द्विपक्षीय सूत्र गाइड

द्विपक्षीय सूत्र के परिचय

द्विपक्षीय समिति की गुणधर्म

द्विपक्षीय विस्तार में शब्द

किसी भी सूची के लिए द्विपक्षीय सूत्र

द्विपक्षीय सूत्र के अनुप्रयोग

बहुपक्षीय सूत्र

द्विपक्षीय सूत्र पर समस्याएं

द्विपक्षीय सूत्र के परिचय

द्विपक्षीय सूत्र एक शक्तिशाली विस्तार का एक साधन है जिसका उपयोग किसी भी सीमित शक्ति पर उठाए गए अभिव्यक्ति का विस्तार करने के लिए किया जाता है। इसका अल्गोजिब्रा, प्रायिकता, आदि में उपयोग है।

द्विपक्षीय अभिव्यक्ति: जो दो टर्म्स से मिलकर बनी होती है उसे द्विपक्षीय अभिव्यक्ति कहते हैं। उदाहरण के लिए: a + b, a3 + b3 आदि।

द्विपक्षीय सूत्र: लेट $n \in \mathbb{N}$, $x,y \in \mathbb{R}$ तो

$(x + y)^n = \sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}x^{n-r}y^r$ जहां,

उदाहरण 1: $(x/3 + 2/y)^4$ का विस्तार कीजिए

दिया:

मुझे मदद चाहिए

समाधान:

आपको किस प्रकार की मदद चाहिए?

(√2 + 1)⁵ + (√2 - 1)⁵

दिया:

यह एक वाक्य है।

समाधान:

यह एक वाक्य है।

हमें हैं

$(x + y)^5 + (x - y)^5 = 2\binom{5}{0}x^5 + \binom{5}{2}x^3y^2 + \binom{5}{4}x^1y^4$

2x^5 + 10x^3y^2 + 5xy^4

अब $(\sqrt{2} + 1)^5 + (\sqrt{2} - 1)^5 = 2[(\sqrt{2})^5 + 10(\sqrt{2})^3(1)^2 + 5(\sqrt{2})(1)^4]`

58<sup>√2</sup>

द्विपक्षीय विस्तार

याद रखने के लिए महत्वपूर्ण बिंदु:

$(x+y)^n$ के विस्तार की कुल संख्या $(n+1)$ होती है

x और y के गुणधर्म का योग हमेशा n के बराबर होता है।

nC0, nC1, nC2, ….., nCn नामक शब्दों को द्विपक्षीय समिति के रूप में जाना जाता है और C0, C1, C2, ….., Cn द्वारा भी दर्शाया जा सकता है।

शुरूआत से और समाप्ति से सम मुख्यमंत्रियाँ जो एक-दूसरे से तुल्य हैं, वे बराबर होते हैं, उदाहरण के लिए

nC₀ = nC_n, nC₁ = nC_n-1, nC₂ = nC_n-2, इत्यादि।

हम बिंदुओं की संख्या खोजने के लिए पासकल की त्रिकोण का उपयोग कर सकते हैं।

पासकल की त्रिकोण का उपयोग करके द्विपक्षीय समितियों को खोजने के लिए

और भी उपयोगी विस्तार:

$(x + y)^n + (x - y)^n = 2[C_0 x^n + C_2 x^{n-1} y^2 + C_4 x^{n-4} y^4 + \cdots]$

$(x + y)^n - (x - y)^n = 2[C_1 x^{n-1}y + C_3 x^{n-3}y^3 + C_5 x^{n-5}y^5 + \ldots]$

(1 + x)ⁿ = nΣ_r=0 nCr . x^r = [C₀ + C₁ x + C₂ x² + … C_n xⁿ]

(1 + x)ⁿ + (1 - x)ⁿ = 2[C₀ + C₂x² + C₄x⁴ + …]

(1+x)ⁿ - (1-x)ⁿ = 2[C₁x + C₃x³ + C₅x⁵ + …]

जो आपत्तिपूर्वक $(x+a)^n+(x-a)^n$ का विस्तार है, उसमें $(n+2)/2$ अंक हैं अगर n सम है, या $(n+1)/2$ अगर n विषम हैं।

जो आपत्तिपूर्वक $(x+a)^n-(x-a)^n$ का विस्तार है, उसमें $(n)/2$ अंक हैं अगर n सम है, या $(n+1)/2$ अगर n विषम हैं।

अंकों की संख्या और आर-एफ फैक्टर के बीच संबंध

बाइनोमियल कॉइफिशिंट्स की गुणता की गुणांकिता

बाइनोमियल कॉइफिशिंट्स वे पूर्णांक हैं जो बाइनोमियल सिद्धांत में कॉइफिशिंट्स होते हैं। कुछ सबसे महत्वपूर्ण गुण बाइनोमियल कॉइफिशिंट्स के हैं:

