संभावना

13.1 अवलोकन

13.1.1 शर्ती संभावना

यदि $E$ और $F$ एक ही रेंडम प्रयोग के साम्पल स्थान से सम्बंधित दो घटनाएं हैं, तो घटना $E$ की शर्त यही है कि घटना $F$ घटित हो चुकी है, जिसे $P(E \mid F)$ के रूप में लिखा जाता है, यह निर्धारित होता है

$ P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}, P(F) \neq 0 $

13.1.2 शर्ती संभावना की गुणधर्म

चांद की सांद्रता $S$ के द्वारा आयोजित जाँच की दो घटनाओं $E$ और $F$ हों। तो:

(i) $P(S \mid F)=P(F \mid F)=1$

(ii) $P[(A \cup B) \mid F]=P(A \mid F)+P(B \mid F)-P[(A \cap B \mid F)]$, जहां $A$ और $B$ $S$ के साथ संबंधित किसी भी दो घटनाओं को दर्शाते हैं।

(iii) $P(E^{\prime} \mid F)=1-P(E \mid F)$

13.1.3 संभावना पर गुणांकन थिएम

$E$ और $F$ दो घटनाओं के साथ संबंधित हों जो एक प्रयोग के नमूना प्रयोग के साथ संबंधित हैं। तब

$ \begin{matrix} P(E \cap F)=P(E) P(F \mid E), P(E) \neq 0 \\ =P(F) P(E \mid F), P(F) \neq 0 \end{matrix} $

अगर $E, F$ और $G$ तीन घटनाएं हैं जो नमूना स्थान के साथ संबंधित हैं, तो

$ P(E \cap F \cap G)=P(E) P(F \mid E) P(G \mid E \cap F) $

13.1.4 स्वतंत्र घटनाएं

$E$ और $F$ दो घटनाओं के साथ संबंधित हों जो एक नमूना स्थान $S$ के साथ संबंधित हैं। यदि उन में से किसी एक के प्राप्ति की संभावना दूसरे के प्राप्ति को प्रभावित नहीं करती है, तो हम कहते हैं कि दो घटनाएं स्वतंत्र हैं। इस प्रकार, यदि

(a) $\quad P(F \mid E)=P(F)$, यदि $P(E) \neq 0$

(b) $\quad P(E \mid F)=P(E)$, यदि $P(F) \neq 0$

संभावना पर गुणांकन का उपयोग करके, हमें यह जानकारी मिलती है

(c) $\quad P(E \cap F)=P(E) P(F)$

तीन घटनाएं $A, B$ और $C$ में से कहलाती हैं में एकदृष्टि हैं यदि निम्नलिखित सभी शर्तें पूर्ण हैं:

$ \begin{aligned} & P(A \cap B)=P(A) P(B) \\ & P(A \cap C)=P(A) P(C) \\ & P(B \cap C)=P(B) P(C) \\ \text{और} \hspace{5mm} & P(A \cap B \cap C)=P(A) P(B) P(C) \end{aligned} $

13.1.5 नमूना स्थान का भागफलन

यदि $S$ नमूना स्थान का भागीदारी बयान करता है तो एक सेट घटनाओं $E_1, E_2, \ldots ., E_n$ को कहलाता है

(a) $\quad E_i \cap E_j=\varphi, i \neq j ; i, j=1,2,3, \ldots \ldots, n$

(b) $\quad E_i \cup E_2 \cup \ldots \cup E_n=S$, और

(c) $\quad$ प्रत्येक $E_i \neq \varphi$, अर्थात $i=1,2, \ldots, n$ के लिए $P(E_i)>0$ है

13.1.6 कुल संभव्यता के प्रमेय

$S$ नमूना स्थान का भागीदारी $ \lbrace E_1, E, \ldots, E_n \rbrace $ हो। $A$ को $S$ के साथ संबंधित कोई भी घटना हो तो

$ P(A)=\boldsymbol{{}\sum _{j=1}^{n}} P(E_j) P(A \mid E_j) $

13.1.7 बेस का प्रमेय

यदि $E_1, E_2, \ldots, E_n$ एक दूसरे को मानका और स्र्वत्र घटनाओं के साथ संबंधित हैं, और $A$ कोई भी अधूरा संभाव्यता वाली घटना है, तो

$ P(E_i \mid A)=\frac{P(E_i) P(A \mid E_i)}{\sum _{i=1}^{n} P(E_i) P(A \mid E_i)} $

13.1.8 यादात्मक मानक और उसका संभाव्यता वितरण

एक यादात्मक मानक एक ऐसा वास्तविक मूल्यीन संघ होता है जिसका डोमेन एक यादात्मक प्रयोग का सैम्पल स्थान होता है।

एक यादात्मक मानक $X$ की संभाव्यता वितरण एक संख्या सिस्टम होती है

कन्टेंट का हिन्दी संस्करण क्या है:

$\newline$

जहां $p_i>0, \quad i=1,2, \ldots, n, \sum _{i=1}^{n} p_i=1$।

13.1.9 एक यादृच्छिक मानचित्रीय मान का माध्य और विचलन

$X$ एक यादृच्छिक मान है जो $x_1, x_2, \ldots ., x_n$ मान और $p_1, p_2, \ldots, p_n$ अवकाश के साथ लिये जाने की संभावनाएँ प्राप्त करता है, भले ही कि $p_i \geq 0, \sum _{i=1}^{n} p_i=1$ है। मान $X$ का माध्य, $\mu$ बनाम $X$ का अपेक्षित मान जिसे $E(X)$ से प्रदर्शित किया जाता है, इस प्रकार परिभाषित है:

$ \mu=E(X)=\sum _{i=1}^{n} x_i p_i $

और विचलन, $\sigma^{2}$ से प्रदर्शित होता है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

$ \sigma^{2}=\sum _{i=1}^{n}(x_i-\mu)^{2} p_i=\sum _{i=1}^{n} x_i^{2} p_i-\mu^{2} $

या इसके समानता या तो

$ \sigma^{2}=E(X-\mu)^{2} $

एक यादृच्छिक मान $X$ का मानक विचलन $\sigma$ इस प्रकार परिभाषित है:

$ \sigma=\sqrt{\text{ विचलन }(X)}=\sqrt{\sum _{i=1}^{n}(x_i-\mu)^{2} p_i} $

13.1.10 बर्नौली परीक्षण

जब परीक्षणों को निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने पर नामित किया जाता है, तो यादृच्छिक परीक्षण के नाम से जाना जाता है:

(i) परीक्षणों की एक सीमित संख्या होनी चाहिए

(ii) परीक्षणों में आपस में स्वतंत्रता होनी चाहिए

(iii) प्रत्येक परीक्षण के केवल दो परिणाम होने चाहिए: सफलता या विफलता

(iv) प्रत्येक परीक्षण में सफलता (या असफलता) की संभावना हर परीक्षण में अभी नहीं रहती है।

13.1.11 बिनोमियल वितरण

यदि एक यादृच्छिक मान $X$ मान लेने $0,1,2, \ldots, n$ हो तब कहा जाता है की $X$ का वितरण विशेषांक $n$ और $p$ के साथ होता है , यदि इसका प्राबल्यता वितरण निम्न प्रकार की होती है

$ P(X=r)={ }^{n} C_r p^{r} q^{n-r}, $

यहां $q=1-p$ और $r=0,1,2, \ldots, n$ है।

13.2 हल किए गए उदाहरण

संक्षेप उत्तर (S. A.)

