पारंपरिकता से तीन आयामी ज्यामिति का परिचय

3डी ज्यामिति 3-आयामी अंतरिक्ष में आकृतियों की गणित को सम्मिलित करती है और तीन समन्वय शामिल होते हैं, जिनमे x-समन्वय, y-समन्वय, और z-समन्वय शामिल हैं। 3डी अंतरिक्ष में, एक बिंदु की स्थान का सटीक निर्देशांक निर्धारित करने के लिए 3 पैरामीटर आवश्यक होते हैं। JEE के लिए, तीन-आयामी ज्यामिति एक महत्वपूर्ण विषय है, क्योंकि परीक्षा में कई प्रश्न शामिल होते हैं। यहां, तीन-आयामी समन्वय से संबंधित मूल अवधारणाओं को कवर किया गया है, जो 3डी में एक बिंदु पर विभिन्न आपरेशनों को समझने में मदद करेगा।

3डी ज्यामिति में समन्वय प्रणाली

3-आयामी ज्यामिति में, एक समन्वय प्रणाली का उपयोग किया जाता है ताकि निर्देशांक तालिका में किसी बिंदु की स्थिति या स्थान की पहचान की जा सके। समन्वय तालिका और प्रणालियों के संबंध में सभी मूल अवधारणाओं, सिद्धांतों और सूत्रों को कवर करने वाले समन्वय ज्यामिति पाठ को देखें और बेहतर समझ पाएं।

त्रिज्यामी समन्वय प्रणाली

एक सामान्य बिंदु से अपने आप में परस्पर सीधे एक दूसरे पर लंबी तीन रेखाएं होती हैं, इसे मूलबिन्द के रूप में जाना जाता है। इन तीनों रेखाओं को अक्षेस कहा जाता है, और इन्हें x-अक्ष, y-अक्ष, और z-अक्ष के रूप में संदर्भित किया जाता है। एक अवलोकन, जिसे O कहा जाता है, इन अक्षों का उपयोग करता है ताकि उसकी स्थिति के मुकाबले किसी अन्य बिंदु की स्थान को माप सके। तीन-अयामी अंतरिक्ष में, किसी बिंदु की निर्देशांकों की माप हो सकती है, जितना कि उसने x-अक्ष, y-अक्ष और z-अक्ष के साथ कितना आंतरण कर लिया है। उदाहरण के लिए, यदि किसी बिंदु की स्थिति (3, -4, 5) है, तो यह 3 इकाईयों के साथ धारीद्विधा x-अक्ष, 4 इकाईयों के साथ धारीद्विधा y-अक्ष और 5 इकाईयों के साथ धारीद्विधा z-अक्ष पर आंतरण किया है।

त्रिज्यामी समन्वय प्रणाली - 3डी ज्यामिति

मूलबिन्द से दूरी

3डी अंतरिक्ष में मूलबिन्द से दूरी - 3डी ज्यामिति

P(x, y, z) की दूरी मूलबिन्द (0, 0, 0) से Pythagorean theorem द्वारा दी जाती है: (\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}).

दो बिंदुओं के बीच की दूरी

2 बिंदुओं $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ के बीच की दूरी है: $\sqrt{({x_2}-{x_1})^2 + ({y_2}-{y_1})^2 + ({z_2}-{z_1})^2}$

दो बिंदुओं को जोड़ने की पंक्ति का विभाजन

P(x1, y1, z1) और Q(x2, y2, z2) दो बिंदुओं को जोड़ रही है। R अन्तर्गत पंक्ति संवेदनशीलता से PQ रेखांकन करता है और निर्देशांक होते हैं।

(\left( \frac{m{{x}_{2}}+n{{x}_{1}}}{m+n},\frac{m{{y}_{2}}+n{{y}_{1}}}{m+n},\frac{m{{z}_{2}}+n{{z}_{1}}}{m+n} \right))

3D अंतरिक्ष में पर्यावरण

3डी अंतरिक्ष में पर्यावरण

3डी ज्यामिति

AB एक रेखांश होती है। यह AB और PQ या CD के बीच का कोण है उसका प्रक्षेपण AB cos $\theta$ होता है।

कार्तेरीय समवेकी में दिशा-कोण और दिशा-अनुपात

एक रेखा के दिशा-कोण वे हैं जो समकोण पूर्व x, y और z-अक्षों के साथ बनाती हैं।

आगे अन्वेषण करें: दिशा-कोण और दिशा-अनुपात

हालांकि, लाइन द्वारा दिए गए कोणों द्वारा निर्देश घनों को l, m और n द्वारा चिह्नित किया जाता है, और वे cos α, cos β और cos γ के बराबर होते हैं।