C0 + C1 + C2 + … + Cn = 2n

C₀ + C₂ + C₄ + … = C₁ + C₃ + C₅ + … = 2n-1

C₀ - C₁ + C₂ - C₃ + … + (-1)ⁿ C_n = 0

nC₁ + 2nC₂ + 3nC₃ + … + nnC_n = n(2ⁿ - 1)

C₁ - 2C₂ + 3C₃ - 4C₄ + ... + (-1)ⁿ⁻¹Cⁿ = 0 for n > 1

C₀₂ + C₁₂ + C₂₂ + …C_n² = [(2n)!/ (n!)²]

उत्तर: यदि $(1+x)^{15}=a_0+a_1x+\cdots+a_{15}x^{15}$ के बराबर है, तो x के मान की मान्यता ढूँढें।

दिया गया पाठ

हमारी साइट में आपका स्वागत है

समाधान:

हमारी साइट में आपका स्वागत है :smiley:

C0/C0 + C1/C0 + 2C2/C1 + 3C3/C2 + ... + 15C15/C14

15 + 14 + 13 + ... + 1 = [15(15+1)]/2 = 120

बाइनोमियल कॉइफिशिंट्स के गुणता के गुण संबंध वीडियो पाठ

बाइनोमियल विस्तार में तर्म्स

यहां बाइनोमियल विस्तार में विभिन्न तर्म्स हैं:

• मध्यम तर्म
• सामान्य तर्म

सामान्य तर्म

मध्यम तर्म

स्वतंत्र टर्म

एक विशेष टर्म का निर्धारण

संख्यात्मक रूप से सबसे महत्वपूर्ण टर्म

एक तर्म से दूसरे तर्म/कॉइफिशिंट संदर्भ

बाइनोमियल कॉइफिशिंट्स

हमारे पास $(x + y)^n = \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}y + \binom{n}{2}x^{n-2}y^2 + \ldots + \binom{n}{n}y^n$ हैं

सामान्य टर्म = ${T_r+1} = \binom{n}{r} \cdot x^{n-r} \cdot y^r$

(1 + x)^n = nC_rx^r

(n - r + 2)th पंक्ति का अंत की ओर से बैनोमियल विस्तार का rth तर्म होता है।

उत्तर: $(1 + 2x +x^2)^{50}$ में अंकों की संख्या 51 है।

दिया गया:

मुझे समुद्र तट पर जाने का शौक है

समाधान:

मुझे समुद्र तट पर जाने में आनंद आता है

(1 + 2x + x^2)50 = [(1 + x)^2]50 = (1 + x)100

अंकों की संख्या = (100 + 1) = 101

उत्तर: -1/x¹²

दिया गया:

यह एक हैडिंग है

समाधान:

यह एक हैडिंग है

कंटेंट का हिंदी संस्करण क्या होगा: $(1 - 3x + 3x^2 - x^3)^{2n} = [(1 - x)^3]^{2n} = (1 - x)^{6n}$

मध्यमिक शब्द = $$\frac{6n}{2} + 1 \text{term } = 6nC3n (-x)^3n$$

एक विशेषित शब्द का निर्धारण:

$(ax^p + b/x^q)^n$ के व्याख्यान में $x^m$ के संवर्धन के समकोण की संख्या $T^r+1$ की संख्या होती है जहां $r = \frac{np-m}{p+q}$ होता है।

$(x + a)^n$ के व्याख्यान में $\frac{T_{r+1}}{T_r} = \frac{n - r + 1}{r}\frac{a}{x}$ होता है

एक बाइनोमियल विस्तार के सामान्य और मध्यम शब्द

आपेक्षित शब्द

शब्द “अव्याप्त” का अर्थ है ax^p + (b/x^q) के विस्तार में

$T_{r+1} = {n \choose r} \frac{a^n-r}{b^r}$, जहां $r = \left\lfloor \frac{np}{p+q} \right\rfloor$

उत्तर: 6

यह एक **मोटी** बयान है।

समाधान: यह एक मोटी बयान है।

r = [6(1)/1+1] = 3

6C3 = 20

उत्तर: (x + y)^2 के विस्तार में अव्याप्त शब्द ढूंढें

दिए गए हैं:

यह शीर्षक है

समाधान:

यह शीर्षक है

[(n + 1) \|\alpha\|] / \|\alpha\| + 1 = \frac{11 \times 3/2}{3/2+1} = \frac{33}{5} = 6.6

इसलिए, T7 सबसे बड़ा शब्द है।

T^6 + 1 = \binom{10}{6} \quad (-3x)^6 = \binom{10}{6} \quad \left(\frac{3}{2}\right)^6

पड़ोसी शब्द / संकेतकों का अनुपात:

$x^r$ और $x^{r+1}$ के संकेतकों के संकेतक ${n \choose r} - 1$ और ${n \choose r}$ होते हैं।

(nCr / nCr-1) = (n-r+1)/r

प्रश्न: (1+x)^n के विस्तार में तीन पड़ोसी शब्दों के संकेतकों का अनुपात 1:7:42 होता है, तो n का मान क्या होगा?

