अध्याय 2

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन

2.1 सविस्तार

2.1.1 प्रतिलोम फलन

एक फलन ’ $f$ ’ का प्रतिलोम मौजूद होता है, यदि फलन एक एक-एक और पूर्ण होता है, अर्थात्, एक धारात्मक. क्योंकि त्रिकोणमितीय फलनें अपने डोमेन पर बहु-एक होती हैं, हम उनके डोमेन और सह-डोमेन की सीमा तय करके उन्हें एक-एक और पूर्ण बनाते हैं और फिर उनका प्रतिलोम ढूंढते हैं। प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की डोमेन और सीमाएं (मुख्य मान शाखाएँ) नीचे दी गई हैं:

नोट:

(i) प्रतीक $\sin ^{-1} x$ को $(\sin x)^{-1}$ के साथ गलत न समझें। वास्तव में $\sin ^{-1} x$ एक कोण है, जिसका साइन वैल्यू $x$ होता है, इसी तरह दूसरे त्रिकोणमितीय फलों के लिए।

(ii) $\theta$ का सबसे छोटा संख्यात्मक मान, चाहे सकारात्मक हो या नकारात्मक, उसे फलन का मुख्य मूल्य कहते हैं।

(iii) जब कोई प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन की कोई शाखा निर्दिष्ट न हो, तो हम मुख्य मूल्य शाखा का मतलब रखते हैं। प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का मान, जो मुख्य शाखा की सीमा की दायरे में होता है, वही उसका मुख्य मूल्य होता है।

2.1.2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का ग्राफ़

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का ग्राफ़ मूल फलन के ग्राफ़ से $x$-अक्ष और $y$-अक्ष को अंतरित (तथा) करके प्राप्त किया जा सकता है, अर्थात्, यदि $(a, b)$ मूल त्रिकोणमितीय फलन के ग्राफ़ पर एक बिंदु है, तो $(b, a)$ मुख्यतः समान्य संकेत वाली फलन के ग्राफ़ पर संबंधित बिंदु होता है।

यह दिखाया जा सकता है कि प्रतिलोम फलन का ग्राफ़ उत्पन्न हो सकता है मूल फलन के संबंधित ग्राफ़ से एक प्रतिबिंब (यानी, परावर्तन) के रूप में रेखा $y=x$ के साथ।

2.1.3 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन की गुणधर्म

$ \begin{aligned} & \text{ 1. } \sin ^{-1}(\sin x)=x \quad: \quad x \in [\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \\ & \cos ^{-1}(\cos x)=x \quad: \quad x \in[0, \pi] \\ & \tan ^{-1}(\tan x)=x \quad: \quad x \in (\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \\ & \cot ^{-1}(\cot x)=x \quad: \quad x \in(0, \pi) \\ & \sec ^{-1}(\sec x)=x \quad: \quad x \in[0, \pi]- \lbrace \frac{\pi}{2} \rbrace \\ & \text{cosec}^{-1}(cosec x)=x: \quad x \in [ \frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-\lbrace 0 \rbrace \\ & \text{ 2. } \sin (\sin ^{-1} x)=x \quad: \quad x \in [-1,1] \\ & \cos (\cos ^{-1} x)=x \quad: \quad x \in [-1,1] \\ & \tan (\tan ^{-1} x)=x \quad: \quad x \in \mathbf{R} \\ & \cot (\cot ^{-1} x)=x \quad: \quad x \in \mathbf{R} \\ & \sec (\sec ^{-1} x)=x \quad: \quad x \in \mathbf{R}-(-1,1) \\ & cosec(cosec^{-1} x)=x: \quad x \in \mathbf{R}-(-1,1) \\

सामग्री का हिन्दी संस्करण होगा: & \text{ 3. } \sin ^{-1} \Bigg( \frac{1}{x} \Bigg ) =cosec^{-1} x: \quad x \in \mathbf{R}-(-1,1) \\ & \cos ^{-1} \Bigg ( \frac{1}{x} \bigg )=\sec ^{-1} x \quad: \quad x \in \mathbf{R}-(-1,1) \end{aligned} $

