एक मैट्रिक्स का एडजॉइंट (जिसे एडजुगेट भी कहा जाता है) वही है जो उस विशेष मैट्रिक्स के कोफैक्टर मैट्रिक्स के परिवर्तन है। एक मैट्रिक्स A के लिए, एडजॉइंट को adj(A) के रूप में दर्शाया जाता है। दूसरी ओर, एक मैट्रिक्स A का अंकगुणक वह मैट्रिक्स है जो जब मैट्रिक्स A के साथ गुणा की जाए, तो एक आइडेंटिटी मैट्रिक्स देता है। मैट्रिक्स A का अंकगुणक A^-1 के रूप में दर्शाया जाता है।

मैट्रिक्स में सामग्री की सूची

मैट्रिक्स का परिचय

मैट्रिक्स के प्रकार

मैट्रिक्स के आपरेशन

एडजॉइंट और अस्तित्व का मैट्रिक्स

मैट्रिक्स की श्रेणी और विशेष मैट्रिक्सेस का पता लगाना

मैट्रिक्स का उपयोग करके रैद्र व्यंजनों को हल करना

मैट्रिक्स का एडजॉइंट

वर्गक एक मैट्रिक्स A की व्युत्पन्न रूप से $|A|$ द्वारा चिह्नित की जाती है।

(\begin{array}{l}यदि; A=\left[ \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & {{a}_{13}} \ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & {{a}_{23}} \ {{a}_{31}} & {{a}_{32}} & {{a}_{33}} \ \end{matrix} \right],;; तो ;;\left| A \right|=\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & {{a}_{13}} \ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & {{a}_{23}} \ {{a}_{31}} & {{a}_{32}} & {{a}_{33}} \ \end{matrix} \right|\end{array})

तत्वों के कोफैक्टर्स द्वारा निर्मित मैट्रिक्स है (\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \ A_{21} & A_{22} & A_{23} \ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix})

यहाँ (A_{11} = (-1)^{1+1} \left| \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \ a_{32} & a_{33} \ \end{matrix} \right| = a_{22}a_{33} - a_{23}.a_{32}) है

(\begin{array}{l}{{A}_{12}}={{\left( -1 \right)}^{1+2}}\left| \begin{matrix} {{a}_{21}} & {{a}_{23}} \ {{a}_{31}} & {{a}_{33}} \ \end{matrix} \right|=-{{a}_{21}}.,{{a}_{33}}+{{a}_{23}}.,{{a}_{31}}\ {{A}_{13}}={{\left( -1 \right)}^{1+3}}\left| \begin{matrix} {{a}_{21}} & {{a}_{22}} \ {{a}_{31}} & {{a}_{32}} \ \end{matrix} \right|={{a}_{21}}{{a}_{32}}-{{a}_{22}}{{a}_{31}};\end{array} )

(\begin{array}{l}{{A}_{21}}=-{{a}_{12}}{{a}_{33}}+{{a}_{13}}.,{{a}_{32}}; {{A}_{22}}={{a}_{11}}{{a}_{33}}-{{a}_{13}}.,{{a}_{31}};\end{array} )

(\begin{array}{l}{{A}_{23}}={{\left( -1 \right)}^{2+3}}\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} \ {{a}_{31}} & {{a}_{32}} \ \end{matrix} \right|=-{{a}_{11}}{{a}_{32}}+{{a}_{12}},.,{{a}_{31}}\{{A}_{31}}={{\left( -1 \right)}^{3+1}}\left| \begin{matrix} {{a}_{12}} & {{a}_{13}} \ {{a}_{22}} & {{a}_{23}} \ \end{matrix} \right|={{a}_{12}}{{a}_{23}}-{{a}_{13}},.,{{a}_{22}};\end{array})

(\begin{array}{l}{{A}_{32}}={{\left( -1 \right)}^{3+2}}\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{13}} \ {{a}_{21}} & {{a}_{23}} \ \end{matrix} \right|=-{{a}_{11}}{{a}_{23}}+{{a}_{13}}.,{{a}_{21}}\{{A}_{33}}={{\left( -1 \right)}^{3+3}}\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} \ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} \ \end{matrix} \right|={{a}_{11}}{{a}_{22}}-{{a}_{12}}.,{{a}_{21}};\end{array})

मैट्रिक्स A का एडजॉइंट A के को-फैक्टर्स का परिवर्तन है, और adj A के रूप में लिखा जाता है।

द्विघातित्र एक क्रमवार्तीनकरण мат्रिका ए के अजरे हुए क्रमवार्तीनकरणका प्रापक से गुणा है .

