आपको अपने पिछले कक्षाओं में विभिन्न अवधारणाओं का अध्ययन करना चाहिए होगा, जैसे त्रिकोणमितीय, निजी और लघु अवधारणाओं के व्युत्पन्नों का अवधारणाओं का अध्ययन, लघुकारी अवधारणाओं का अध्ययन आदि। इस सेक्शन में आपको यह सीखने को मिलेगा कि अवधारणाएं गणितीय अवधारणाओं और वास्तविक जीवन में स्थितियों पर कैसे लागू किया जा सकता हैं। अवधारणाओं का व्यापक प्रयोग होता है, सिर्फ गणित और वास्तविक जीवन मे ही नहीं, बल्क साइंस, इंजीनियरिंग और भौतिकी जैसे क्षेत्रों में भी। यह एक महत्वपूर्ण विषय है जो कक्षा 12 गणित में कवर किया जाता है।

सामग्री की सूची:

अवधारणाओं का अनुप्रयोग

बदलती दर

‘बढ़ोतरी और घटना वाले संकेतक’

[स्पर्श रेखा और नर्मल](#स्पर्श-रेखा-और-नर्मल)

न्यूनतम और अधिकतम

एकतार्थता

अनुमान

‘+ विपर्यय का बिंदु’

रोज़मर्रा की जिंदगी का अनुप्रयोग

वीडियो पाठ

हल किए गए उदाहरण

अभ्यास प्रश्न

**[पूछे जाने वाले प्रश्न](#पूछे-जाने-व

अब एक बिंदु से गुजरती सीधी रेखा समीकरण जिसकी ढलान m हो सकती है, के रूप में लिखा जा सकता है: y - y1 = m(x - x1)

इसलिए, बिंदु P(x1, y1) पर वक्रीय y = f(x) की स्पर्श रेखा की ढल का आकलन x1 पर संयुक्तिक के व्युत्पन्न के द्वारा किया जा सकता है, यानी, f’(x1).

बिंदु P(x1, y1) पर स्पर्श रेखा का समीकरण है: y - y1 = \frac{dy}{dx}\bigg|_{(x_1,y_1)}(x-x_1)

y - y1 = f’(x - x1)

वक्रीय का सामान्य समीकरण है:

y - y1 = [-1/f’(x1)] * (x - x1)

या

(x - x1)f’(x1) + (y - y1) = 0

अधिकतम और न्यूनतम

एक वक्र की सबसे ऊची और कम से कम बिंदु का निर्धारण करने के लिए, या इसका परिवर्तन स्थान पता करने के लिए, अवकलज तस्वीरा लेने के लिए प्रयोग किया जाता है.

यदि f(x) डोमेन में हर x के लिए f(a) से कम या बराबर है, जब x = a, तो f(x) का एक पूर्णतामान मान होता है और बिंदु a f के अधिकतम मान का बिंदु होता है।।

यदि f(x) डोमेन में हर x के लिए f(a) से कम या बराबर है, जब x = a, तो f(x) का एक संबंधित अधिकतम मान होता है।

यदि f(x) डोमेन में हर x के लिए f(a) से अधिक या बराबर है और x = a, तो f(x) का एक पूर्णतामान मान होता है और बिंदु a f के बाहरी न्यूनतम मान का बिंदु होता है।

यदि f(x) डोमेन में हर x के लिए f(a) से अधिक या बराबर है और x = a, तो f(x) का एक संबंधित न्यूनतम मान होता है।

एकाधिकता

f(x) = ex, f(x) = nx, और f(x) = 2x + 3 के सभी उदाहरण में, ये सभी मोनोटॉनिक फ़ंक्शन हैं, जो कि अपने पूरे डोमेन में या तो बढ़ते हैं या घटते हैं।

जो फ़ंक्शन अपने डोमेन में ना बढ़ते हो और ना ही घटते हो उन्हें गैर-मोनोटॉनिक कहा जाता है।

उदाहरण के रूप में:

• f(x) = sin x
• f(x) = x²

एक बिंदु पर फ़ंक्शन मोनोटॉनिक अवतरण है

यदि एक बिंदु पर f(x) कम होता है, तो x = a के रूप में x नजदीकी देखते हुए f(x + h) > f(a)।