$ \begin{array}{lll} \tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\cot ^{-1} x & : & x>0 \\ =-\pi+\cot ^{-1} x & : \quad x<0 \end{array} $

$ \begin{array}{lll} 4. \sin ^{-1}(-x)=-\sin ^{-1} x & : & x \in[-1,1] \\ \cos ^{-1}(-x)=\pi-\cos ^{-1} x & : & x \in[-1,1] \\ \tan ^{-1}(-x)=-\tan ^{-1} x & : & x \in \mathbf{R} \\ \cot ^{-1}(-x)=\pi-\cot ^{-1} x & : & x \in \mathbf{R} \\ \sec ^{-1}(-x)=\pi-\sec ^{-1} x & : & x \in \mathbf{R}-(-1,1) \\ \operatorname{cosec}^{-1}(-x)=-\operatorname{cosec}^{-1} x & : & x \in \mathbf{R}-(-1,1) \end{array} $

$ \begin{aligned} 5. & \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2} \quad: \quad x \in[-1,1] \\ & \tan ^{-1} x+\cot ^{-1} x=\frac{\pi}{2} \quad: \quad x \in \mathbf{R} \\ & \sec ^{-1} x+\operatorname{cosec}^{-1} x=\frac{\pi}{2} \quad: \quad x \in \mathbf{R}-[-1,1] \\ 6. & \tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y=\tan ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-x y}\right): x y<1 \\ & \tan ^{-1} x-\tan ^{-1} y=\tan ^{-1}\left(\frac{x-y}{1+x y}\right) ; x y>-1 \\ & \end{aligned} $

$\begin{aligned} & \text { 7. } 2 \tan ^{-1} x=\sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^2} \quad: \quad-1 \leq x \leq 1 \\ & 2 \tan ^{-1} x=\cos ^{-1} \frac{1-x^2}{1+x^2} \quad: \quad x \geq 0 \\ & 2 \tan ^{-1} x=\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^2} \quad: \quad-1<x<1 \\ & \end{aligned}$

2.2 Solved Examples

Short Answer (S.A.)

Example 1 यदि $x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ हो, तो $\cos ^{-1} (\frac{\sqrt{3}}{2} )=\theta$, तब $\cos \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$ होगा।

हम मुख्य शाखा को ध्यान में रखते हुए, $\theta \in[0, \pi]$। और क्योंकि $\frac{\sqrt{3}}{2}>0$ है, अत्तः, $\theta$ पहली चतुर्थी में होने के कारण, $\cos ^{-1} ( \frac{\sqrt{3}}{2} ) =\frac{\pi}{6}$ होगा।

Example 2 $\tan ^{-1} ( \sin ( \frac{-\pi}{2}))$ का मान निर्णय करें।

Solution $\tan ^{-1} ( \sin ( \frac{-\pi}{2}))=\tan ^{-1}( -\sin \frac{\pi}{2}))=\tan ^{-1}(-1)=-\frac{\pi}{4}$ होगा।

Example 3 $\cos ^{-1} ( \cos \frac{13 \pi}{6} ) $ का मान निर्णय करें।

Solution $\cos ^{-1} ( \cos \frac{13 \pi}{6})=\cos ^{-1} ( \cos (2 \pi+\frac{\pi}{6}))=\cos ^{-1} ( \cos \frac{\pi}{6})$ $ =\frac{\pi}{6} \text{. } $

Example 4 $\tan ^{-1}\left(\tan \frac{9 \pi}{8}\right)$ का मान निर्णय करें।

Solution $\tan ^{-1}\left(\tan \frac{9 \pi}{8}\right)=\tan ^{-1} \tan \left(\pi+\frac{\pi}{8}\right)$ $$ =\tan ^{-1}\left(\tan \left(\frac{\pi}{8}\right)\right)=\frac{\pi}{8} $$