दिया गया हैं:

यह शीर्षक है

समाधान:

यह शीर्षक है

करें $(r - 1)$वी, $r$वी, और $(r + 1)$वी तीन पड़ोसी शब्द हों।

अनुपात 1:7:42 है।

अब $$\frac{ \binom{n}{r} - 2 }{ \binom{n}{r} - 1 } = \frac{1}{7}$$

(nCr-2 / nCr-1) = (1/7) ⇒ [(r-1)/(n-r+2)] = (1/7) ⇒ n-8r+9 = 0 → (1)

⇒ [(r-1)/(n-r+2)] = (1/7) ⇒ n-8r+9 = 0 → (1) उसने कहा।

उसने कहा, “और।”

r = (7n - 42)/(n - 1) ⇒ [(7n - 42)/(n - 1)]/(n) = (1/6) ⇒ 7n - 42 = 6n ⇒ n = 42/7 → (2)

(1) और (2) से, n = 55

बाइनोमियल सिद्धांत के अनुप्रयोग

1. बाइनोमियल के घातों की गणना

2. प्रश्नों के माध्यम से समीकरणों का हल करना

3. संगणना प्रायिकता सिद्धांत में प्रायिकताओं की गणना

4. बाइनोमियल विस्तार के संकेय

बाइनोमियल सिद्धांत के सबसे सामान्य उपयोग हैं:

• शेष ढूँढ़ना
• एक संख्या के अंक ढूँढ़ना
• गणित में अन्य उपयोग

बाइनोमियल सिद्धांत का शेष गणना

उत्तर: 7103 को 25 से विभाजित करने पर शेष 8 होता है।

#मुझे फिल्में देखना पसंद है

समाधान: मैं फिल्में देखने से बहुत प्यार करता हूँ!

(7103 / 25) = [7(49)51 / 25] = [7(50 - 1)51 / 25]

(7103 / 25) = 284.12 = [7(50 - 1)51 / 25] = [74951 / 25] = 299.84

[175K - 7]/25

\frac{25(7K - 1) + 18}{25}

इसलिए, शेष होता है 18।

उत्तर: (2403 / 15) के भिन्नांक भाग का भागफल (K/15) है, तो K क्या हैं?

दिया हुआ:

हमारी वेबसाइट पर आपका स्वागत है

समाधान:

हमारी वेबसाइट पर आपका स्वागत है :smiley:

(2403 / 15) = 160.2

8/15 (15 + 1)100 = 8/15 (15λ + 1) = 8λ + 8/15

8λ का भिन्नांश 8/15 है, क्योंकि 8λ एक पूर्णांक है।

K = 8.

एक संख्या के अंकों की गणना

उत्तर: (13)10 के अंतिम दो अंक 13 होते हैं।

दिया हुआ पाठ:

यह एक हेडर है

समाधान:

यह एक हेडर है

(13)_{10} = (169)_5 = (170 - 1)_5

5C₀ (170)⁵ - 5C₁ (170)⁴ + 5C₂ (170)³ - 5C₃ (170)² + 5C₄ (170) - 5C₅

5C₀ (170)⁵ - 5C₁ (170)⁴ + 5C₂ (170)³ - 5C₃ (170)² + 5(170) - 1

100K + 848 = 100 × (5 + 17) - 1

इसलिए, अंतिम दो अंक 49 हैं।

दो नंबरों के बीच संबंध

उत्तर: कौन बड़ा है, 9950 + 10050 या 10150?

दिया हुआ:

आपका पसंदीदा रंग क्या है?

समाधान: मेरा पसंदीदा रंग नीला है।

10150 = (100 + 1)50 = 10050 + 50

10150 = 10050 + 50 * 10049 + 25 * 49 * 10048 + …

⇒ 9950 = (100 - 1)50 = 10050 - 50 \ 10049 + 25 \ 49 \ 10048 - …

⇒ 10150 - 9950 = 250. 10049 + 25(49) = 16(10047) + ...