चाहे ए को एक वर्गीकरण मेट्रीक्स हो, फिर (प्रापक ए). ए = ए. (प्रापक ए) = |ए^{टि</सुप>|}

चाहे ए=संकल्पन के लिए ध्यानपूर्वक एा ध्यानपूर्वक, तो ऐच्छिक ए. ए = ‘ए और ए.. ए = |एव टि|

चाहे (\begin{arrayposing}àपस्कमैथ्य}ेरिऐ}ा &=ऐपेिक[बैठिअ]atsप्रापकetermetricalatrixऐCG\end{array} ) (\begin{arrayposing}=àपेचोर]ीखेशांशिन्चिऐ}ब+PRINT]tऐप्चक[बैठिंEQ]्substringatisप्रापकтер.ऐ =àप्रमाइjpgंHIPG6\end{array} )

ॳा प्रतिलिपिपिरर एन ए =ंसडी(\begin{array}}àऐपहस्याियां[ ाीस211ंअ的सांमुड़₤Fीस िंप+तांतंस₤ilsतांतंसंप+तांतंस-prefixF8+जतंतंसंखकान47+जतंतंसं[मेखांशिन्चिन्पती

यदि A skew-symmetric है, तो AB’ + BA’ = 0 और BA’ = 0।

Symmetric

(b) Skew-Symmetric

(c) Invertible

None of these

Given:

यह एक हीडिंग है

Solution:

यह एक हीडिंग है

(c) हमको मिला है, (A’B’) = AB = -A’B [A skew symmetric है]; = B’A’ = B(-A)

-BA =

BA^T = -BA

Example 4: लेट  $\begin{array}{l}A=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \ 1 & 3 & 4 \ 1 & 4 & 3 \ \end{matrix} \right],\end{array}$

तब ढूंढे adj A.

Given:

मेरी पसंदीदा फिल्म

Solution:

मेरी पसंदीदा फिल्म

शेष तत्वों का निर्धारित करने के लिए हम सभी मात्रिका के संघटकों के समान पंक्ति और स्तंभ के सभी तत्वों को नष्ट करके प्राप्त कर सकते हैं।

(\left|A_{11}\right| = \begin{vmatrix} 3 & 4 \ 4 & 3 \ \end{vmatrix} = 3 \times 3 - 4 \times 4 = -7)

(\begin{array}{l}{{A}{12}}=-\left| \begin{matrix} 1 & 4 \ 1 & 3 \ \end{matrix} \right|=1, \quad {{A}{13}}=\left| \begin{matrix} 1 & 3 \ 1 & 4 \ \end{matrix} \right|=1; \ {{A}{21}}=-\left| \begin{matrix} 2 & 3 \ 4 & 3 \ \end{matrix} \right|=6, \quad {{A}{22}}=\left| \begin{matrix} 1 & 3 \ 1 & 3 \ \end{matrix} \right|=0\end{array} )

(\begin{array}{l}{{A}{23}}=-2,,,,,{{A}{31}}=-1;,,,,{{A}{32}}=-1, ;;;{{A}{33}}=1\end{array})

संघातक मानक का प्रतिस्थापन ढूंढने के लिए प्रतिस्थापक A है।

(\begin{array}{l}\therefore Adj,,A=\left| \begin{matrix} 6 & -7 & 1 \ -1 & 1 & 2 \ -1 & 1 & -1 \ \end{matrix} \right|\end{array} )

उत्तर: सभी कथन सही हैं।

यदि $A = 0$ है, तो $adj(A) = 0$ होता है

(b) एक 3x3 चौकोर मात्रक का आधारवर्ग भी एक चौकोर मात्रक होता है

(c) दो ऊपरी त्रिकोणीय मात्रिकाओं का गुणनखंड एक ऊपरी त्रिकोणीय मात्रक होता है

$(d) \text{adj}(AB) = \text{adj}(A) \cdot \text{adj}(B)$

Given:

यह एक हीडिंग है

Solution:

यह एक हीडिंग है

(d) हमारे पास, $adj(AB) = adj(B) \cdot adj(A)$ है और नहीं $adj(AB) = adj(A) \cdot adj(B)$ है

मात्रिका का उल्टा

यदि $A$ और $B$ दो समान क्रम की वर्गीकृत मात्रिकाएं हैं, जो $AB = BA = I$ ($I$ = यूनिट मात्रिका) हैं

यदि $A$ एक वर्गीकृत मात्रिका है और $B$ उसका अवर्तक है, तो $B$ को $A$ का उल्टा कहा जाता है, अर्थात B = A^-1, और A B का अवर्तक है। एक वर्गीकृत मात्रिका A का उल्टा होने का शर्त है कि मात्रिका A गैर-सामरिक हो, अर्थात्, |A| ≠ 0। दोनों पक्षों का, |A| |B| = I होना। यह संबंध यह सूचित करता है कि |A| ≠ 0 है, अर्थात् मात्रिका A गैर-सामरिक है।

एक मात्रिका के उल्टे और अवधारणा मात्रिका के स्वामित्व की संपत्ति

यदि A एक क्रम n की वर्गीकृत मात्रिका है, तो A \cdot adj(A) = adj(A) \cdot A = |A|\cdot I, यहां I क्रम n की पहचान मात्रिका है।

एक वर्गीकृत मात्रिका A उल्टा है यदि और केवल यदि वह गैर-सामरिक है।

समतुल्य रूप मात्रिका का उल्टा खोजने में समस्याएँ

विवरण 1: यदि (\begin{array}{l}A=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -1 \ 3 & 4 & 5 \ 0 & -6 & -7 \ \end{matrix} \right].\end{array} ) है, तो A का उल्टा क्या है?

दिया गया:

यह एक हेडर है

समाधान:

यह एक हेडर है

सूत्र से, (\frac{प्रति_उपसंघ}{\left| A \right|} = A^{-1})

हमारे पास $$\begin{array}{l}{A_{11}}=\left[ \begin{matrix} 4 & 5 \ -6 & -7 \ \end{matrix} \right]=2,,,{A_{12}}=-\left[ \begin{matrix} 3 & 5 \ 0 & -7 \ \end{matrix} \right]=21\end{array}$$

इसी तरह $$\begin{array}{l}{A_{13}}=-18,{A_{31}}=4,{A_{32}}=-8,{A_{33}}=4,{A_{21}}=+6,{A_{22}}=-7,{A_{23}}=6\end{array}$$

A का कोफैक्टर मात्रिका $$=\begin{bmatrix} 2 & 21 & -18\ 6&-7 & 6\ 4 & -8 & 4 \end{bmatrix}$$

कोफैक्टर मात्रिका की प्रवर्तित मात्रिका = प्रति उपसंघ A

(\begin{array}{l} प्रति उपसंघ A = \left[ \begin{matrix} 4 & -6 & -2 \ -8 & 7 & 21 \ 4 & -6 & -18 \ \end{matrix} \right] \end{array})

इसके अलावा $$\left| A \right|=\left| \begin{matrix} 1 & 0 & -1 \ 3 & 4 & 5 \ 0 & -6 & -7 \ \end{matrix} \right|=\left{ 4\times \left( -7 \right)-\left( -6 \right)\times 5-3\times \left( -6 \right) \right}$$

-28 + 30 + 18 = 20

20 =

$\left[ \begin{matrix} \frac{1}{10} & \frac{3}{10} & \frac{2}{10} \ \frac{21}{20} & -\frac{7}{20} & -\frac{8}{20} \ -\frac{18}{20} & \frac{6}{20} & \frac{2}{10} \ \end{matrix} \right]$

विवरण 2: यदि एक मात्रिका A और $\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \ 2 & 0 \ \end{matrix} \right]$ का गुणनफल मात्रिका $\left[ \begin{matrix} 3 & 2 \ 1 & 1 \ \end{matrix} \right]$ है,

तो A-1 का मान है:

(\begin{array}{l}(a) \left[ \begin{matrix} 0 & -1 \ -2 & 4 \ \end{matrix} \right];;;; \ (b) \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \ -2 & 4 \ \end{matrix} \right] ;;;; \ (c)\left[ \begin{matrix} 0 & -1 \ 2 & 4 \ \end{matrix} \right]\end{array} )

इनमें से कोई नहीं

दिया गया:

हैलो वर्ल्ड

समाधान:

हैलो वर्ल्ड

यदि (AB = C) है, तो सूत्र (\Rightarrow {{A}^{-1}}=B{{C}^{-1}}) का उपयोग करके हम (A^{-1}) की मान्यता प्राप्त कर सकते हैं।

यहां, $$A\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \ 2 & 0 \ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 3 & 2 \ 1 & 1 \ \end{matrix} \right]\Rightarrow {{A}^{-1}}=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \ 2 & 0 \ \end{matrix} \right]{{\left[ \begin{matrix} 3 & 2 \ 1 & 1 \ \end{matrix} \right]}^{-1}}=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \ 2 & 0 \ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 1 & -2 \ -1 & 3 \ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \ 2 & -4 \ \end{matrix} \right]$$

विवरण 3:

रखें $$A =\left[ \begin{matrix} 2 & 1 & -1 \ 0 & 1 & 0 \ 1 & 3 & -1 \ \end{matrix} \right];और; B =\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 5 \ 2 & 3 & 1 \ -1 & 1 & 1 \ \end{matrix} \right].$$ सिद्ध करें कि $${{\left( AB \right)}^{-1}}={{B}^{-1}}{{A}^{-1}}.$$

दिया गया:

यह एक हेडर है

समाधान:

यह एक हेडर है

यहां, फ़ॉर्मूला का उपयोग करके तारक विधि ( (\begin{array}{l}{{\left( AB \right)}^{-1}}=\frac{adj,AB}{\left| AB \right|}.\end{array} ) का उपयोग करके हम (\left( AB \right)^{-1}) को (\left| AB \right|) और (adj,AB) प्राप्त करके प्राप्त कर सकते हैं. इसी तरह, हम (\left( B \right)^{-1}) और (\left( A \right)^{-1}) की मानें भी प्राप्त कर सकते हैं. फिर, (\left( B \right)^{-1}) और (\left( A \right)^{-1}) को गुणा करके, हम दिए गए समस्या को सिद्ध कर सकते हैं.

यहां,

(\begin{array}{l}AB=\left[ \begin{matrix} 2 & 1 & -1 \ 0 & 1 & 0 \ 1 & 3 & -1 \ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 5 \ 2 & 3 & 1 \ -1 & 1 & 1 \ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 2+2+1 & 4+3-1 & 10+1-1 \ 0+2+0 & 0+3+0 & 0+1+0 \ 1+6+1 & 2+9-1 & 5+3-1 \ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 5 & 6 & 10 \ 2 & 3 & 1 \ 8 & 10 & 7 \ \end{matrix} \right]\end{array} )

अब,

$$\left| AB \right|=\left| \begin{matrix} 5 & 6 & 10 \ 2 & 3 & 1 \ 8 & 10 & 7 \ \end{matrix} \right|=5(21-10)-6(14-8)+10(20-24)=55-36-40=-21.$$

ट्रांसपोज़ के आधार पर बने जहरीला मिश्रण का जबरदस्ती किया जायेगा (\left|\text{ AB }\right|) का मान सामान्यवत बनाने के लिए :

(\begin{array}{l}\left[ \begin{matrix} 3\left( 7 \right)-1\left( 10 \right) & -2\left( 7 \right)+8\left( 1 \right) & 2\left( 10 \right)-3\left( 8 \right) \ -6\left( 7 \right)+10\left( 10 \right) & 5\left( 7 \right)-8\left( 10 \right) & 5\left( 10 \right)-6\left( 8 \right) \ 6\left( 1 \right)-10\left( 3 \right) & 5\left( 1 \right)-2\left( 10 \right) & 5\left( 3 \right)-6\left( 2 \right) \ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 11 & 6 & -4 \ -58 & -45 & 2 \ -24 & -15 & 3 \ \end{matrix} \right]\end{array} )

$$\left(AB\right)^{-1}=\frac{adj,AB}{\left| AB \right|}=\frac{-1}{21}\left[ \begin{matrix} 11 & 58 & -24 \ -6 & -45 & 15 \ -4 & -2 & 3 \ \end{matrix} \right]$$

आगे,

$$\left| B \right|=\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 5 \ 2 & 3 & 1 \ -1 & 1 & 1 \ \end{matrix} \right|=1\left( 3-1 \right)-2\left( 2+1 \right)+5\left( 2+3 \right)=21$$