Example 5 $\tan \left(\tan ^{-1}(-4)\right)$ की मान्यता करें।

Solution इसलिए $\tan \left(\tan ^{-1} x\right)=x, \forall x \in \mathrm{R}$ होता है, इसलिए $\tan \left(\tan ^{-1}(-4)=-4\right.$ होगा।

Example 6 मूल्यवान निर्णय करें: $\tan ^{-1} \sqrt{3}-\sec ^{-1}(-2)$।

Solution $\tan ^{-1} \sqrt{3}-\sec ^{-1}(-2)=\tan ^{-1} \sqrt{3}-\left[\pi-\sec ^{-1} 2\right]$ $$

कंटेंट का हिंदी संस्करण क्या है: -\frac{\pi}{3}-\pi+\cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{2 \pi}{3}+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{3} \text {. } $$

उदाहरण 7 मूल्यांकन करें: $\sin ^{-1}\left[\cos \left(\sin ^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right]$.

समाधान $\sin ^{-1}\left[\cos \left(\sin ^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right]=\sin ^{-1}\left[\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)\right]=\sin ^{-1}\left[\frac{1}{2}\right]=\frac{\pi}{6}$.

उदाहरण 8 साबित करें कि $\tan \left(\cot ^{-1} x\right)=\cot \left(\tan ^{-1} x\right)$. कारण के साथ स्थिति बताएँ कि क्या सभी मानों के लिए समानता मान्य है।

समाधान $\cot ^{-1} x=\theta$ लें। तब $\cot \theta=x$

या, $\tan \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=x \Rightarrow \tan ^{-1} x=\frac{\pi}{2}-\theta$

तो $\tan \left(\cot ^{-1} x\right)=\tan \theta=\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cot \left(\frac{\pi}{2}-\cot ^{-1} x\right)=\cot \left(\tan ^{-1} x\right)$

इस समानता के प्रत्येक मान के लिए समानियाँ मान्य हैं, क्योंकि $\tan ^{-1} x$ और $\cot ^{-1} x$ के लिए $x \in \mathbf{R}$ सत्य हैं।

उदाहरण 9 मान ढूंढें $\sec \left(\tan ^{-1} \frac{y}{2}\right)$ का।

समाधान $\tan ^{-1} \frac{y}{2}=\theta$ ले, जहां $\theta \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$। तो, $\tan \theta=\frac{y}{2}$,

जो $\sec \theta-\frac{\sqrt{4+y^2}}{2}$ देता है।

इसलिए, $\sec \left(\tan ^{-1} \frac{y}{2}\right)-\sec \theta=\frac{\sqrt{4+y^2}}{2}$।

उदाहरण 10 मानक $\tan \left(\cos ^{-1} x\right)$ का मान ढूंढें और $\tan \left(\cos ^{-1} \frac{8}{17}\right)$ को मूल्यांकित करें।

समाधान $\cos ^{-1} x=\theta$ लें, तो $\cos \theta=x$, यहां $\theta \in[0, \pi]$

इसलिए, $\quad \tan (\cos ^{-1} x)=\tan \theta=\frac{\sqrt{1-\cos ^{2} \theta}}{\cos \theta}=\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}$।

इसलिए $\quad \tan ( \cos ^{-1} \frac{8}{17}) =\frac{\sqrt{1- (\frac{8}{17})^{2}}}{\frac{8}{17}}=\frac{15}{8}$।

उदाहरण 11 मान ढूंढें $\sin [ 2 \cot ^{-1} (\frac{-5}{12})]$ का।

समाधान $ \cot ^{-1} ( \frac{-5}{12})=y$ लें। तब $\cot y= (\frac{-5}{12})$।

अब $\sin [ 2 \cot ^{-1} (\frac{-5}{12})]=\sin 2 y$

$ \begin{aligned} & =2 \sin y \cos y=2 \Bigg(\frac{12}{13} \Bigg ) \Bigg( \frac{-5}{13} \Bigg ) \quad [ \text{ क्योंकि cot } y<0 \text{, इसलिए } y \in \frac{\pi}{2}, \pi \\ & =\frac{-120}{169} \end{aligned} $