~~ उदाहरण 1 $A$ और $B$ दो उम्मीदवार हैं जो कर्मचारी के लिए एक कॉलेज में प्रवेश की उम्मीद में हैं। $A$ का चयन होने की संभावना 0.7 है और ऐसा प्रत्येक का एक मात्र चयन होने की संभावना 0.6 है। यह पायें की $B$ के चयन की संभावना क्या है।

समाधान $p$ को $B$ का चयन होने की संभावना मान लेते हैं।

$P($ अच्छी तरह एकजुड़ता में केवल $A,B$ में से एक चयन होता है )$=0.6$ (दिया गया है)

$\Rightarrow \quad P(A$ चयन होता है, $B$ नहीं चयन होता है; $B$ चयन होता है, $A$ नहीं चयन होता है )$=0.6$

$ \Rightarrow \quad P(A \cap B^{\prime})+P(A^{\prime} \cap B)=0.6 $

$ \begin{matrix} \Rightarrow & P(A) P(B^{\prime})+P(A^{\prime}) P(B)=0.6 \\ \\ \Rightarrow & (0.7)(1-p)+(0.3) p=0.6 \\ \\ \Rightarrow & p=0.25 \end{matrix} $

इसलिए, $B$ के चयन की संभावना 0.25 है।

~~ उदाहरण 2 $A$ और $B$ दो घटनाओं में कम से कम एक होने की संभावना $p$ है। यदि केवल $A, B$ में से एक घटना होने की संभावना $q$ है, तो साबित करें कि $P(A^{\prime})+P(B^{\prime})=2-2 p+q$।

समाधान यहां P (अच्छी तरह समवायिक होने की संभावना के: समवायिक में से कभी एक घटना होती है) $=q$ (दिया गया है), हम पाते हैं

$ \begin{aligned} & P(A \cup B)-P(A \cap B)=q \\ \Rightarrow \quad & p-P(A \cap B)=q \\ \Rightarrow \quad & P(A \cap B)=p-q \\ \Rightarrow \quad & 1-P(A^{\prime} \cup B^{\prime})=p-q \\ \Rightarrow \quad & P(A^{\prime} \cup B^{\prime})=1-p+q \\ \Rightarrow \quad & P(A^{\prime})+P(B^{\prime})-P(A^{\prime} \cap B^{\prime})=1-p+q \\ \end{aligned} $

साबित होता है कि $P(A^{\prime})+P(B^{\prime})=2-2 p+q$।

$\Rightarrow \quad P(A’) + P(B’) = (1-p+q) + P(A’ \cap B’) \ & \hspace{23mm} = (1-p+q) + (1-P(A \cup B)) \ & \hspace{23mm} = (1-p+q) + (1-P) \ & \hspace{23mm} = 2-2p+q.$

~~ उदाहरण 3 एक कारख़ाने में निर्मित बल्बों में 10% लाल रंग में और $2 %$ लाल और क्षतिग्रस्त होते हैं। यदि कोई बल्ब यादृच्छिक रूप से चुना जाए, तो यदि वह लाल है तो उसका क्षतिग्रस्त होने की संभावना निर्णय करें।

समाधान बल्ब लाल और क्षतिग्रस्त होने के घटनाएं A और B हों तो लें।

$ \begin{aligned} & P(A)=\frac{10}{100}=\frac{1}{10}, \ & P(A \cap B)=\frac{2}{100}=\frac{1}{50} \end{aligned} $

$ P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1}{50} \times \frac{10}{1} = \frac{1}{5} $

इस प्रकार, अगर वह लाल होता है, तो उसकी क्षतिग्रस्त होने की संभावना $\frac{1}{5}$ है।

~~ उदाहरण 4 दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं। एक पासा को 6 पर प्राप्त करने का घटना A है और दूसरा पासा 2 पर प्राप्त करने का घटना B है। क्या घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं?

समाधान: $\quad A=\lbrace {(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}\rbrace $

B=$\lbrace (1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2) \rbrace$

$A \cap B= \lbrace (6,2)\rbrace$

$ P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}, \quad P(B)=\frac{1}{6}, \quad P(A \cap B)=\frac{1}{36} $

घटनाएं A और B स्वतंत्र होंगी अगर

$ \begin{aligned} & P(A \cap B)=P(A)P(B) \ & \text{अर्थात,} LHS=P(A \cap B)=\frac{1}{36}, RHS=P(A)P(B)=\frac{1}{6} \times \frac{1}{6}=\frac{1}{36} \end{aligned} $

इसलिए, A और B स्वतंत्र हैं।

~~ उदाहरण 5 एक समिति में 4 छात्र यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं, जो में से 8 लड़कों और 4 लड़कियों की गणना होती है। यदि कम से कम एक लड़की समिति में होती है, तो समिति में ठीक 2 लड़कियाँ होने की संभावना की गणना करें।

समाधान $A$ को प्रतिकृत करेंगे जब कम से कम एक लड़की चुनी जाती है, और $B$ की घटना को प्रतिकृत करेंगे जब समिति में ठीक 2 लड़कियाँ चुनी जाती हैं। हमें $P(B \mid A)$ की गणना करनी है।

क्योंकि $A$ जब कम से कम एक लड़की चुनी जाती हैं, इसलिए $A’$ ऐसा घटना हैं जब कोई लड़की चुनी नहीं जाती है, अर्थात 4 लड़के चुने जाते हैं। फिर

$ P(A’)=\frac{{ }^{8} C_4}{{ }^{12} C_4}=\frac{70}{495}=\frac{14}{99} $

$ \Rightarrow \quad P(A)=1-\frac{14}{99}=\frac{85}{99} $

अब $P(A \cap B)=P(2$ लड़के और 2 लड़कियाँ $)=\frac{{ }^{8} C_2 \cdot{ }^{4} C_2}{{ }^{12} C_4}$

$ =\frac{6 \times 28}{495}=\frac{56}{165} $

इसलिए $P(B \mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=\frac{56}{165} \times \frac{99}{85}=\frac{168}{425}$

~~ उदाहरण 6 एक निश्चित कारख़ाने में 3 मशीनें $E_1, E_2, E_3$ प्रतिदिन के बिजली ट्यूब की कुल दैनिक उत्पादन की 50%, 25% और 25% उत्पन्न करती हैं। ज्ञात हैं कि एक दिन के उत्पादन से एक बिजली ट्यूब का 4% क्षतिग्रस्त होता है और $E_3$ पर उत्पन्न किए गए 5% क्षतिग्रस्त होते हैं। यदि एक ट्यूब यादृच्छिक रूप से एक दिन के उत्पादन से चुना जाए, तो उसकी क्षतिग्रस्त होने की संभावना की गणना करें।

समाधान: $D$ को प्रतिकृत करो की उत्पादन से उठाए गए ट्यूब क्षतिग्रस्त है

लास्टी $A_1, A_2$ और $A_3$ ऐसी घटनाओं को दर्शाते हैं जिनमें ट्यूब मशीन $E_1, E_2$ और $E_3$ पर उत्पन्न होता है, क्रमशः।