सबूत:

(l=\cos \theta ,m=\sin \theta \cos \phi ,n=\sin \theta \sin \phi ) मान लें।

तब,

\begin{align*} l^2 + m^2 + n^2 &= \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \cos^2 \phi + \sin^2 \theta \sin^2 \phi \ &= \cos^2 \theta + \sin^2 \theta (\cos^2 \phi + \sin^2 \phi) \ &= \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \ &= 1 \end{align*}

निर्देश घनों के प्रमाणिक अनुपात के रूप में संबंधित तीन संख्याएं, a, b और c, को निर्देश अनुपात कहा जाता है।

अतः, $$\frac{l}{a}=\frac{m}{b}=\frac{n}{c}=\frac{\sqrt{{{l}^{2}}+{{m}^{2}}+{{n}^{2}}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$$

(\therefore l=\frac{a}{\sqrt{\sum{{{a}^{2}}}}},\ m=\frac{b}{\sqrt{\sum{{{a}^{2}}}}},\ n=\frac{c}{\sqrt{\sum{{{a}^{2}}}}})

###दो दिए गए बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा का दिशा घन

P$(x_1, y_1, z_1)$ और Q$(x_2, y_2, z_2)$ दो बिंदु हों। तो, निर्देश घन इस प्रकार होंगे

$$\begin{array}{l} l=\frac{{x_2}-{x_1}}{\left| PQ \right|}, m=\frac{{y_2}-{y_1}}{\left| PQ \right|}, n=\frac{{z_2}-{z_1}}{\left| PQ \right|} \end{array}$$

###दो रेखाओं के बीच का प्रेक्षण

ध्यान दें P(x1, y1, z1) और Q(x2, y2, z2)।

दिशा घनों l, m, n के इस प्रकार की प्रोजेक्शन है (\begin{array}{l}l\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)+m\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)+n\left( {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right)\end{array})

###थ्री-डीमेंशनल स्थान में दो रेखाओं के बीच का कोण

निर्देश घनों $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ वाली दो रेखाओं के बीच का कोण द्वारा दिया जाता है $$\theta = \cos^{-1}\left(l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2\right).$$

###त्रिविमीय ज्यामिति में दिए गए त्रिभुज के समतल एरिया का प्रोजेक्शन

$\bar{A}$ कोसई, कोसई बीटा और कोसई गामा के निर्देश घन हो। तो $\bar{A}$ के प्रोजेक्शन हैं ${A}{1}=A\cos \alpha$, ${A}{2}=A\cos \beta$, और ${A}_{3}=A\cos \gamma$।

(\therefore A^2 = A_1^2 + A_2^2 + A_3^2)

###त्रिभुज का क्षेत्र:

#प्रोजेक्शन सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्र ढूंढना

(\begin{array}{l}=\frac{1}{4}{{\left| \begin{matrix} {{x}_{1}} & {{y}_{1}} & 1 \ {{x}_{2}} & {{y}_{2}} & 1 \ {{x}_{3}} & {{y}_{3}} & 1 \ \end{matrix} \right|}^{2}} + \frac{1}{4}{{\left| \begin{matrix} {{y}_{1}} & {{z}_{1}} & 1 \ {{y}_{2}} & {{z}_{2}} & 1 \ {{y}_{3}} & {{z}_{3}} & 1 \ \end{matrix} \right|}^{2}} + \frac{1}{4}{{\left| \begin{matrix} {{x}_{1}} & {{z}_{1}} & 1 \ {{x}_{2}} & {{z}_{2}} & 1 \ {{x}_{3}} & {{z}_{3}} & 1 \ \end{matrix} \right|}^{2}}\end{array})

कोऑर्डिनेट ज्यामिति में त्रिभुज की क्षेत्र, इसके आविष्कार और प्रॉब्लम समाधान स्ट्रैटेजी के बारे में अधिक जानें यहाँ!