उदाहरण 12 मूल्यांकन करें $\cos [ \sin ^{-1} \frac{1}{4}+\sec ^{-1} \frac{4}{3} ] $

समाधान $\cos \sin ^{-1} \frac{1}{4}+\sec ^{-1} \frac{4}{3}=\cos \sin ^{-1} \frac{1}{4}+\cos ^{-1} \frac{3}{4}$

$ \begin{aligned} & =[ \cos (\sin ^{-1} \frac{1}{4}) ] \cos \cos ^{-1} \frac{3}{4}-\sin (\sin ^{-1} \frac{1}{4}) \sin \cos ^{-1} \frac{3}{4} \\ & =\frac{3}{4} \sqrt{1-\frac{1}4^{2}}-\frac{1}{4} \sqrt{1-\frac{3}4^{2}} \\ & =\frac{3}{4} \frac{\sqrt{15}}{4}-\frac{1}{4} \frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{3 \sqrt{15}-\sqrt{7}}{16} . \end{aligned} $

लॉन्ग आंसर (L.A.)

उदाहरण 13 सिद्ध करें कि $2 \sin^{-1} \frac{3}{5}-\tan^{-1} \frac{17}{31}=\frac{\pi}{4}$

समाधान लेट $ \sin ^{-1} \frac{3}{5}=\theta $, तब $ \sin \theta=\frac{3}{5} $, जहाँ $ \theta \in [ \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ]$

इस प्रकार $ \tan \theta=\frac{3}{4} $ जो $ \theta=\tan ^{-1} \frac{3}{4} $ देता है।

इसलिए, $ 2 \sin ^{-1} \frac{3}{5}-\tan ^{-1} \frac{17}{31} $

$ \begin{aligned} & =2 \theta-\tan ^{-1} \frac{17}{31}=2 \tan ^{-1} \frac{3}{4}-\tan ^{-1} \frac{17}{31} \\ & =\tan ^{-1} \Bigg ( \frac{2 \cdot \frac{3}{4}}{1-\frac{9}{16}} \Bigg )-\tan ^{-1} \frac{17}{31}=\tan ^{-1} \frac{24}{7}-\tan ^{-1} \frac{17}{31} \end{aligned} $

$ =\tan ^{-1} \Bigg ( \frac{\frac{24}{7}-\frac{17}{31}}{1+\frac{24}{7} \cdot \frac{17}{31}} \Bigg ) =\frac{\pi}{4} $

उदहारण 14 दिखाएं कि

$ \cot ^{-1} 7+\cot ^{-1} 8+\cot ^{-1} 18=\cot ^{-1} 3 $

समाधान हमें मिलता है

$ \begin{aligned} & \cot ^{-1} 7+\cot ^{-1} 8+\cot ^{-1} 18 \\ & =\tan ^{-1} \frac{1}{7}+\tan ^{-1} \frac{1}{8}+\tan ^{-1} \frac{1}{18} \quad(\text{ यदि } x>0 \text{ तो } \cot ^{-1} x=\tan ^{-1} \frac{1}{x}) \\ & =\tan ^{-1} \Bigg ( \frac{\frac{1}{7}+\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{7} \times \frac{1}{8}} \Bigg ) +\tan ^{-1} \frac{1}{18} \quad \quad(\text{यदि } x \cdot y=\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{8}<1) \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & =\tan ^ {-1} \frac{3}{11}+\tan ^{-1} \frac{1}{18}=\tan ^{-1} \Bigg ( \frac{\frac{3}{11}+\frac{1}{18}}{1-\frac{3}{11} \times \frac{1}{18}} \Bigg ) \\ & \quad=\tan ^{-1} \frac{65}{195}=\tan ^{-1} \frac{1}{3}=\cot ^{-1} 3 \end{aligned} $

उदाहरण 15 कौन सा बड़ा है, $ \tan 1 $ या $ \tan ^{-1} 1 $ ?