$ \begin{aligned} & P(D)=P(A_1) P(D \mid A_1)+P(A_2) P(D \mid A_2)+P(A_3) P(D \mid A_3) \\ & P(A_1)=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}, P(A_2)=\frac{1}{4}, P(A_3)=\frac{1}{4} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} भी है \quad \quad & P(D \mid A_1)=P(D \mid A_2)=\frac{4}{100}=\frac{1}{25} \\ & P(D \mid A_3)=\frac{5}{100}=\frac{1}{20} . \end{aligned} $

इन मानों को (1) में लगाते हैं, हमें मिलता है

$ \begin{aligned} P(D) & =\frac{1}{2} \times \frac{1}{25}+\frac{1}{4} \times \frac{1}{25}+\frac{1}{4} \times \frac{1}{20} \\ & =\frac{1}{50}+\frac{1}{100}+\frac{1}{80}=\frac{17}{400}=.0425 \end{aligned} $

~~ उदाहरण 7 एक निष्पक्ष पाठ के 10 बार निकालने पर प्राप्त किया जाने वाले कोई भी न्यूनतम गुणवत्ता के अनुरूप प्राप्त किया जाएगा।

हल यहां सफलता एक ऐसा गुणवत्ता है जो निष्पक्ष पाठ के द्वारा वापस प्राप्त नहीं हुआ है, अर्थात् 3 या 6।

इसलिए, $\quad p(3 या 6)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

10 बार में r सफलता का संभावनात्मक आदान-प्रदान अवधारणा द्वारा दिया जाता है

$ P(r)={ }^{10} C_r \big(\frac{1}3\big)^{r} \quad \big(\frac{2}{3}\big)^{10-r} $

अब $ P(\text{ कम से कम } 8 \text{ सफलताओं में })=P(8)+P(9)+P(10) $

$ \begin{aligned} ={ }^{10} C_8 \Big(\frac{1}{3}\Big)^{8} \Big(\frac{2}{3}\Big)^{2} & + { }^{10} C_9 \Big(\frac{1}{3}\Big)^9 \Big(\frac{2}3\Big)^{1}+{ }^{10} C _{10} \Big(\frac{1}{3}\Big)^{10} \\ & =\frac{1}{3^{10}}[45 \times 4+10 \times 2+1]=\frac{201}{3^{10}} . \end{aligned} $

~~ उदाहरण 8 एक शून्य संख्यात्मक मान-प्रतिस्पर्धा $X$ का निम्नलिखित प्राप्तिपूर्ण वितरण है:

$C$ की मान ढूंढें। साथ ही वितरण की औसत भी ढूंढें।

हल क्योंकि $\Sigma p_i=1$, इसलिए अगर हमें मिलेगा

$ \begin{matrix} C+2 C+2 C+3 C+C^{2}+2 C^{2}+7 C^{2}+C=1 \\ \text{ हांकि,} \quad \quad 10 C^{2}+9 C-1=0 \\ \text{ अर्थात् } \quad \quad (10 C-1)(C+1)=0 \\ \Rightarrow \quad \quad C=\frac{1}{10}, \quad C=-1 \end{matrix} $

इसलिए, $C$ की मान $\frac{1}{10}$ है (परिणाम नहीं!)

$ \begin{aligned} & \text{ औसत }=\sum _{i=1}^{n} x_i p_i=\sum _{i=1}^{7} x_i p_i \\ &=1 \times \frac{1}{10}+2 \times \frac{2}{10}+3 \times \frac{2}{10}+4 \times \frac{3}{10}+5 \Bigg( \frac{1}{10} \Bigg) ^{2}+6 \times 2 \Bigg( \frac{1}{10}\Bigg)^{2}+7 \Bigg( 7 \Bigg(\frac{1}{10} \Bigg) ^{2}+\frac{1}{10} \Bigg) \\ &=\frac{1}{10}+\frac{4}{10}+\frac{6}{10}+\frac{12}{10}+\frac{5}{100}+\frac{12}{100}+\frac{49}{100}+\frac{7}{10} \\ &=3.66 . \end{aligned} $

लॉंग आंसर (L.A.)

हिये कंटेंट है: P(X=0)= & P( no red ball )=P(4 white balls ) \ & =\frac{{ }^{4} C_4}{{ }^{12} C_4}=\frac{1}{495} \end{aligned} $

P(X=1)=P(1 red ball and 3 white balls )

= \frac{{ }^{8} C_1 \times{ }^{4} C_3}{{ }^{12} C_4}=\frac{32}{495} $

P(X=2)=P(2 red balls and 2 white balls )

= \frac{{ }^{8} C_2 \times{ }^{4} C_2}{{ }^{12} C_4}=\frac{168}{495} $

P(X=3)=P(3 red balls and 1 white ball )

= \frac{{ }^{8} C_3 \times{ }^{4} C_1}{{ }^{12} C_4}=\frac{224}{495} $

P(X=4)=P(4 red balls )=\frac{{ }^{8} C_4}{{ }^{12} C_4}=\frac{70}{495} .

इसलिए निम्नलिखित यह आवश्यक प्रायिकता वितरण है.

~

उदाहरण 10 कुछ पाठ के तीन मुड़ी छक्कों में सिक्के फेंकने की संख्या का वेरियंस और मानक विचलन निरूपण कीजिये.

समाधान X की संख्या को सिक्कों फेंकने के लिए कहा जाता है। इसलिए, X के मान हैं 0,1,2, 3. जब तीन बार सिक्का फेंका जाता है, हम प्राप्त करते हैं

नमूना अंतरिक्ष S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

\begin{aligned} P(X=0)&=P(\text{कोई भी सिक्का नहीं है})=P(TTT)=\frac{1}{8}\ P(X=1)&=P(\text{केवल एक सिक्का})=P(HTT, THT, TTH)=\frac{3}{8}\ P(X=2)&=P(\text{दो सिक्के})=P(HHT, HTH, THH)=\frac{3}{8}\ P(X=3)&=P(\text{तीन सिक्के})=P(HHH)=\frac{1}{8} \end{aligned}

इसलिए, X की प्रायिकता वितरण है:

X का वेरियंस है $\sigma^{2}=\Sigma x_i^{2} p_i-\mu^{2}, \hspace{20mm} (1)$

जहां $\mu$ X का औसत है जो दिया जाता है

\begin{aligned} \mu & =\Sigma x_i p_i=0 \times \frac{1}{8}+1 \times \frac{3}{8}+2 \times \frac{3}{8}+3 \times \frac{1}{8}\ & =\frac{3}{2} \hspace{60mm} (2) \end{aligned}

अब

\begin{aligned} \Sigma x_i^{2} p_i & =0^{2} \times \frac{1}{8}+1^{2} \times \frac{3}{8}+2^{2} \times \frac{3}{8}+3^{2} \times \frac{1}{8}\ & =3 \hspace{5mm} (3) \end{aligned}

(1), (2) और (3) से,हमें मिलता है

\begin{aligned} & \sigma^{2}=3- \bigg( \frac{3}{2} \bigg) ^{2} =\frac{3}{4} \\ & \text{मानक विचलन }=\sqrt{\sigma^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2} . \end{aligned}