त्रिविमीय ज्यामिति में समतल की संकल्पना

x, y, और z में एक धारिक समीकरण तीन-मात्रा स्थान में समतल की प्रतिष्ठा करता है।

भव्य विषय राशिफल तुल्य कर बिंदुओं में आवर्तित होगा जो $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ हैं: $$\frac{{x - x_1}}{{x_2 - x_1}} = \frac{{y - y_1}}{{y_2 - y_1}} = \frac{{z - z_1}}{{z_2 - z_1}}$$

सिरफ दो एकसंख्याक दिगों का समानांतर निर्धारित करने के लिए नीचे दिए गए समीकरण का उपयोग करें: $$\frac{{x - x_1}}{{l}} = \frac{{y - y_1}}{{m}} = \frac{{z - z_1}}{{n}}$$

कोणी रेखा जो $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ से होती है, का समीकरण है $$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$$

दो समतलों को समीकरण रूप में परिवर्तित करें

a1x + b1y + c1z + d1 = 0 और a2x + b2y + c2z + d2 = 0 में से x को निकालकर y और z के बीच संबंध प्राप्त करें। उसी समानता को उपयोग करें और y को निकालकर x और z के बीच संबंध प्राप्त करें। फिर, x को z के हिसाब से और y को z के हिसाब से निकालें। अंत में, x और y के लिए दो अभिव्यक्तियों को समान करें।

एक समतल और एक रेखा का प्रसेकन

(\begin{array}{l} ax + by + cz + d = 0 \\ \frac{x-{{x}_{1}}}{l}=\frac{y-{{y}_{1}}}{m}=\frac{z-{{z}_{1}}}{n}.\end{array} ) को प्रसेकित होते हैं।

t को लेने के द्वारा प्रसेकन बिंदु को प्राप्त करें।

(\begin{array}{l} \frac{x - x_1}{l} = \frac{y - y_1}{m} = \frac{z - z_1}{n} = t \end{array})

चरणों को रद्द करने से (x), (y) और (z) के मान को समतल के समीकरण (ax + by + cz + d = 0) में प्रतिस्थापित करके, हम प्राप्त करते हैं:

(ax_{1} + b(y_{1} + mt) + c(z_{1} + nt) + d = 0)

दिए गए सीधी रेखा के माध्यम से एक समतल का प्रस्थान

सीधी रेखा होने पर (\begin{array}{l}\frac{x-{{x}_{1}}}{l}=\frac{y-{{y}_{1}}}{m}=\frac{z-{{z}_{1}}}{n}\end{array} ), तो प्लेन का समीकरण ax + by + cz + d = 0 होता है, तब

(ax_1 + by_1 + cz_1 + d = 0)

और

(al + bm + cn = 0)

और अन्य दिए गए शर्तों से a, b, c निर्धारित होते हैं।

3डी ज्यामिति में दो रेखाओं की समतलता

(\begin{array}{l}\frac{x-{{x}_{1}}}{{{l}_{1}}}=\frac{y-{{y}_{1}}}{{{m}_{1}}}=\frac{z-{{z}_{1}}}{{{n}_{1}}},,\text{और},,\frac{x-{{x}_{2}}}{{{l}_{2}}}=\frac{y-{{y}_{2}}}{{{m}_{2}}}=\frac{z-{{z}_{2}}}{{{n}_{2}}}\end{array} )

दो रेखाएँ समतल होती हैं यदि $$\left| \begin{matrix} {{x}_{2}}-{{x}_{1}} & {{y}_{2}}-{{y}_{1}} & {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \ {{l}_{1}} & {{m}_{1}} & {{n}_{1}} \ {{l}_{2}} & {{m}_{2}} & {{n}_{2}} \ \end{matrix} \right|=0$$

एक बिंदु से एक सीधी रेखा तक की दूरी

ऊपर दिए गए छवि में सीधी रेखा से एक बिंदु की दूरी - 3D ज्यामिति दिखरही है।

(\frac{x-\alpha }{l}=\frac{y-\beta }{m}=\frac{z-\gamma }{n})

AQ = सीधी रेखा पर प्रोजेक्शन AP $$=l\left( {{x}_{1}}-\alpha \right)+m\left( {{y}_{1}}-\beta \right)+n\left( {{z}_{1}}-\gamma \right)$$

(\therefore PQ=\sqrt{A{{P}^{2}}-A{{Q}^{2}}})

दो विलंबित रेखाओं के बीच की सबसे छोटी दूरी

दो विलंबित रेखाओं हैं $$\begin{array}{l}\frac{x-{{x}_{1}}}{{{l}_{1}}}=\frac{y-{{y}_{1}}}{{{m}_{1}}}=\frac{z-{{z}_{1}}}{{{n}_{1}}}\end{array} $$ और $$\begin{array}{l}\frac{x-{{x}_{2}}}{{{l}_{2}}}=\frac{y-{{y}_{2}}}{{{m}_{2}}}=\frac{z-{{z}_{2}}}{{{n}_{2}}}\end{array} $$