समाधान चित्र 2.1 से हम देखते हैं कि $ \tan x $ एक बढ़ती क्रिया है जबकि $ x \in \Bigg ( \frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \Bigg ) $ , क्योंकि $ 1>\frac{\pi}{4} \Rightarrow \tan 1>\tan \frac{\pi}{4} $ . इससे हमें यह मिलता है

$ \tan 1>1 $

$ \Rightarrow \tan 1>1>\frac{\pi}{4} $

$ \Rightarrow \quad \tan 1>1>\tan ^{-1}(1) .$

उदाहरण 16 मान का पता लगाएं

$ \sin \Bigg ( 2 \tan ^{-1} \frac{2}{3} \Bigg ) +\cos (\tan ^{-1} \sqrt{3}) . $

समाधान $ \tan ^{-1} \frac{2}{3}=x $ और $ \tan ^{-1} \sqrt{3}=y $ लेट करें, ताकि $ \tan x=\frac{2}{3} $ और $ \tan y=\sqrt{3} $.

इसलिए, $ \quad \sin \Bigg ( 2 \tan ^{-1} \frac{2}{3} \Bigg ) +\cos (\tan ^{-1} \sqrt{3})$

$ =\sin (2 x)+\cos y $

$ \begin{aligned} & =\frac{2 \tan x}{1+\tan ^{2} x}+\frac{1}{\sqrt{1+\tan ^{2} y}}=\frac{2 \cdot \frac{2}{3}}{1+\frac{4}{9}}+\frac{1}{1+\sqrt{(\sqrt{3})^{2}}} \\ & =\frac{12}{13}+\frac{1}{2}=\frac{37}{26} . \end{aligned} $

उदाहरण 17 $ x $ के लिए समाधान निकालें

$ \tan ^{-1} \Bigg ( \frac{1-x}{1+x} \Bigg ) =\frac{1}{2} \tan ^{-1} x, x>0 $

समाधान दिए गए समीकरण से, हमें $ 2 \tan ^{-1} \Bigg ( \frac{1-x}{1+x} \Bigg ) =\tan ^{-1} x $ मिलता है

$ \begin{matrix} \Rightarrow & 2 [ \tan ^{-1} 1-\tan ^{-1} x ] =\tan ^{-1} x \\ \Rightarrow & 2 ( \frac{\pi}{4} ) =3 \tan ^{-1} x \Rightarrow \frac{\pi}{6}=\tan ^{-1} x \\ \Rightarrow & x=\frac{1}{\sqrt{3}}. \end{matrix} $

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उदाहरण 21 के लिए सही उत्तर चुनें जो $\tan ^{-1}$ के मुख्य मान की शाखा से सम्बंधित है?

(A) $- \Bigg ( \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \Bigg )$

(B) $- \Bigg ( \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \Bigg ) $

(C) $- \Bigg ( \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \Bigg ) -\lbrace 0 \rbrace $

(D) $(0, \pi)$

समाधान (A) सही उत्तर है।

उदाहरण 22 में $sec^{-1}$ की मुख्य मान की शाखा है

(A) $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ - {0}

(B) $[0, \pi]- \lbrace \frac{\pi}{2} \rbrace $

(C) $(0, \pi)$

(D) $ ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) $

समाधान (B) सही उत्तर है।

उदाहरण 23 में $\cos ^{-1}$ का मुख्य मान के अलावा एक शाखा निम्न में से किसे संबंधित है

(A) $ [ \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2} ] $

(B) $[\pi, 2 \pi]- \lbrace \frac{3 \pi}{2} \rbrace $

(C) $(0, \pi)$

(D) $[2 \pi, 3 \pi]$

समाधान (D) सही उत्तर है।

उदाहरण 24 में $\sin ^{-1} \Bigg ( \cos ( \frac {43 \pi}{5}) \Bigg ) $ का मान है

(A) $\frac{3 \pi}{5}$

(B) $\frac{-7 \pi}{5}$

(C) $\frac{\pi}{10}$

(D) $-\frac{\pi}{10}$

समाधान (D) सही उत्तर है। $\sin ^{-1} \Bigg ( \cos \frac{40 \pi+3 \pi}{5} \Bigg ) =\sin ^{-1} \Bigg ( \cos 8 \pi+\frac{3 \pi}{5} \Bigg ) $