~

उदाहरण 11 6 के उदाहरण से सेट1 परिप्रेक्ष्य में क्या कुछ तार गाजा गया है, उसकी प्रायिकता निरूपित कीजिए।

समाधान अब हमे पाना है P $(A_1 / D)$

\begin{aligned} P(A_1 / D) & =\frac{P(A_1 \cap D)}{P(D)}=\frac{P(A_1) P(D / A_1)}{P(D)} \ & =\frac{\frac{1}{2} \times \frac{1}{25}}{\frac{17}{400}}=\frac{8}{17} . \end{aligned}

~

उदाहरण 12 एक कार निर्माण कारखाने में दो संयंत्र, $X$ और $Y$ हैं। संयंत्र $X$ $X$ का 70% और संयंत्र $Y$ $Y$ का 30% कार निर्माण करता है। $X$ संयंत्र पर 80% और $Y$ संयंत्र पर 90% कार मानक गुणवत्ता वाली होती हैं। एक कार का प्रायिकता वितरण में से एक चुना जाता है और यह मानक गुणवत्ता का है। इसकी प्रायिकता पाना है कि यह $X$ संयंत्र से आयी है ?

Solution उदाहरण 13 के लिए, यदि $A$ और $B$ दो घटनाएं हों। अगर $P(A)=0.2, P(B)=0.4, P(A \cup B)=0.6$ है, तो $P(A \mid B)$ बराबर है

(A) 0.8

(B) 0.5

(C) 0.3

(D) 0

समाधान सही उत्तर है (D)। दिए गए डेटा से $P(A)+P(B)=P(A \cup B)$ है।

इससे ज्ञात होता है कि $P(A \cap B)=0$। इसलिए $P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=0$।

~~ उदाहरण 14 यदि $A$ और $B$ दो घटनाएं हों जिसमें $P(A)=0.6, P(B)=0.2$, और $P(A \mid B)=0.5$ है।

तो $P(A^{\prime} \mid B^{\prime})$ के बराबर है

(A) $\frac{1}{10}$

(B) $\frac{3}{10}$

(C) $\frac{3}{8}$

(D) $\frac{6}{7}$

समाधान सही उत्तर है (C)। $P(A \cap B)=P(A \mid B) P(B)$

$=0.5 \times 0.2=0.1$

$P(A^{\prime} \mid B^{\prime})= \frac{P(A^{\prime} \cap B^{\prime})}{P(B^{\prime})}=\frac{P[(A \cup B^{\prime})]}{P(B^{\prime})}=\frac{1-P(A \cup B)}{1-P(B)}$

$=\frac{1-P(A)-P(B)+P(A \cap B)}{1-0.2}=\frac{3}{8}$

~~ उदाहरण 15 अगर A और B आपस में अविपरीत हो और $0<P(A)<1$ और $0<P(B)<1$ है, तो निम्नलिखित में से कौन सही नहीं है?

(A) $A$ और $B$ स्वतंत्रता पूर्ण हैं

(B) $A$ और $B^{\prime}$ स्वतंत्र हैं

(C) $A^{\prime}$ और $B$ स्वतंत्र हैं

(D) $A^{\prime}$ और $B^{\prime}$ स्वतंत्र हैं

समाधान सही उत्तर है (A)।

~~ उदाहरण 16 एक ढ़ेरी यादृच्छिक मानक $X$ हो। $X$ का प्रायिकता वितरण नीचे दिया गया है:

तो $E(X)$ बराबर है

(A) 6

(B) 4

(C) 3

(D) -5

समाधान सही उत्तर है (B)।

$E(X)=30 \times \frac{1}{5}+10 \times \frac{3}{10}-10 \times \frac{1}{2}=4$।

~~ उदाहरण 17 एक ढ़ेरी यादृच्छिक मानक $X$ होता है, जो $x_1, x_2, \ldots, x_n$ मान स्वीकार करता है और $p_1, p_2, \ldots, p_n$ के प्रायिकता मान होते हैं, तो $X$ का चर निम्न में से दिया जाता है

(A) $E(X^{2})$

(B) $E(X^{2})+E(X)$

(C) $E(X^{2})-[E(X)]^{2}$

(D) $\sqrt{E(X^{2})-[E(X)]^{2}}$

समाधान सही उत्तर है (C)।

उदाहरण 18 और 19 में खाली स्थान भरें।

प्रश्नावली 13.3

संक्षेप उत्तर (S.A.)

1. एक लोडेड पासा के लिए, परिणामों की संभावनाओं को निम्नरूप से दिया गया है:

   $P(1)=P(2)=0.2, P(3)=P(5)=P(6)=0.1$ और $P(4)=0.3$।

   पासा दो बार फेंका जाता है। लस्ट $A$ और $B$ ऐसे घटनाओं हैं, जहां एक ही बार नंबर होता है। और “कुल स्कोर 10 या अधिक है” यह तय करें कि क्या $A$ और $B$ अविभाज्य हैं या नहीं।

2. ऊपर वाले प्रश्नावली का उल्लेख करें। यदि पासा निष्पक्ष होता है, तो क्या घटनाएं $A$ और $B$ अविभाज्य होंगी या नहीं तय करें।

3. ऐसा होने की संभावना, जो में से कम से कम एक इवेंट $A$ और $B$ होता है, 0.6 है। यदि $A$ और $B$ को एक साथ होने की संभावना 0.3 है, तो $P(\bar{{}A})+P(\bar{{}B})$ की मान्यता करें।

4. एक थैली में 5 लाल गोलियां और 3 काली गोलियां हैं। विनम्रता के साथ तीनो गोलियां एक दूसरे के बिना खींची जाती हैं। यदि पहली गोली लाल होती है तो कम से कम तीन गोलियों में से कम से कम एक काली होने की संभावना क्या है?

5. दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं और कुल स्कोर नोट किया जाता है। ऐवेंट $E, F$ और $G$ को “कुल 4”, “कुल 9 या अधिक” और “5 से विभाज्य कुल” के रूप में परिभाषित किया जाता है। $P(E), P(F)$ और $P(G)$ की गणना करें और फिर तय करें कि क्या कोई भी ऐवेंट के युग्म अविभाज्य हैं या नहीं।

6. समझाएं कि 3 बार पुलिंद फेंकने का प्रयोग बाइनोमियल वितरण वाला कहा जाता है क्योंकि।

7. $A$ और $B$ दो घटनाएं ऐसी हैं जिसके लिए $P(A)=\frac{1}{2}, P(B)=\frac{1}{3}$ और $P(A \cap B)=\frac{1}{4}$ होता है। तय करें:

   (i) $P(A \mid B)$

   (ii) $P(B \mid A)$

   (iii) $P(A^{\prime} \mid B)$

   (iv) $P(A^{\prime} \mid B^{\prime})$

8. तीन घटनाएं $A, B$ और $C$ की संभावनाएं $\frac{2}{5}, \frac{1}{3}$ और $\frac{1}{2}$ हैं। जानते हुए कि $P(A \cap C)=\frac{1}{5}$ और $P(B \cap C)=\frac{1}{4}$, मान्यता करें $P(C \mid B)$ और $P(A^{\prime} \cap C^{\prime})$ के मान।