सबसे छोटी दूरी है

(\frac{\left| \begin{matrix} {{x}_{2}}-{{x}_{1}} & {{y}_{2}}-{{y}_{1}} & {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \ {{l}_{1}} & {{m}_{1}} & {{n}_{1}} \ {{l}_{2}} & {{m}_{2}} & {{n}_{2}} \ \end{matrix} \right|}{\sqrt{\sum{{{\left( {{m}_{1}}{{n}_{2}}-{{m}_{2}}{{n}_{1}} \right)}^{2}}}})

दो बिंदुओं के बीच सबसे कम दूरी का समीकरण है:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

(\left| \begin{matrix} x-{{x}_{1}} & y-{{y}_{1}} & z-{{z}_{1}} \ {{l}_{1}} & {{m}_{1}} & {{n}_{1}} \ l & m & n \ \end{matrix} \right|=0) यह एकमात्र युग्म है

“मुझे सेब, संतरा, और केले पसंद हैं”

मुझे सेब, संतरा, और केले पसंद हैं।

(\left| \begin{matrix} x-{{x}_{2}} & y-{{y}_{2}} & z-{{z}_{2}} \ {{l}_{2}} & {{m}_{2}} & {{n}_{2}} \ l & m & n \ \end{matrix} \right|=0)

3D ज्यामिति पर समस्याएं

समस्या 1. ऐसा मान निकालें कि अगर एक चरित्रित विमान निरंतर माप 64 टेट्राहेड्रन को बनाता है जो स्थानांतरण समय निरंतर xyz = uK³ होता है।

उत्तर: विमान का समीकरण इस तरह लिखा जा सकता है (\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1)

टेट्राहेड्रन का सेन्ट्रॉयड $(\frac{a}{4}, \frac{b}{4}, \frac{c}{4})$ होता है।

टेट्राहेड्रन का आयतन = $\frac{abc}{6} = 64\mathrm{K}^3$.

इसलिए $$\frac{a}{4}=x, \frac{b}{4}=y, \frac{c}{4}=z$$

हमारे पास $$\frac{abc}{6} = \frac{{4}^{3}xyz}{6} = 64{K}^{3}.$$ होता है।

xyz = 6,000

तुलना करने पर हमारे पास u = 6 है।

समस्या 2. (2, 4, 5) और (3, 5, 7) बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा को yz समतल का अनुपात क्या है?

उत्तर: अनुपात है $\lambda$: 1.

x-आधारित = 0

(\frac{3\lambda +2}{\lambda +1} = 0 \Leftrightarrow \lambda = -\frac{2}{3})

(\lambda = \frac{-2}{3})

अनुपात 2:3 है

समस्या 3. (\sum{{{\cos }^{2}}\alpha =\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma+\cos^2\delta )

मुझे बिल्लियों से प्यार है!

उत्तर: मुझे प्यार है बिल्लियाँ!

उस रेखा की दिशा संवेदी घनी होने पर आइए (l, m, n) हों।

पहले झुकाव की दिशा संवेदी है (1/√3, 1/√3, 1/√3)।

दूसरे झुकाव की दिशा संवेदी है (+1/√3, -1/√3, 1/√3)।

तीसरे झुकाव की दिशा संवेदी है (1/√3, +1/√3, -1/√3)।

चौथे झुकाव की दिशा संवेदी है (1/√3, -1/√3, -1/√3)।

(\therefore \cos \alpha = \frac{l + m + n}{\sqrt{3}})

(\begin{array}{l} \cos \beta = \frac{l - m + n}{\sqrt{3}}, \ \cos \gamma = \frac{l + m - n}{\sqrt{3}}, \ \cos \delta = \frac{l - m - n}{\sqrt{3}} \end{array})

(\therefore \sum{{{\cos }^{2}}\alpha } = \frac{4}{3}.)

समस्या 4. रेखाएँ (\begin{array}{l}\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-2}{0} \ \text{और} \ \frac{x-1}{1}=\frac{2y+3}{3}=\frac{z+5}{2}\end{array} ) के बीच का कोण है

उत्तर: (\cos \theta = \frac{3\times1 - 2\times \frac{3}{2} + 0\times2}{\sqrt{3^2+(-2)^2+0^2}\sqrt{1^2+(\frac{3}{2})^2+2^2}})

$$\therefore \theta =\frac{\pi }{2}$$

समस्या 5. यदि रेखाएँ (\begin{array}{l}\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{{{x}_{1}}}=\frac{z-3}{{{x}_{2}}}\ \text{और}\ \frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-4}{5}\end{array} ) एक ही समतल में स्थित हैं, तो साबित कीजिए कि समीकरण (\begin{array}{l}{{x}_{1}}{{t}^{2}}+\left( {{x}_{2}}+2 \right)t+a=0\end{array} ) के रूटों का योग -2 के बराबर है।

उत्तर: इसे निबंध में प्रयास किया जाना चाहिए।

समस्या 6. यदि दोनों, $$2x+y+3z-1=0$$ और $$x+2y-3z-1=0$$, तथा $$x/K=y/2=z / -12$$ के साथ एक समत्रिभुज समतल बनाई जाती है, तो K का मान क्या होगा?