$ \begin{aligned} & =\sin ^{-1} \Bigg ( \cos \Bigg ( \frac{3 \pi}{5} \Bigg ) \Bigg ) =\sin ^{-1} \Bigg ( \sin \Bigg ( \frac{\pi}{2}-\frac{3 \pi}{5} \Bigg ) \Bigg ) \\ & =\sin ^{-1} \Bigg ( \sin \Bigg ( -\frac{\pi}{10} \Bigg ) \Bigg )=-\frac{\pi}{10} . \end{aligned} $

उदाहरण 25 में अभिव्यक्ति $\cos ^{-1}[\cos (-680^{\circ})]$ का मुख्य मान है

(A) $\frac{2 \pi}{9}$

(B) $\frac{-2 \pi}{9}$

(C) $\frac{34 \pi}{9}$

(D) $\frac{\pi}{9}$

समाधान (A) सही उत्तर है। $\cos ^{-1}(\cos (680^{\circ}))=\cos ^{-1}[\cos (720^{\circ}-40^{\circ})]$

$ =\cos ^{-1}[\cos (-40^{\circ})]=\cos ^{-1}[\cos (40^{\circ})]=40^{\circ}=\frac{2 \pi}{9} . $

उदाहरण 26 में $\cot (\sin ^{-1} x)$ का मान है

(A) $\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}$

(B) $\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$

(C) $\frac{1}{x}$

(D) $\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}$.

समाधान (D) सही उत्तर है। चलो $\sin ^{-1} x=\theta$, तब $\sin \theta=x$

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad cosec \theta=\frac{1}{x} \quad \Rightarrow \quad cosec^{2} \theta=\frac{1}{x^{2}} \\ & \Rightarrow \quad 1+\cot ^{2} \theta=\frac{1}{x^{2}} \quad \Rightarrow \cot \theta=\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x} . \end{aligned} $

उदाहरण 27 में यदि $\tan ^{-1} x=\frac{\pi}{10}$ के लिए कुछ $x \in \mathbf{R}$ होता है, तो $\cot ^{-1} x$ का मान होगा

(A) $\frac{\pi}{5}$

(B) $\frac{2 \pi}{5}$

(C) $\frac{3 \pi}{5}$

(D) $\frac{4 \pi}{5}$

समाधान (B) सही उत्तर है। हम जानते हैं $\tan ^{-1} x+\cot ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$। इसलिए

$ \begin{aligned} & \cot ^{-1} x=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{10} \\ & \Rightarrow \cot ^{-1} x=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{10}=\frac{2 \pi}{5} . \end{aligned} $

उदाहरण 28 में $\sin ^{-1} 2 x$ का डोमेन है

(A) $[3,5]$

कंटेंट का Hi संस्करण है: Solution (D) यह सही उत्तर है। $y=\cos ^{-1}(x^{2}-4) \Rightarrow \cos y=x^{2}-4$

$ \text{ वाक्यांश }-1 \leq x^{2}-4 \leq 1 \quad(\text{ क्योंकि }-1 \leq \cos y \leq 1) $

$ \begin{gathered} \Rightarrow 3 \leq x^{2} \leq 5 \\ \Rightarrow \quad \sqrt{3} \leq|x| \leq \sqrt{5} \\ \Rightarrow \quad x \in [ -\sqrt{5},-\sqrt{3} ] \cup [ \sqrt{3}, \sqrt{5} ] \end{gathered} $

Example 34 फ़ंक्शन $f(x)=\sin^{-1} x+\cos x$ द्वारा परिभाषित होने की डोमेन है

(A) $[-1,1]$

(B) $[-1, \pi+1]$

(C) $(-\infty, \infty)$

(D) $\phi$

Solution (A) यह सही उत्तर है। $\cos$ का डोमेन $\mathbf{R}$ है और $\sin^{-1}$ का डोमेन $[-1,1]$ है। इसलिए, $\cos x+\sin^{-1} x$ का डोमेन $\mathbf{R} \cap[-1,1]$ है, अर्थात $[-1,1]$.