9. दो आपस में असंख्यात घटनाएँ $E_1$ और $E_2$ हों जिनकी $p(E_1) = p_1$ और $P(E_2) = p_2$। उन घटनाओं की संभावनाओं का वर्णन निम्न रूप में होगा:

(i) $p_1 p_2$ के रूप में

(ii) $(1-p_1) p_2$ के रूप में

(iii) $1-(1-p_1)(1-p_2)$ के रूप में

(iv) $p_1+p_2-2 p_1 p_2$ के रूप में

~~ 10. एक असंख्यात चर चरित्र $X$ के लिए प्रायिकता वितरण निम्नांकित रूप में है:

(i) $k$ की मान ढूंढें

(ii) वितरण का औसत निर्धारित करें।

~~ 11. साबित करें कि

(i) $\quad P(A)=P(A \cap B)+P(A \cap \bar{{}B})$

(ii) $\quad P(A \cup B)=P(A \cap B)+P(A \cap \bar{{}B})+P(\bar{{}A} \cap B)$

~~ 12. यदि तीन बारीकियों के मारे गए सिक्के में धनुष की संख्या $X$ है, तो $X$ का मानक माप क्या होगा।

~~ 13. एक पासा खेल में, खिलाड़ी हर बार लकड़ी का एक प्रकार के लिए रु पंजी करती है। वहाँ एक तीन दिखाए जाने पर रु 5 मिलता है, एक एक परिचय दिखाए जाने पर रु 2 मिलती है, और अन्यथा कुछ नहीं। सामान्यतः बार बार खेलते समय खिलाड़ी का अपेक्षित लाभ क्या होगा?

~~ 14. एक साथ तीन पासे फेंकें जाते हैं। दक्षिणी की जानकारी के अनुसार, यदि पासों की संख्या का योग 6 है, तो तीन दों की प्रायिकता क्या है?

~~ 15. सप्ताह में 10,000 टिकट्स एक लॉटरी में बिक जाते हैं, प्रतेक टिकट की कीमत Re 1 है। पहला पुरस्कार Rs. 3000 का है और दूसरा पुरस्कार Rs. 2000 का है। Rs. 500 के तीन तीसरे पुरस्कार हैं। यदि आप एक टिकट खरीदते हैं, तो आपकी अपेक्षा क्या होगी।

~~ 16. एक बैग में 4 सफेद और 5 काले गेंद होते हैं। दूसरे बैग में 9 सफेद और 7 काले गेंद होते हैं। एक गेंद पहले बैग से दूसरे में स्थानांतरित की जाती है और फिर दूसरे बैग से यादृच्छिक रूप से एक गेंद खींची जाती है। गेंद खींची जाने की संभावना क्या है कि सफेद होगी।

~~ 17. बैग I में 3 काले और 2 सफेद गेंद होती है, बैग II में 2 काले और 4 सफेद गेंद होती है। यादृच्छिक रूप से एक बैग और एक गेंद चुनी जाती है। काली गेंद चुनने की संभावना निर्धारित कीजिए।

~~ 18. एक बॉक्स में 5 नीले और 4 लाल बॉल हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है और उसका रंग भी नहीं नोट किया जाता है। फिर से एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। दूसरी गेंद नीली होने की संभावना क्या है?

~~ 19. एक पीकर कार्ड के पैक से एक के बाद एक चार कार्ड निकाले जाते हैं। चारों कार्ड राजे होने की प्रायिकता क्या होगी?

~~ 20. एक पासा 5 बार फेंका जाता है। इसकी प्रायिकता क्या होगी कि तीन बार विषम संख्या आएगी।

~~ 21. दस सोने फेंके जाते हैं। कम से कम 8 सोने मिलने की संभावना क्या है?

~~ 22. एक आदमी का एक लक्ष्य मारने की संभावना 0.25 है। वह 7 बार गोली चलाता है। उसकी कम से कम दो बार मारने की संभावना क्या होगी?

~~ 23. एक लॉट में 100 घड़ियों को 10 विकृत घड़ी के रूप में जाना जाता है। यदि 8 घड़ी (एक-एक करके बिना बदले) को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, तो कम से कम एक विकृत घड़ी होने की संभावना क्या होगी?

~~ 24. एक यादृच्छिक चर चरित्र $X$ के प्रायिकता वितरण का विचार करें:

क्रमांकद्रष्टापनात्मकारण | $P(X)$ | 0.1 | 0.25 | 0.3 | 0.2 | 0.15 |

गणना करें

(i) $V \Big(\frac{X}{2}\Big) $

(ii) वैयस्कता का $X$ |

37. प्रसार की विचलन ढांचा ढूंढें:

~~ 38. A और B एक जोड़ी पासा फेंकते हैं सामरिक ढंग से। A खेल जीतेगा अगर उसे कुल 6 मिलता है और B जीतेगा अगर उसे कुल 7 मिलता है। अगर A खेल की शुरुआत करता है, तो जोड़ी पासा के तीसरे फेंक में A द्वारा खेल जीतने की संभावना क्या है।

~~ 39. दो पासे फेंके जाते हैं। क्या निम्नलिखित दो घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं:

$ A=\lbrace(x, y): x+y=11\rbrace \quad B=\lbrace(x, y): x \neq 5\rbrace $

यहाँ $(x, y)$ एक मानचित्र संकेत बिंदु को दर्शाता है।

~~ 40. एक मण्डप में $m$ सफेद और $n$ काले गेंद होते हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से खींची जाती है और उसके साथ $k$ अतिरिक्त उसी रंग की गेंदें मंडप में रख दी जाती हैं। फिर से एक गेंद यादृच्छिक रूप से खींची जाती है। दिखाएं कि अब सफेद गेंद खींचने की संभावना $k$ पर नहीं निर्भर करती है।

लम्बा उत्तर (L.A.)

~~ 41. तीन थैलियाँ निम्नानुसार लाल और सफेद गेंदों की संख्या रखती हैं:

थैली $1: 3$ लाल गेंद, थैली $2: 2$ लाल गेंद और 1 सफेद गेंद

थैली $3 : 3$ सफेद गेंदें।

थैली $i$ को चुनने और उस से एक गेंद चुनने की संभावना $\frac{i}{6}$ है, $i=1,2,3$। क्या है संभावना

(i) लाल गेंद चुना जाएगा?

(ii) सफेद गेंद चुनी जाएगी?

