित कक्षा 11 के अध्याय 11 पर क्विज़

वृत्त - महत्वपूर्ण प्रश्न

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सरल रेखाएँ और वृत्त: 12 महत्वपूर्ण प्रश्न

कन्टेंट का हिंदी संस्करण क्या होगा:

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

केंद्र (0, 0) व्यास, r वाले एक वृत्त का समीकरण है: $$x^2+y^2=r^2$$

केंद्र (0, 0) व्यास, r वाले एक वृत्त का मानक समीकरण दिया जाता है x² + y² = r²।

वृत्त का एक धोरण वह रेखांकन है जो वृत्त पर दो बिन्दुओं को जोड़ता है।

एक धोरण वह रेखांकन है जो वृत्त पर दो बिन्दुओं को जोड़ता है। व्यास सबसे बड़ी धोरण होती है।

वृत्त का मानक समीकरण $(h,k)$ केंद्र और ऊर्ध्वाधर र $r$ द्वारा दिया जाता है: $$(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=r^2$$

वृत्त का मानक समीकरण $(h,k)$ केंद्र और व्यास, $r$ द्वारा दिया जाता है $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2।