Example 35 $\sin (2 \sin^{-1}(\cdot 6))$ का मान है

(A) .48

(B) .96

(C) $1 \cdot 2$

(D) $\sin 1 \cdot 2$

Solution (B) यह सही उत्तर है। $\sin^{-1}(\cdot 6)=\theta$ मान लें, अर्थात, $\sin \theta=\cdot 6$.

अब $\sin (2 \theta)=2 \sin \theta \cos \theta=2(.6)(.8)=.96$.

Example 36 अगर $\sin^{-1} x+\sin^{-1} y=\frac{\pi}{2}$ है, तो $\cos^{-1} x+\cos^{-1} y$ का मान क्या होगा

(A) $\frac{\pi}{2}$

(B) $\pi$

(C) 0

(D) $\frac{2 \pi}{3}$

Solution (A) यह सही उत्तर है। दिया गया है कि $\sin^{-1} x+\sin^{-1} y=\frac{\pi}{2}$.

इसलिए, $(\frac{\pi}{2}-\cos^{-1} x)+(\frac{\pi}{2}-\cos^{-1} y)=\frac{\pi}{2}$

$\Rightarrow \quad \cos^{-1} x+\cos^{-1} y=\frac{\pi}{2}$.

Example 37 अभिव्यक्ति $\tan (\cos^{-1} \frac{3}{5}+\tan^{-1} \frac{1}{4})$ का मान है

(A) $\frac{19}{8}$

(B) $\frac{8}{19}$

(C) $\frac{19}{12}$

(D) $\frac{3}{4}$

Solution (A) यह सही उत्तर है। $\tan (\cos^{-1} \frac{3}{5}+\tan^{-1} \frac{1}{4})=\tan (\tan^{-1} \frac{4}{3}+\tan^{-1} \frac{1}{4})$

$ =\tan \tan^{-1} \Bigg ( \frac{\frac{4}{3}+\frac{1}{4}}{1-\frac{4}{3} \times \frac{1}{4}} \Bigg ) =\tan \tan^{-1} ( \frac{19}{8} )=\frac{19}{8} . $

Example 38 अभिव्यक्ति $\sin [\cot^{-1}(\cos (\tan^{-1} 1))]$ का मान है

(A) 0

(B) 1

(C) $\frac{1}{\sqrt{3}}$

(D) $\sqrt{\frac{2}{3}}$.

Solution (D) यह सही उत्तर है।

$ \sin [\cot^{-1}(\cos \frac{\pi}{4})]=\sin [\cot^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}]=\sin \Bigg [ \sin^{-1} \sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}} $

Example 39 मसला $\tan^{-1} x-\cot^{-1} x=\tan^{-1} ( \frac{1}{\sqrt{3}}) $ का हल होने का

(A) कोई हल नहीं

(C) अनंत संख्या में हल

(B) एक प्रश्न का हल

(D) दो समाधान

Solution (B) यह सही उत्तर है। हमें है

$ \tan^{-1} x-\cot^{-1} x=\frac{\pi}{6} \text{ और } \tan^{-1} x+\cot^{-1} x=\frac{\pi}{2} $