~~ 42. ऊपर प्रश्न 41 के लिए देखें। अगर सफेद गेंद चुनी जाती है, तो क्या संभावना है कि वह

(i) थैली 2 से आई है

(ii) थैली 3 से आई है

~~ 43. एक दुकानदार तीन प्रकार के फूल बीज A1, A2 और A3 बेचता है। वे मिश्रण के रूप में बेचे जाते हैं जहाँ अनुपात $4: 4: 2$ होता है। तीनों प्रकार के बीजों का उत्पन्नता दर 45%, 60% और 35% है। संभावना की गणना करें

(i) एक यादृच्छिक चुने गए बीज का उत्पन्न होने की

(ii) वह बीज नहीं उत्पन्न होगी यदि वह उसके प्रकार A3 की है,

(iii) यह वह प्रकार A2 है जो यादृच्छिक रूप से चुना गया बीज उत्पन्न नहीं होता है।

~~ 44. एक पत्र ताता नगर या कलकत्ता से आया होने का ज्ञात होता है। लिप्त पर केवल दो संयुक्त अक्षर TA दिखाई देते हैं। ताता नगर से पत्र आया होने की संभावना क्या है।

~~ 45. दो थैलीयाँ हैं, जिनमें से एक में 3 काली और 4 सफेद गेंदें होती हैं जबकि दूसरी में 4 काली और 3 सफेद गेंदें होती हैं। एक पासा फेंका जाता है। अगर यह 1 या 3 दिखाता है, तो I थैली से एक गेंद ली जाती है; लेकिन यदि यह किसी अन्य संख्या दिखाता है, तो दूसरी थैली से एक गेंद चुनी जाती है। काली गेंद चुनने की संभावना की गणना करें।

~~ 46. तीन उर्णों में 2 सफेद और 3 काली गेंदें, 3 सफेद और 2 काली गेंदें और 4 सफेद और 1 काली गेंदें होती हैं, क्रमशः। प्रत्येक उर्ण का चुनने का समान संभावना होती है। एक गेंद यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है और यह पाया जाता है कि वह सफेद है। यादृच्छिक रूप से चुनी गई गेंद दूसरी जीन से थी यह संभावना क्या है कि चुनी गई गेंद पहली उर्ण से थी।

47. छाती के एक्स-रे की जांच करके, जब वास्तविक में कोई व्यक्ति पीड़ित हो रहा होता है तो टीबी का पता लगने की संभावना 0.99 होती है। एक स्वस्थ व्यक्ति का टीबी कोषण रोगी माना जाने की संभावना 0.001 होती है। एक निश्चित शहर में, 1000 में एक व्यक्ति टीबी की समस्या का सामना करता है। एक व्यक्ति को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और उसे टीबी होने का नतीजा दिया जाता है। यह संभावना होती है कि उसके पास वास्तव में टीबी है?

~~ 48. एक वस्त्र तीन मशीनों ‘ए’, ‘बी’ और ‘सी’ द्वारा उत्पादित किया जाता है। निर्दिष्ट अवधि में उत्पन्न किए गए कुल वस्त्रों में से 50% ‘ए’ पर उत्पन्न किए जाते हैं, 30% ‘बी’ और 20% ‘सी’ पर। ‘ए’ पर उत्पन्न किए गए वस्त्रों में से 2% विकृत होते हैं, और ‘बी’ पर उत्पन्न किए गए वस्त्रों में से 2% विकृत होते हैं, और इन पर उत्पन्न किये गए 3% विकृत होते हैं। सभी वस्त्र एक गोडाउन में संग्रहीत किए जाते हैं। एक वस्त्र खींचा जाता है और पता चलता है कि वह विकृत है।यह संभावना होती है कि यह मशीन ‘ए’ पर निर्मित हुआ है?

~~ 49. कोई विचार्य रंदम चर चरं मान $X$ का ऐसा हो कि उसका संभावना वितरण इस प्रकार परिभाषित है:

Javacript:

P(X=x)=\begin{cases} 
k(x+1) & \text{ for } x=1,2,3,4 \\\
2 k x & \text{ for } x=5,6,7 \\\
0 & \text{ otherwise }
\end{cases} 

यहां $k$ एक अस्थायी है। निर्धारण करें

(i) $k$ की मान

(ii) E (X)

(iii) X का मानक विचलन।

~~ 50. एक विचार्य रंदम चर X का संभावना वितरण निम्नलिखित रूप में दिया गया है:

Javacript:

| X | 1 | 2 | 4 | $2 A$ | $3 A$ | $5 A$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P(X)$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{5}$ | $\frac{3}{25}$ | $\frac{1}{10}$ | $\frac{1}{25}$ | $\frac{1}{25}$ |

निर्धारण करें:

(i) $A$ की मान यदि $E(X)=2.94$

(ii) X का व्यतियाँ

~~ 51. एक यादृच्छिक चर $x$ का संभावना वितरण निम्नलिखित रूप में दिया गया है:

Javacript:

P(X=x) \quad=\quad \begin{cases}
& k x^{2} &  \text{ for } x=1,2,3 \\\
& 2 k x  & \text{ for } x=4,5,6 \\\
& 0  &  \text{ otherwise }
\end{cases}

यहां $k$ एक अस्थायी है। निर्धारण करें

(i) $E(X)$

(ii) $E(3 X^{2})$

(iii) $ P(X \geq 4)$

~~ 52. एक बेग में $(2 n+1)$ सिक्के होते हैं। यह ज्ञात है कि इनमें से $n$ सिक्के दोनों ओर सिर रहते हैं जबकि शेष सिक्के सामान्य होते हैं। एक सिक्का बेबक चुना जाता है और फेका जाता है। यदि फेंकने पर सिर आता है, तो $n$ की मान निर्धारित करें।

~~ 53. एक खास बारीक मेज कार्ड खिसकी हुई पूरी तरह से आपूर्ति की ताश का पूरा डेक मिश्रित ढ़ेर से दो कार्ड एक के बिना खींचे जाते हैं। एसयौँम वैरिएबल $X$ की औसत और मानक विचलन निकालें। यहां $X$ एक होती है।

~~ 54. २ बार एक डाई फेंकी जाती है। एक ‘सफलता’ को डाई पे सामान्य संख्या प्राप्त करने के बराबर माना जाता है। सफलताओं की संख्या का मान-क विचलन निकालें।

~~ 55. 5 कार्ड्स होते हैं, जिनमें 1 से 5 तक नंबर होते हैं, एक कार्ड्स यादृच्छिक रुप में (बिना पुनर्प्राप्ति के) चुने जाते हैं। $X$ को दो चार्ड्स के नंबरों का योग दर्शाते हैं। $X$ की औसत और वियतियन्त्रण (Standard Deviation) निकालें।

उद्देश्यपरक प्रकार के प्रश्न

56 से 82 के प्रत्येक अभ्यास में दिए गए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।

~~ 56. यदि $P(A)=\frac{4}{5}$, और $P(A \cap B)=\frac{7}{10}$, तो $P(B \mid A)$ के बराबर होता है

(A) $\frac{1}{10}$

(B) $\frac{1}{8}$

what is the hi version of content: (C) $\frac{7}{8}$

(D) $\frac{17}{20}$

~~ 57. If $P(A \cap B)=\frac{7}{10}$ and $P(B)=\frac{17}{20}$, then $P(A \mid B)$ equals

(A) $\frac{14}{17}$

(B) $\frac{17}{20}$

(C) $\frac{7}{8}$

(D) $\frac{1}{8}$

~~ 58. If $P(A)=\frac{3}{10}, P(B)=\frac{2}{5}$ and $P(A \cup B)=\frac{3}{5}$, then $P(B \mid A)+P(A \mid B)$ equals

(A) $\frac{1}{4}$

(B) $\frac{1}{3}$

(C) $\frac{5}{12}$

(D) $\frac{7}{2}$

~~ 59. If $P(A)=\frac{2}{5}, P(B)=\frac{3}{10}$ and $P(A \cap B)=\frac{1}{5}$, then $P(A^{\prime} \mid B^{\prime}) \cdot P(B^{\prime} \mid A^{\prime})$ is equal to