यदि ‘f’(x) बढ़ रहा है अगर और केवल अगर फ़ंक्शन बढ़ रहा है।।

यदि ‘f’(x) घट रहा है अगर और केवल अगर फ़ंक्शन घट रहा है।।

‘f’(x) 0 के बराबर होगा जब फ़ंक्शन अपने स्थानिक अधिकतम मान या न्यूनतम मान पर हो’

अनुमानित मूल्य की खोज

किसी राशि के बहुत छोटे परिवर्तन या परिवर्तन की अनुमानित मूल्य को अवकलज का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, जिसे $\Delta$ प्रतीत होता है।

यदि x परिवर्तन होता है, तो dx = x।

dy/dx = \frac{d}{dx}(x) = 1

क्योंकि x में परिवर्तन के होने पर, $ \frac{dy}{dx} \approx \frac{y}{x}$ इसलिए, $ dy \approx y $।

टुकड़ों का प्वाइंट

यदि $ f’(x_0) = 0 $ या $ f’’(x_0) $ वो समय बिंदु है, जहाँ $ f’(x_0) $ होता है, और यदि $ f’’(x) $ बदलता है जब $ x = x_0 $ होता है, तो $ x_0 $ को टुकड़े का प्वाइंट कहा जाता है।

यदि f"(x) < 0, x ∈ (a, b), तो वक्र y = f(x) अवरुद्ध रूप में होगा।

यदि f"(x) > 0, x ∈ (a,b), तो कर्व् y = f(x) ऊपर की ओर मुड़ रहा होगा (a,b) में।

उदाहरण के रूप में: f(x) = sin(x)

फंक्शन f(x) = sin(x) =0, x = nπ, n ∈ \mathbb{Z}

अवकलज के अनुप्रयोग वास्तविक जीवन में

व्यापार में लाभ और हानि का ग्राफ़िक रूपरेखा दिखाने के लिए।

तापमान की अस्थिरता की जांच करने के लिए।

मैंल की गति या यात्रित दूरी, जैसे कि किलोमीटर प्रति घंटा, मील प्रति घंटा, आदि की गणना करने के लिए।

निर्धारक अक्सर भौतिकी में कई समीकरणों की गणना में प्रयोग किए जाते हैं।

सेज्मोलॉजी के अध्ययन में, शोधकर्ता भूकंप के परिमाण की सीमा का पता लगाने में रुचि रखते हैं।

निर्धारकों के अनुप्रयोगों के पीछे की अवधारणाओं को समझकर, एक व्यक्ति निर्धारकों से संबंधित समस्याओं को बेहतर तरीके से हल कर सकता है।

वीडियो पाठ

निर्धारकों का उपयोग

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महत्वपूर्ण विषय

जांच करने के लिए महत्वपूर्ण प्रश्न

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अधिकतम और न्यूनतम

स्पर्श रेखा की समीकरण और समान्लौगिक का समीकरण

कक्षा 12 के लिए निर्धारकों का अनुप्रयोग

कक्षा 12 के लिए योगों का अनुप्रयोग एक तालिका को दर्शाता है

निर्धारकों के अनुप्रयोग के उदाहरण

उदाहरण 1:

इस वाक्य को फिर से लिखने की आवश्यकता है।

इस वाक्य को फिर से लिखा गया है।

समीकरण का अवकलन $f(x) = x^3 - 2x^2 + 2x$, $x \in \mathbb{Q}$, है $f’(x) = 3x^2 - 4x + 2$। क्योंकि $f’(x) > 0$ हर $x \in \mathbb{Q}$ के लिए, यह समीकरण $\mathbb{Q}$ पर बढ़ रहा है।

दिया गया:

यह एक हीडिंग है

समाधान:

यह एक हीडिंग है

f(x) = x^3 - 2x^2 + 2x

दोनों ओर प्रतियोगिता करके, हम प्राप्त करते हैं:

f(x) = 3x^2 - 4x + 2 > 0 हर x के लिए

इसलिए, Q पर f बढ़ रहा है।

उदाहरण 2:

मीन करें वह बिंदु का संदर्भीयोग पाएं जहां टैंजेंट वक्र y=x2− 5x + 5, जो रेखा 2y = 4x + 1 से समानांतर है, से गुजरती है।

दिया गया:

यह एक हीडिंग है

समाधान:

यह एक हीडिंग है

dy/dx = 2x - 5, x = x1 = 2

dy/dx|x=x1 = 2(2) - 5 = 4 - 5 = -1

2x1 ≠ 7

x1 = 3.5

y1 = $\frac{49-70+20}{4}$ = -$\frac{1}{4}$

y + ¼ = 2x - 7

4y + 1 = 8x - 28

4y = 8x - 29

8x - 4y = 29

x = ⅛ और y = -7 समीकरण x + y = -⅝ को संतुलित करता है।

उदाहरण 3:

वक्र, (y=x{{e}^{{{x}^{2}}}}) का टैंजेंट, ((1, e)) से गुज़रता है, और एक और बिंदु से भी गुज़रता है। इसे ढूंढें।

दिया गया:

यह एक हीडिंग है

समाधान:

यह एक हीडिंग है

$$\frac{dy}{dx}=e^{x^2}+x\cdot e^{x^2} \cdot 2x$$

x = 1 पर, टैंजेंट की ढल m = 3e

तांत्रिक समीकरण: \frac{dy}{dx} = \frac{f(x) - f(a)}{x - a}

y - e = 3e(x - 1)

y = 3e^x - 2e

बिंदु (4/3, 2e) इस पर स्थित होता है।

अभ्यास समस्याएं

1. तार्किक अंकन विधि का उपयोग करके $\sqrt{26}$ के अनुमानित मान को ढूंढें।

$f(x) = \frac{1}{x^2 + 2}$ के लिए स्थानिक अधिकतम या न्यूनतम को ढूंढें, यदि कोई हों।

3. सिद्ध करें कि f(x) = e–x एक सख्ततम मानदेय फ़ंक्शन है R पर:

यदि x<y है, तो,

f(x) = e–x

f(y) = e–y

e–x > e–y

इसलिए, f(x) > f(y), और f(x) R पर सख्ततम है।

संदर्भ में आम प्रश्नें निर्धारकों की

डेरिवेटिव का उपयोग क्या है?

डेरिवेटिव के उपयोग हैं:

• ऑप्टिमाइज़ेशन
• संतुलन
• प्रणाली के मॉडलिंग
• जोखिम प्रबंधन
• वित्तीय विश्लेषण

एक रूप में बदलते के संबंध में एक इकाई की रेट ऑफ चेंज की गिनती करने के लिए।

एक फ़ंक्शन के अधिकतम, न्यूनतम और सैडल प्वाइंट्स का निर्धारण करने के लिए।

एक फंक्शन को बंदरूप या उत्क्षेप बताने के लिए।

अनुमानों के लिए

एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन की टेंजेंट और नॉर्मल खोजने के लिए, उस बिंदु पर टेंजेंट रेखा की ढाल की गणना के लिए डेरिवेटिव का उपयोग करें।

यदि y = f(x) एक फ़ंक्शन है जिसकी हमें एक बिंदु (x1, y1) पर टेंजेंट खोजनी है, तो हम (x1, y1) पर dy/dx ढाल खोजते हैं। डेरिवेटिव का उपयोग करके यदि dy/dx > 0 होता है, तो फ़ंक्शन बढ़ रहा है, और यदि dy/dx < 0 होता है, तो फ़ंक्शन घट रहा है।

यदि $ f $ को समय-सीमित अंतराल $ [p, q] $ में एक सतत फ़ंक्शन माना जाता है और $ (p, q) $ में एक विभेद्य फ़ंक्शन, तो

f [p, q] पर घट रहा है अगर f'(x) < 0 हर x ∈ (p, q) के लिए

f [p, q] पर वृद्धि हो रहा है अगर f'(x) > 0 हर x ∈ (p, q) के लिए

डेरिवेटिव का उपयोग करके आंकड़ा संकेतिक का पता लगाने के लिए, आपको $ f’(x)=0 $ के लिए $ x $ की मान ढूंढनी होगी, जहां $ [p, q] $ अंतराल में $ f $ एक स्थिरता फ़ंक्शन होता है।

यदि f(x) एक विभेद्य फ़ंक्शन है, तो इसे निरंतर कहा जाता है।

“एक बिंदु $ x=a $ पर यदि और केवल यदि $ f(x) > 0 $ होता है”

“एक बिंदु $ x=a $ पर नीचे जुकाव होता है, यदि और केवल यदि $ f(x) < 0 $ होता है”

यहां, f ''(x) फ़ंक्शन f(x) का द्वितीय क्रम डेरिवेटिव है।