बी के जहरीले मिश्रण का जबरदस्ती किया जायेगा जो B का ad जहरीले मिश्रण बनाने के लिए इस्तेमाल हुआ है :

(\begin{array}{l}adj B = \begin{bmatrix} 2 & 3 & -13 \ -3 & 6 & 9 \ 5 & -3 & -1 \end{bmatrix}\end{array})

∴(B^{-1}=\frac{adj,B}{\left| B \right|}=\frac{1}{21}\left[ \begin{matrix} 2 & 3 & -13 \ -3 & 6 & 9 \ 5 & -3 & -1 \ \end{matrix} \right]); (\left| A \right|=\left( 2 \cdot -1 - 1 \cdot 1 \right)=-1)

जहरीले मिश्रण A के जभदस्ती को बनाने के लिए A कॉफ़ेक्टर मैट्रिक्स में तबीजी करके भरें

(\begin{array}{l}\left[ \begin{matrix} -1 & 0 & -1\ -2& -1& -5\ 1 & 0 & 2 \ \end{matrix} \right]\end{array})

$$A^{-1}=\frac{adj,A}{\left| A \right|}=\frac{1}{-1}\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & -1 \ 0 & 1 & 0 \ 1 & 5 & -2 \ \end{matrix} \right]$$

क्या उपयोगकर्ता के प्रश्न का हिन्दी संस्करण मिल सकता है?

कंटेंट का हिंदी संस्करण क्या है:

(\begin{array}{l}A{{A}^{-1}}=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 2 \ 1 & 2 & 3 \ 3 & x & 1 \ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 1/2 & -1/2 & 1/2 \ -4 & 3 & y \ 5/2 & -3/2 & 1/2 \ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & y+1 \ 0 & 1 & 2\left( y+1 \right) \ 4\left( 1-x \right) & 3\left( x-1 \right) & 2+xy \ \end{matrix} \right]\end{array} )

(\begin{array}{l}1-x=0, \ x+1=0 \ y-1=0, \ y+1=0 \ 2+xy=1\end{array})

एक्स = 1, वाई = -1

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

एक मैट्रिक्स की इन्वर्स की तलाश करने का सूत्र है A^-1 = (1/det(A)) * adj(A)

एक मैट्रिक्स A की इनवर्स jab (A^{-1} = \frac{\text{adj } A}{\text{det } A}) द्वारा दी जाती हैं।

इनवर्स का एज्वॉइंट ऐसा जो मैट्रिक्स में एज से पहले ट्रांस्पोज़ होता है।

एक मैट्रिक्स का एज्वॉर क्या होता है उसकी इनवर्स तैयार करने के बाद

एक ऐसी मैट्रिक्स का एज हैं जो एक्स एन एक्स के तौर पर एक आईडेंटिटी मैट्रिक्स होती हैं

अगर एक मैट्रिक्स A एक चौरस मैट्रिक्स हैं और वह स्वरूप का है, तो (A\cdot adj(A) = adj(A)\cdot A = |A|\cdot I) होता हैं, यहां I एन ऑर्डर आईडेंटिटी मैट्रिक्स हैं।

एक डिटर्मिनन्ट का माइनर उपयोग करके एक माइंडेट तैयार किया जाता हैं

एक डिटर्मिनन्ट का एक तत्व aij का माइंडेट (M_{ij})तक पहुंचने के लिए जो उसके अंदर हो तो वह माइंडेट कहलाता हैं, जिसमें तैयार करने के लिए उसकी i रो पर मौजूद इलेमेंट को हटा दिया जाता हैं और जिसमें उसकी jth स्थान हैं ।

एक गैर-सामर्थिक मैट्रिक्स ऐसी मैट्रिक्स हैं, जिसका डिटर्मिनन्ट ० के बराबर होता हैं।

एक चौरस मैट्रिक्स बहश तब |B| = 0 होती है जब B का determinant ० होता हैं।

2x2 मैट्रिक्स के अजुंक्त क्या हैं?

मुख्य ऐज पर अवक्षेपण करें (a11 और a22)। फिर a12 और a21 स्थान पर नकारात्मक चिन्ह दें। परिणामस्वरूप मैट्रिक्स दी गई 2x2 मैट्रिक्स का अजुंक्त होता हैं।