(A) $\frac{5}{6}$

(B) $\frac{5}{7}$

(C) $\frac{25}{42}$

(D) 1

~~ 60. If $A$ and $B$ are two events such that $P(A)=\frac{1}{2}, P(B)=\frac{1}{3}, P(A / B)=\frac{1}{4}$, then $P(A^{\prime} \cap B^{\prime})$ equals

(A) $\frac{1}{12}$

(B) $\frac{3}{4}$

(C) $\frac{1}{4}$

(D) $\frac{3}{16}$

~~ 61. If $P(A)=0.4, P(B)=0.8$ and $P(B \mid A)=0.6$, then $P(A \cup B)$ is equal to

(A) 0.24

(B) 0.3

(C) 0.48

(D) 0.96

~~ 62. If $A$ and $B$ are two events and $A \neq \phi, B \neq \phi$, then

(A) $\quad P(A \mid B)=P(A) \cdot P(B)$

(B) $P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

(C) $\quad P(A \mid B) \cdot P(B \mid A)=1$

(D) $\quad P(A \mid B)=P(A) \mid P(B)$

~~ 63. $\quad A$ and $B$ are events such that $P(A)=0.4, P(B)=0.3$ and $P(A \cup B)=0.5$. Then $P(B^{\prime} \cap A)$ equals

(A) $\frac{2}{3}$

(B) $\frac{1}{2}$

(C) $\frac{3}{10}$

(D) $\frac{1}{5}$

~~ 64. You are given that $A$ and $B$ are two events such that $P(B)=\frac{3}{5}, P(A \mid B)=\frac{1}{2}$ and $P(A \cup B)=\frac{4}{5}$, then $P(A)$ equals

(A) $\frac{3}{10}$

(B) $\frac{1}{5}$

(C) $\frac{1}{2}$

(D) $\frac{3}{5}$

~~ 65. In Exercise 64 above, $P(B \mid A^{\prime})$ is equal to

(A) $\frac{1}{5}$

(B) $\frac{3}{10}$

(C) $\frac{1}{2}$

(D) $\frac{3}{5}$

~~ 66. If $P(B)=\frac{3}{5}, P(A \mid B)=\frac{1}{2}$ and $P(A \cup B)=\frac{4}{5}$, then $P(A \cup B)^{\prime}+P(A^{\prime} \cup B)=$

(A) $\frac{1}{5}$

(B) $\frac{4}{5}$

(C) $\frac{1}{2}$

(D) 1

~~ 67. Let $P(A)=\frac{7}{13}, P(B)=\frac{9}{13}$ and $P(A \cap B)=\frac{4}{13}$. Then $P(A^{\prime} \mid B)$ is equal to

(A) $\frac{6}{13}$

(B) $\frac{4}{13}$

(C) $\frac{4}{9}$

(D) $\frac{5}{9}$

~~ 68. If $A$ and $B$ are such events that $P(A)>0$ and $P(B) \neq 1$, then $P(A^{\prime} \mid B^{\prime})$ equals.

(A) $\quad 1-P(A \mid B)$

(B) $1-P(A^{\prime} \mid B)$

(C) $\frac{1-P(A \cup B)}{P(B^{\prime})}$

(D) $P(A^{\prime}) \mid P(B^{\prime})$

~~ 69. If $A$ and $B$ are two independent events with $P(A)=\frac{3}{5}$ and $P(B)=\frac{4}{9}$, then $P(A^{\prime} \cap B^{\prime})$ equals

(A) $\frac{4}{15}$

(B) $\frac{8}{45}$

(C) $\frac{1}{3}$

(D) $\frac{2}{9}$

~~ 70. If two events are independent, then

(A) they must be mutually exclusive

(B) the sum of their probabilities must be equal to 1

(C) (A) and (B) both are correct

(D) सही उत्तर कोई भी नहीं है

what is the hi version of content: (बी) एक स्थिर संख्या परीक्षण है

(सी) परिणाम एक-दूसरे पर आश्रित होना चाहिए

(डी) सभी परीक्षणों के लिए सफलता की संभावना एक ही होनी चाहिए

~~ 84. 52 खेल पत्ती के अच्छी तरह से हिला हुआ ताशे के दो कार्डों को रिप्लेसमेंट के साथ खींचा जाता है। ऐसा होने की संभावना, जो कि दोनों कार्ड राजा हों, है

(ए) $\frac{1}{13} \times \frac{1}{13}$

(बी) $\frac{1}{13}+\frac{1}{13}$

(सी) $\frac{1}{13} \times \frac{1}{17}$

(डी) $\frac{1}{13} \times \frac{4}{51}$

~~ 85. सही-गलत प्रकार के परीक्षा में 10 उत्तरों में से कम से कम 8 के सही उत्तर की संभावना

(ए) $\frac{7}{64}$

(बी) $\frac{7}{128}$

(सी) $\frac{45}{1024}$

(डी) $\frac{7}{41}$

~~ 86. एक व्यक्ति का स्विमर न होने की संभावना 0.3 है। 5 व्यक्तियों में से 4 स्विमर होने की संभावना

(ए) ${ }^{5} C_4(0.7)^{4}(0.3)$

(बी) ${ }^{5} C_1(0.7)(0.3)^{4}$

(सी) ${ }^{5} C_4(0.7)(0.3)^{4}$

(डी) $(0.7)^{4}(0.3)$

~~ 87. एक विशिष्ट संख्यात्मक यादृच्छिक परिवर्तनी $X$ की संभावना वितरण नीचे दी गई है:

कीमत $k$ होगी

(ए) 8

(बी) 16

(सी) 32

(डी) 48

~~ 88. निम्नलिखित संभावना वितरण के लिए:

$E(X)$ बराबर है

(ए) 0

(बी) -1

(सी) -2

(डी) -1.8

~~ 89. निम्नलिखित संभावना वितरण के लिए

$E(X^{2})$ बराबर है

(ए) 3

(बी) 5

(सी) 7

(डी) 10

~~ 90. मान लें कि एक यादृच्छिक चर $X$ नियमित वितरण का पालन करता है जिसके पैरामीटर $n$ और $p$ हैं, जहां $0<p<1$ है। यदि $P(x=r) / P(x=n-r)$ $n$ और $r$ के अलग-अलग होने के बावजूद निर्भर करता है, तो $p$ का मान

(ए) $\frac{1}{2}$

(बी) $\frac{1}{3}$

(सी) $\frac{1}{5}$

(डी) $\frac{1}{7}$

~~ 91. एक कॉलेज में, $30 %$ विद्यार्थी भौतिकी में असफल होते हैं, 25% गणित में असफल होते हैं और 10% दोनों में असफल होते हैं। एक विद्यार्थी का यादृच्छिक चयन किया जाता है। इसकी संभावना कि वह भौतिकी में असफल होगी, अगर उसने गणित में असफल हो गई है,

(ए) $\frac{1}{10}$

(बी) $\frac{2}{5}$

(सी) $\frac{9}{20}$

(डी) $\frac{1}{3}$

~~ 92. A और B दो छात्र हैं। उनकी सही प्रक्रिया को सलाह देने की अवधारणा है $\frac{1}{3}$ और $\frac{1}{4}$ है। यदि उनकी संयुक्त त्रुटि करने की संभावना, $\frac{1}{20}$ है और उन्होंने उसी उत्तर को प्राप्त किया है, तो उत्तर सही होने की संभावना

(ए) $\frac{1}{12}$

(बी) $\frac{1}{40}$

(सी) $\frac{13}{120}$

(डी) $\frac{10}{13}$

~~ 93. एक डिब्बा 100 पेन्स है जिनमें से 10 खराब हैं। संभावना है कि 5 पेन्सों का नमूना ड्रा किया जाए, जोन प्रतिस्थापन के साथ, अधिकतम एक खराब है?