10050 + 50 + 49 + 16 + 10047 + ... > 10050

10150 - 9950 > 10050

10150 > 20000

विभाज्यता परीक्षण

समाधान: 119 + 911 = 1030, जो 10 से विभाज्य है।

दिया हुआ:

यह एक हेडिंग है

समाधान:

यह एक हेडिंग है

(10 + 1)9 + (10 - 1)11 = 119 + 911

= (9C_0 \cdot 10^9 + 9C_1 \cdot 10^8 + \ldots + 9C_9) + (11C_0 \cdot 10^{11} - 11C_1 \cdot 10^{10} + \ldots - 11C_{11})

9C0 . 109 + 9C1 . 108 + 9C2 . 107 + 9C3 . 106 + 9C4 . 105 + 9C5 . 104 + 9C6 . 103 + 9C7 . 102 + 9C8 . 10 + 1 + 11C1 . 1010 + 11C2 . 109 + 11C3 . 108 + 11C4 . 107 + 11C5 . 106 + 11C6 . 105 + 11C7 . 104 + 11C8 . 103 + 11C9 . 102 + 11C10 . 10 - 1

10^9C_0 \cdot 10^8 + 9C_1 \cdot 10^7 + \ldots + 9C_8 + 11C_0 \cdot 10^{10} - 11C_1 \cdot 10^9 + \ldots + 11C_{10}

10K 10 से बिन्न होता है।

सूत्र:

$(x_1 + x_2 + \ldots + x_r)^n$ के विस्तार की संख्या ${n + r - 1 \choose r - 1}$ होती है।

$(ax + by)^n$ के सम्मिश्रण के कोणों का योग $(a + b)^n$ होता है

यदि $$f(x) = (a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_mx^m)^n$$ तो

सम्मिश्रण का योग = f(1)

X के सम्मिश्रण के अद्वितीय कोणों का योग: [f(1) + f(-1)] / 2

X के सम्मिश्रण के विषम कोणों का योग [f(1) - f(-1)] / 2

बिनोमियल सूत्र किसी भी सूत्र के लिए

यदि $n$ एक भिन्न संख्या हो और $x$ एक वास्तविक संख्या हो जिसके लिए $|x| < 1$ है, तो

प्रमाण:

$आओ$ $f(x) = (1 + x)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_r x^r + \dots$ (1)

f(0) = 1ⁿ = 1

(1) के दोनों पक्षों को $x$ के साथ अवकलन करने से हमें मिलता है

n(1 + x)ⁿ - 1

= $\sum_{i=1}^{r} a_i x^i - 1$

यदि हम x = 0 सेट करें, तो n = a1 होता है।

(2) के दोनों पक्षों को $x$ के साथ अवकलन करने से हमें मिलता है

$n(n - 1)(1 + x)^n - 2$

$2a^2 + 6a^3x + 12a^4x^2 + \ldots + r(r-1)arx^r - 2 + \ldots (3)$

यदि x = 0 हो तो, हमें $$a_2 = \frac{n(n-1)}{2}!$$ मिलता है।

(3) के दोनों पक्षों को $x$ के साथ अवकलन करने से हमें मिलता है

$n(n - 1)(n - 2)(1 + x)^{n - 3} = 6a³ + 24a⁴x + … + r(r - 1)(r - 2)ar^{xr - 3} + …$

यदि x = 0 हो, तो a3 = [n(n−1)(n−2)] / 3! होता है।

इसी तरह, हमें $$a_4 = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{r!}$$ और ऐसा ही आगे जारी होता है।

∴ एआर = \frac{n(n-1)(n-2)…(n-r+1)}{r!}

(1) में प्राप्त किए गए $a_0$, $a_1$, $a_2$, $a_3$, …, $a_r$ के मान डालकर, हमें मिलता है

$(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{2!}x^3 + \dots + \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)}{r!}x^r + \dots$

किसी भिड़्न सूत्र के लिए बिनोमियल सूत्र

$$\left(\frac{a_1}{l} + \frac{b_1}{k}\right)^n$$ के अभिव्यक्ति में रशियों की संख्या $$\left[\frac{n}{\text{LCM of } {l,k}}\right]$$ होती है जब $l$ और $k$ दोनों $n$ के कारक नहीं होते हैं, और $l$ और $k$ में से कम से कम एक $n$ का कारक होता है की होती है $$\left[\frac{n}{\text{LCM of } {l,k}}\right] + 1$$ं है जहां $[\cdot]$ सबसे बड़ी पूर्णांक फ़ंक्शन है।

उत्तर: $(8\sqrt{5} + 6\sqrt{2})^{100}$ में रशियों की संख्या ढूँढें।

दिया गया:

This is bold text

समाधान:

This is bold text

Tr + 1 = 100Cr $\times$ $(8\sqrt{5})^{100-r} \times (6\sqrt{2})^r$ = 100Cr $\times$ $5 \times \left[\frac{(100-r)}{8}\right] \times \left[\frac{2r}{6}\right]$

r = 12, 36, 60, 84

रशियों की संख्या = 4

असंख्याता की संख्या = 101 - 4 = 97

नकारात्मक घातों के लिए बिनोमियल सूत्र

यदि एक भिन्न संख्या एक ऐसी है जो -1 < x < 1 है, तो

$\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + … + x^r + … \infty$

$(1+x)^{-1} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots (-1)^rx^r + \cdots \infty$

$(1 - x)^{-2} = 1 + 2x + 3x^2 - 4x^3 + \dots + (r + 1)x^r + \dots \infty$

$(1 + x)^{-2} = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \ldots + (-1)^r(r+1)x^r + \ldots \infty$

![बिनोमियल सूत्र]()

$(1 + x)^n$ में संख्या प्राप्त करें $n + 1$ होती है

‘जब $n$ एक सकारात्मक पूर्णांक होता है।’

अनंत एक सकारात्मक पूर्णांक नहीं है जब |x| < 1

3। जब $0 < x < 1$ हो, $p, q$ सकारात्मक पूर्णांक हों और $p$ $q$ का एक गुणी है जब $$T_{\frac{p}{q}} + 3$$ होता है (8/5 + 6/2) $^{100}$।

दिया गया:

This is bold text

समाधान:

This is bold text

Tr + 1 = 100Cr $\times$ $(8\sqrt{5})^{100-r} \times (6\sqrt{2})^r$ = 100Cr $\times$ $5 \times \left[\frac{(100-r)}{8}\right] \times \left[\frac{2r}{6}\right]$

r = 12, 36, 60, 84

रशियों की संख्या = 4

असंख्याता की संख्या = 101 - 4 = 97

नकारात्मक घातों के लिए बिनोमियल सूत्र

यदि एक भिन्न संख्या एक ऐसी है जो -1 < x < 1 है, तो

$\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + … + x^r + … \infty$

$(1+x)^{-1} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots (-1)^rx^r + \cdots \infty$

$(1 - x)^{-2} = 1 + 2x + 3x^2 - 4x^3 + \dots + (r + 1)x^r + \dots \infty$

$(1 + x)^{-2} = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \ldots + (-1)^r(r+1)x^r + \ldots \infty$

![बिनोमियल सूत्र]()

$(1 + x)^n$ में संख्या प्राप्त करें $n + 1$ होती है

‘जब $n$ एक सकारात्मक पूर्णांक होता है।’

अनंत एक सकारात्मक पूर्णांक नहीं है जब |x| < 1

3। जब $0 < x < 1$ हो, $p, q$ सकारात्मक पूर्णांक हों और $p$ $q$ का एक गुणी है जब $$T_{\frac{p}{q}} + 3$$ होता है।

बहुपद सूत्र

बाईनोमियल सूत्र का उपयोग करके हम कर सकते हैं

$(x + a)^n$

n\sum_{r=0}^{n}\text{C}_{r}x^{n-r}a^{r}, \quad n

न∑र + स = न [न! / (र!)(स!)] xs^र, जहां स = न - र।

यह परिणाम निम्नलिखित रूप में सामान्यीकृत किया जा सकता है:

(x1 + x2 + … + xk)<sup>न</sup>

$$\sum_{i=1}^{k}रi = न \left[ \frac{न!}{र1!र2!\cdotsरk!}x1^{र1}x2^{र2} \cdots xk^{रk} \right]$$

ऊपरी विस्तार में सामान्यतः अंश $a_न$ है

[\frac{न!}{र1! र2! र3! \dots रk!}] \times x1^{र1} x2^{र2} x3^{र3} \dots xk^{रk}]

ऊपरी विस्तार में तरंगों की संख्या समीकरण के गैर-नकारात्मक इन्टीग्रल हल के समाधानों की, होगी।

$$र1 + र2 + \dots + रk = न$$ के समाधानों की संख्या $$\binom{न+k-1}{k-1}$$ है, क्योंकि इस समीकरण का हर समाधान ऊपरी विस्तार में, एक तरंग को देता है।

विशेष औरिखयाँ

मामला-1:

ऊपरी विस्तार में, न + 3 - 1बिनोमियल{3-1}{2} = न + 2बिनोमियल{2}{2} के अनुसार, समाधानों की संख्या होगी।

मामला-2:

ऊपरी विस्तार में ऊपरी विस्तार में $न + 3सी3$ समाधान होते हैं।

टिप्पणी: $(x1 + x2 + \cdots + xm)^n$ के विस्तार में, बड़ी संख्या $\frac{न!}{q!एम - र\left(q+1\right)!^r}$ होती है, जहां $q$ और $r$ वह अंश होते हैं, जब $न$ को $म$ से विभाजित किया जाता है।

बहुविज्ञानिक विस्तार

$(x + y + z)^{10}$ का विस्तार $x$, $y$ और $z$ के विभिन्न घातियों के साथ टर्म्स को सम्मिलित करेगा, जिनका योग हमेशा 10 के बराबर रहेगा।

इस टर्म का संकेतक λx2y3z5 है क्योंकि यह 2x’s, 3y’s और 5z’s को कैसे व्यवस्थित किया जाए।

$(x^P1y^P2z^P3)*10 = \frac{\sum(10!)}{P1! P2! P3!}$

0 ≤ P1 + P2 + P3 ≤ 10

सामान्यतया,

$(x_1 + x_2 + \dots x_r)^n = \sum \frac{न!}{P_1! P_2! \dots P_r!} x_{P_1} x_{P_2} \dots x_{P_r}$

P1 + P2 + P3 + … + Pr = n, जहां 0 ≤ P1, P2, … Pr ≤ n

$(x_1 + x_2 + \dots + x_r)^n$ के विस्तार में टर्म्स की संख्या

ऊपरी विस्तार के सामान्य रूपांतरण से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि टर्म्स की संख्या $x_1$, $x_2$,$x_3$…, $x_n$ को विभिन्न घातियों में बाँटने के तरीकों की संख्या के बराबर होती है, जिससे की घातियों का योग हमेशा $n$ होता है।

$$x_1 + x_2 + \dots + x_r = n$$ के गैर-नकारात्मक इन्टीगरल समाधानों की संख्या $$\binom{n+r-1}{r-1}$$ होती है।

$(x + y + z)^3$ के विस्तार में टर्म्स की संख्या $\binom{3}{3} - \binom{3}{1} + 1 = \binom{5}{2} = 10$ होती है

विस्तार में देखा गया है कि

x0 y0 z0,
x0 y1 z2,
x0 y2 z1,
x0 y3 z0,
x1 y0 z2,
x1 y1 z1,
x1 y2 z0,
x2 y0 z1,
x2 y1 z0,
x3 y0 z0.

$(x + y + z)^n$ में टर्म्स की संख्या $\binom{n+3-1}{3-1} - 1 = \binom{n+2}{2}$ होती है।

$(x + y + z + w)^n$ में टर्म्स की संख्या $n + 4 - \binom{4}{1} - 1 = n + 3\binom{3}{1}$ होती है आदि।

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बिनोमियल समियोग पर समस्याएं

प्रश्न 1: बाईनोमियल प्रशंसा के तीसरे सदस्य का मान 2560 है, तो x का मान क्या है?

दिया गया:

यह एक हेडिंग है

समाधान:

यह एक हेडिंग है

(log_2x)^2 = 4

log_2x = 2 \text{ या } -2

x = 4 या 0.25

प्रश्न 2: अभिव्यक्ति x2[√x + (λ/x2)]10 में x2 के संक्रमण के संख्या को 720 मान रखती है, ऐसा करें।

दिया गया:

यह एक हेडिंग है

समाधान:

यह एक हेडिंग है

x2 [10Cr . λr . (x/2)(10-r) . (x²)-2r] = x2 [10Cr . (√x)10-r . (λ/x2)r]

$x^2 = \frac{10Cr \cdot \lambda r \cdot x(10-5r)}{2}$

इसलिए, r = 2

इसलिए, $$\binom{10}{2}\lambda^2 = 720$$

λ² = 16

λ = ±4

प्रश्न 3: $(x^3/3 + 3/x)^8$ के बाईनोमियल प्रशंसा में मध्य टर्म के लिए x के वास्तविक मानों का योग क्या है, जिसमें 5670 का मान होता है?

दिया गया:

यह एक हेडिंग है

समाधान:

यह एक हेडिंग है

T5 = 8C<sup>4</sup> × (x<sup>12</sup>/81) × (81/x<sup>4</sup>) = 5670

70 x 8 = 560

x = ±√3

प्रश्न 4: $ (x + 10)^{50} + (x - 10)^{50} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{50}x^{50} $ सभी $ x \in \mathbb{R} $ के लिए, तो $ \frac{a_2}{a_0} $ क्या है?