उत्तर: निबंध में प्रयास किया जाना चाहिए।

समस्या 7. रेखाएँ $$x=y=z$$ और $$x-1=y-1=(z-1)/d$$ को समश्रेणी में, जिसका सामान्य d बनाने वाले समतल में स्थित हैं, के लक्षणांक कोसाइन्स हैं।

उत्तर: इस पद को पो लिखा गया है।

समस्या 8. यदि रेखाएँ $$x=y=z$$ और $$x \sin A + y \sin B + z \sin C = 2d^2, \quad x \sin 2A + y \sin 2B + z \sin 2C = d^2,$$ हैं, जहां $$(A + B + C = \pi)$$, तो

\(\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\)

उत्तर: निबंध में प्रयास किया जाना चाहिए।

ज्ञात कर रहें हैं खंड: ( \left( \सिं 2ए + \सिं 2बी + \सिं 2सी \right)त = {{डिप } थ </त> )

(\begin{फलक}{l}\सिं(2ए) + \सिं(2बी) - \सिं\left(2ए + 2बी\right) = \frac{{डिप } थ}{त}\end{फलक} )

(\begin{फलक}{l}\Rightarrow 2\सिं \left( ए+बी\right).\कोस \left( ए-बी\right) - 2\सिं \left( ए+बी\right).\कोस \left( ए+बी\right) = \frac{{{डिप } थ}}{त}\end{फलक} )

(\begin{फलक}{l}\Rightarrow \frac{4\सिं सी,,\सिं ए.,,\सिं बी}{त}={{डिप } थ}\rightarrow{{}}\left( ी \right)\end{फलक} )

फिर, $\सिं ए + \सिं बी + \सिं सी$

(\begin{फलक}{l}2\सिं \frac{ए+बी}{2}\कोस \frac{ए-बी}{2} + 2\सिं \frac{सी}{2}\कोस \frac{सी}{2}\end{फलक} )

(\begin{फलक}{l}2\कोस \frac{सी}{2}\कोस \frac{ए-बी}{2} + 2\सिं \frac{सी}{2}\सिं \frac{सी}{2}\end{फलक} )

(\begin{फलक}{l}2\कोस \frac{सी}{2}\left(\कोस \frac{ए-बी}{2} + \कोस \frac{ए+बी}{2}\right)\end{फलक} )

(\begin{फलक}{l}2\कोस \frac{सी}{2} \cdot 2\कोस\frac{ए}{2} \cdot \कोस \frac{बी}{2} = \frac{2{{डिप } थ}}{त} \rightarrow \left( ी \right)\end{फलक} )

(i) को (ii) से कहे भाजित करना

\सिं \frac{ए}{2} \cdot \सिं \frac{बी}{2} \cdot \सिं \frac{सी}{2} = \frac{1}{16}\

समस्या 9. एक स्पेयर का समीकरण $(3, 6, -4)$और तटस्थता करता हुआ समतल $\ए + जी -की=10$ द्वारा दिया गया है $${{\left(सी-3 \right)}^{2}}+{{\left(जी-6 \right)}^{2}}+{{\left( की+4 \right)}^{2}}={{के}^{2}}$$ इसलिए $के =$

उत्तर: समतल का समीकरण है:

$$\ए - जी -की - 10 = 0$$

$(3, 6, -4)$ से $(12, 10, -10)$ तक की दूरी है $\left| \frac{12}{3} \right| = 4$

इसलिए, क = 4.

वेक्टर बीजगणित और 3D ज्यामिति: महत्वपूर्ण विषय

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शीर्ष 10 सबसे महत्वपूर्ण और प्रत्याशित जेईई प्रश्न 3डी ज्यामिति पर

3D ज्यामिति - जेईई अड्वांस्ड समस्याएँ

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

यदि l, m और n एक रेखा के दिशा कोज़ाइन हैं, तो l² + m² + n² = 1 होगा।