(ए) $\Big(\frac{9}{10}\Big)^5$

(बी) $\frac{1}{2} \Big(\frac{9}{10}\Big)^4$

(सी) $\frac{1}{2} \Big(\frac{9}{10}\Big)^5$

(D) $\Big(\frac{9}{10}\Big)^{5} + \frac{1}{2} \Big(\frac{9}{10}\Big)^{4}$

प्रश्न 94 से 103 के वाक्यों के लिए सत्य या असत्य की स्थिति उपलब्ध कराएँ।

~~ 94. यदि $P(A)>0$ और $P(B)>0$ है, तो यह संभव हो सकता है कि $A$ और $B$ दोनों संगोष्ठीय और स्वतंत्र हो सकते हैं।

~~ 95. यदि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएं हैं, तो $A^{\prime}$ और $B^{\prime}$ भी स्वतंत्र होंगे।

~~ 96. यदि $A$ और $B$ संगोष्ठीय घटनाएं हैं, तो वे स्वतंत्र भी होंगी।

~~ 97. दो स्वतंत्र घटनाएं हमेशा संगोष्ठीय नहीं होती हैं।

~~ 98. यदि $A$ और $B$ दो स्वतंत्र घटनाएं हैं, तो $P(A$ और $B)=P(A) \cdot P(B)$ होता है।

~~ 99. एक संभावना वितरण का औसत भी अपेक्षित मान कहलाता है।

~~ 100 . यदि $A$ और $B^{\prime}$ स्वतंत्र घटनाएँ है, तो $P(A^{\prime} \cup B)=1-P(A) P(B^{\prime})$ होगा।

~~ 101 . यदि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं, तो

$P($ A और B में से केवल एक होती है $)=P(A) P(B^{\prime})+P(B) P(A^{\prime})$ होता है।

~~ 102 . यदि $A$ और $B$ दो घटनाएँ हैं जिसके लिए $P(A)>0$ और $P(A)+P(B)>1$ है, तो

$ P(B \mid A) \geq 1-\frac{P(B^{\prime})}{P(A)} $

~~ 103 . यदि $A, B$ और $C$ तीन स्वतंत्र घटनाएँ हैं जिसके लिए $P(A)=P(B)=P(C)=$ $p$ है, तो

$P$ (A, B, C में से कम से कम दो होते हैं) $=3 p^{2}-2 p^{3}$ होता है।

नीचे दिए गए प्रश्नों में रिक्त स्थान भरें:

~~ 104 . यदि $A$ और $B$ दो घटनाएँ हैं जिनके लिए

$ P(A \mid B)=p, P(A)=p, P(B)=\frac{1}{3} $

और $\quad P(A \cup B)=\frac{5}{9}$, तो $p=$___________

~~ 105 . यदि $A$ और $B$ इस प्रकार होते हैं कि

$ P(A^{\prime} \cup B^{\prime})=\frac{2}{3} \text{ और } P(A \cup B)=\frac{5}{9} $

तो $P(A^{\prime})+P(B^{\prime})=$…………..

~~ 106 . यदि $X$ निम्न प्रायिक वितरण का पालन करता है जिसके मापक $n=5, p$ हैं और $P(X=2)=9, P(X=3)$ है, तो $p=$_____________

~~ 107 . $X$ एक यादृच्छिक मान वाली चर है जिसके मान $x_1, x_2, \ldots, x_n$ होते हैं और प्रायिकताएं $p_1, p_2, \ldots, p_n$ होती हैं। तब var $(X)=$________________

~~ 108 . $A$ और $B$ दो घटनाएँ हैं। यदि $P(A \mid B)=P(A)$ है, तो $A$ ________ बी का होगा।

24. (i) . 1118

(ii) .4475

~~ 25. (i) $\frac{8}{15}$,

(ii) $\frac{14}{15}, \frac{1}{15}$,

(iii) 1

~~ 26. 0.7 (approx.)

~~ 27. 0.18

~~ 28. $\frac{1}{2}$

~~ 29.

~~ 31. (i) $\big(\frac{49}{50}\big)^{10}$

(ii) $\frac{45(49)^{8}}{(50)^{10}}$

(iii) $\frac{59(49)^{9}}{(50)^{10}}$

~~ 32. $\frac{1}{3}$

~~ 33. $\frac{9}{44}$

~~ 34. $\frac{p-1}{n-1}$

~~ 35.

~~ 36. $p=\frac{1}{2}$

~~ 37. $\frac{665}{324}$

~~ 38. $\frac{775}{7776}$

~~ 39. not independent

~~ 41. (i) $\frac{7}{18}$,

(ii) $\frac{11}{18}$

~~ 42. (i) $\frac{2}{11}$,

(ii) $\frac{9}{11}$

~~ 43. (i) 0.49,

(ii) 0.65,

(iii) . 314

~~ 44. $\frac{7}{11}$

~~ 45. $\frac{11}{21}$

~~ 46. $\frac{1}{3}$

~~ 47. $\frac{110}{221}$

~~ 48. $\frac{5}{11}$

~~ 49. (i) $\frac{1}{50}$,

(ii) 5.2 ,

(iii) 1.7 (approx.)

~~ 50. (i) 3,

(ii) 19.05

~~ 51. (i) 4.32,

(ii) 61.9 ,

(iii) $\frac{15}{22}$

~~ 52. 10

~~ 53. Mean $=\frac{2}{13}$, S.D. $=0.377$

~~ 54. $\frac{1}{2}$

~~ 55. Mean $=6$, Variance $=3$

~~ 56. C

~~ 57. A

~~ 58. D

~~ 59. C

~~ 60. C

~~ 61. D

~~ 62. B

~~ 63. D

~~ 64. C

~~ 65. D

~~ 66. D

~~ 67. D

~~ 68. C

~~ 69. D

~~ 70. D

~~ 71. D

~~ 72. C

~~ 73. C

~~ 74. C

~~ 75. B

~~ 76. B

~~ 77. D

~~ 78. C

~~ 79. A

~~ 80. D

~~ 81. B

~~ 82. C

~~ 83. C

~~ 84. A

~~ 85. B

~~ 86. A

~~ 87. C

~~ 88. D

~~ 89. D

~~ 90. A

~~ 91. B

~~ 92. D

~~ 93. D

~~ 94. False

~~ 95. True

~~ 96. False

~~ 97. False

~~ 98. True

~~ 99. True

~~ 100 . True

~~ 101 . True

~~ 102 . False

~~ 103 . True

~~ 104. $\frac{1}{3}$

~~ 105. $\frac{10}{9}$

~~ 106. $\frac{1}{10}$

~~ 107. $\sum {p_i x _i ^2} – \Big(\sum p _i x _i \Big) ^2$

~~ 108. independent