दिया गया:

यह एक हेडिंग है

समाधान:

यह एक हेडिंग है

(x + 10) \* 50 + (x - 10) \* 50

a2 = 2 × 50C2 × 1048

a0 = 2 × 10⁵⁰

a2/a0 = \frac{50C2}{102} = 12.25

उत्तर 5: अभिव्यक्ति (1 + x) (1 + x2) (1 + x3) . . . . . . (1 + x100) के विस्तार में x9 के अभिव्यक्ति का संक्रमण 100 है।

दिया गया:

यह एक हेडिंग है

समाधान:

यह एक हेडिंग है

x9 को 8 तरीकों में बनाया जा सकता है।

जैसे, x₉ x₁+8 x₂+7 x₃+6 x₄+5, x₁+3+5, x₂+3+4

x^9 का संक्रमण = 1 + 1 + 1 + ... + 8 = 8 \times 8।

प्रश्न 6: $(1 + x)^n + 5$ के तीन आपस में मिलने वाले सदस्यों के संक्रमण के अनुपात 5:10:14 है, तो n का मान क्या है?

दिया गया:

यह एक हेडिंग है

समाधान:

यह एक हेडिंग है

स्थानांतरण r-1 वाला, Tr और Tr+1 तीनों आपस में मिलने वाले सदस्यों का $(1 + x)^n + 5$ होता है

Tr-1 = (n+5) x Cr-2

Tr = (n+5)Cr⁻¹ xr⁻¹

Tr+1 = (n+5)Cr * xr

दिया गया

यह एक कथन है।

दिया गया यह एक कथन है।

(n+5) Cr-2 : 5

(n+5) Cr-1 : 10

(n+5) Cr : 14

इसलिए, $$\frac{(n+5) \ Cr-2}{5} = \frac{(n+5) \ Cr-1}{10} = \frac{(n+5) \ Cr}{14}$$

पहले दो परिणामों को तुलना करते हुए, हमें $n - 3r = -9$ मिलता है (1)

अंतिम दो परिणामों को तुलना करते हुए, हमें 5n - 12r = -30 मिलता है (2)।

मिश्रण 1 और 2 से हमें $n = 6$ मिलता है।

उत्तर 7: संख्या 183! + 3183 के इकाइयों के स्थान पर अंक 4 है।

दिया गया:

यह एक हेडिंग है

समाधान:

यह एक हेडिंग है

3183 = (34) x 45.33

183! का अंक 7 है और यह 0 से समाप्त होता है।

183! और 3183 के योग का यूनिट अंक 7 होता है।

उत्तर: 200

दिया गया: यह एक वाक्य है।

समाधान: यह एक वाक्य है।

कोंटेंट का हि संस्करण क्या है: (x + a)¹⁰⁰ + (x - a)¹⁰⁰ = 2¹⁰⁰C₀x¹⁰⁰ + 2¹⁰⁰C₂x⁹⁸a² + … + 2¹⁰⁰C₁₀₀a¹⁰⁰

कुल शब्द = 51.

उत्तर 9: [(1-t⁶)/(1 - t)] के विस्तार में t⁴ के संकलन का संकेतांक -t⁴ है।

दिया हुआ:

दुकान में आपका स्वागत है!

समाधान:

दुकान में आपका स्वागत है! :smiley:

⇒ [(1-t6)/(1 - t)] = (1 - t18 - 3t6 + 3t12)/(1 - t)

$(1 - t)^3$ में t के संकेतांक = 3 + 4 - 1

C4 = 6C2 = 15

(1 - x)^-n के विस्तार में x^r का संख्यात्मक संकेतांक = (r + n - 1) C_r

प्रश्न 10: [21/3 + 1/{2.(3)1/3}]¹⁰ के बाइनोमियल विस्तार में शुरुआत से पांचवीं टर्म से आखिरी टर्म के अनुपात का पता लगाएं?

दिया हुआ:

यह एक हेडिंग है

समाधान:

यह एक हेडिंग है

उत्तर 11: (a-b-c+d)¹⁰ के विस्तार में a³b²c⁴d का संकेतांक -10240 है।

दिया हुआ:

यह एक हेडिंग है

समाधान:

यह एक हेडिंग है

मल्टीनोमियल सिद्धांत और संकेतांक गुणक का उपयोग करके (a¹⁰ – b¹⁰ - c¹⁰ + d¹⁰) का विस्तार करें और आवश्यक परिणाम प्राप्त करें।

मल्टीनोमियल सिद्धांत का उपयोग करके, हमें हैं

![बाइनोमियल सिद्धांत समस्याएँ]()

हमें a^3b^2c^4d का संकेतांक प्राप्त करना है, जिसका अर्थ है कि r1 = 3, r2 = 2, r3 = 4, और r4 = 1 हैं।

∴ a³b²c⁴d का संकेतांक [(10)!/(3!².4!)] (-1)² (-1)^-4 = 12600 है।

उत्तर 12: $(1 + x + x^2+x^3)^{11}$ के विस्तार में $x^9$ का संकेतांक 11,279 है।

दिया हुआ:

यह एक हेडिंग है

समाधान:

यह एक हेडिंग है

दिए गए समीकरण में विस्तार सूत्र लागू करके, हम x⁴ का संकेतांक प्राप्त कर सकते हैं।

(1 + x) + x^2(1 + x) = (1 + x) (1 + x^2)

(1 + x + x^2 + x^3) \times 11 = (1 + x)^{11} \times (1 + x^2)^{11}

1 + \binom{11}{1}x^2 + \binom{11}{2}x^2 + \binom{11}{3}x^3 + \binom{11}{4}x^4 + \cdots

1 + 11C1x2 + 11C2x4 + 11C3x6 + 11C4x8 + 11C5x10 + 11C6x12

दो बाइनोमियल में दो घटकों के उत्पादों को नीचे दिए गए तरीके से छोटी की जाए तो दाहिनी तरफ के दो ब्रैकेट के उत्पाद में से टर्म प्राप्त होगा।

11C2x4 + 11C2x2 × 11C1x2 + 11C4x4 = 1

[11C2 + 11C2 × 11C1 + 11C4] x 4

⇒ [55 + 605 + 330] x 4 = 2790

x⁴ का संकेतांक 990 है।

प्रश्न 13: $(\sqrt{5} + 4\sqrt{n})^{100}$ के विस्तार में तुलनात्मक चिह्न से मुक्त शब्दों की संख्या क्या है?

दिया हुआ:

यह एक शीर्षक है

समाधान:

यह एक शीर्षक है

Tr+1 = $\frac{100Cr \cdot 5(100 - r)}{2nr/4}$

जहां $r = 0, 1, 2, \ldots, 100$

r को 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96 या 100 होना चाहिए

मानक शब्दों की संख्या = 26

प्रश्न 14: [x + {√(3(3-1))}^1/2]⁵ + [x + {√(3(3-1))}^1/2]⁵ का डिग्री क्या है?

दिया हुआ:

कंटेंट का हाई संस्करण क्या है: # यह एक शीर्षक है

समाधान:

यह एक शीर्षक है

[x + (3√2)⁵⁄₂]⁵

5C₀ x⁵ + 5C₂ x⁵ (x³ - 1) + 5C₄ x (x³ - 1)²

इसलिए, सबसे उच्च शक्ति = 7।

उत्तर: 726

दिया गया:

यह एक शीर्षक है

समाधान:

यह एक शीर्षक है

2726 को $(730 - 1)n$ के रूप में व्यक्त करके और बाइनोमियल सिद्धांत का उपयोग करके, हम चाहिए विशिष्ट अंक प्राप्त कर सकते हैं।

हमें 729 = 272 है

अब 2726 = 729<sup>13</sup> = (730 - 1)<sup>13</sup>

13C₀(730)¹³ - 13C₁(730)¹² + 13C₂(730)¹¹ - ... - 13C¹⁰(730)³ + 13C¹¹(730)² - 13C¹²(730) + 1

1000m + [(13 × 12)/2] × (14)^2 - (13) × (730) + 1

यहां m एक सकारात्मक पूर्णांक है।

1000m + 15288 - 9490 = 5799

इस प्रकार, 17256 के अंतिम तीन अंक 256 हैं।

बाइनोमियल सिद्धांत JEE समाधान

बाइनोमियल सिद्धांत: एक महत्वपूर्ण विषय

बाइनोमियल सिद्धांत - महत्वपूर्ण प्रश्न

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

बाइनोमियल सिद्धांत का सूत्र है: $(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k}$

$(x + y)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} x^{n-r}y^r$

बाइनोमियल विस्तार में सामान्य टर्म है T_r+1 = n_Cr x^n-r y^r।

$(x + a)^n + (x-a)^n$ के विस्तार में टर्मों की संख्या $2n$ है।

$(x + a)^n + (x-a)^n$ के विस्तार में टर्म हैं:

• $(n+2)/2$ अगर $n$ सम है
• $(n+1)/2$ अगर $n$ विषम है।

1. बाइनोमियल विस्तार के सम्मिलन का गणना करना
2. बर्नूली परीक्षण में घटना होने की संभावना की गणना करना

बाइनोमियल सिद्धांत का उपयोग गणित में बचे हुए और अंकों को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।