इन्हें जोड़ने पर, हमें $2 \tan^{-1} x=\frac{2 \pi}{3}$ मिलता है

$ \Rightarrow \tan^{-1} x=\frac{\pi}{3} \text{ यानी }, x=\sqrt{3} \text{. } $

Example 40 यदि $\alpha \leq 2 \sin^{-1} x+\cos^{-1} x \leq \beta$ है, तो

(A) $\alpha=\frac{\pi \pi}{2}, \beta=\frac{\pi}{2}$

(B) $\alpha=0, \beta=\pi$

(C) $\alpha=\frac{-\pi}{2}, \beta=\frac{3 \pi}{2}$

(D) $\alpha=0, \beta=2 \pi$

समाधान (बी) सही उत्तर है। हमारे पास $\frac{-\pi}{2} \leq \sin ^{-1} x \leq \frac{\pi}{2}$ है।

$ \begin{matrix} \Rightarrow & \frac{-\pi}{2}+\frac{\pi}{2} \leq \sin ^{-1} x+\frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow & 0 \leq \sin ^{-1} x+(\sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x) \leq \pi \\ \Rightarrow & 0 \leq 2 \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x \leq \pi \end{matrix} $

उदाहरण 41 $\tan ^{2}(\sec ^{-1} 2)+\cot ^{2}(cosec^{-1} 3)$ का मान है

(ए) 5

(ब) 11

(सी) 13

(डी) 15

समाधान (ब) सही उत्तर है।

$\tan ^{2}(\sec ^{-1} 2)+\cot ^{2}(cosec^{-1} 3)=\sec ^{2}(\sec ^{-1} 2)-1+cosec^{2}(cosec^{-1} 3)-1$

$=2^{2} \times 1+3^{2}-2=11$.

2.3 अभ्यास

संक्षेप में उत्तर (S.A.)

~~ 1. $\tan ^{-1}\left(\tan \frac{5 \pi}{6}\right)+\cos ^{-1}\left(\cos \frac{13 \pi}{6}\right)$ का मान ढूंढें।

~~ 2. $\cos \left[\cos ^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)+\frac{\pi}{6}\right]$ का मूल्यांकन करें।

~~ 3. सिद्ध कीजिए कि $\cot \left(\frac{\pi}{4}-2 \cot ^{-1} 3\right)=7$।

~~ 4. $\tan ^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\tan ^{-1}\left(\sin \left(\frac{-\pi}{2}\right)\right)$ का मान ढूंढें।

~~ 5. $\tan ^{-1}\left(\tan \frac{2 \pi}{3}\right)$ का मान ढूंढें।

~~ 6. $2 \tan ^{-1}(-3)=\frac{-\pi}{2}+\tan ^{-1}\left(\frac{-4}{3}\right)$ का सिद्धांत दिखाएं।

~~ 7. समीकरण के वास्तविक समाधान ढूंढें

$\tan ^{-1} \sqrt{x(x+1)}+\sin ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}=\frac{\pi}{2} .$

~~ 8. अभिव्यक्ति का मूल्य ढूंढें $\sin \left(2 \tan ^{-1} \frac{1}{3}\right)+\cos \left(\tan ^{-1} 2 \sqrt{2}\right)$ का।

~~ 9. यदि $2 \tan ^{-1}(\cos \theta)=\tan ^{-1}(2 \operatorname{cosec} \theta)$ है, तो दिखाएं कि $\theta=\frac{\pi}{4}$, जहां $n$ कोई भी पूर्णांक है।

~~ 10. दिखाएं कि $\cos \left(2 \tan ^{-1} \frac{1}{7}\right)=\sin \left(4 \tan ^{-1} \frac{1}{3}\right)$।

~~ 11. निम्नलिखित समीकरण का समाधान करें $\cos \left(\tan ^{-1} x\right)=\sin \left(\cot ^{-1} \frac{3}{4}\right)$।

विस्तार में उत्तर (L.A.)

~~ 12. दिखाएं कि $\tan ^{-1} \Bigg ( \frac{\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}}{\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}}} \Bigg ) =\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} \cos ^{-1} x^{2}$

~~ 13. मान सरल रूप में ढूंढें $\cos ^{-1} \Bigg ( \frac{3}{5} \cos x+\frac{4}{5} \sin x \Bigg ) $, जहां $x \in \Bigg [ \frac{-3 \pi}{4}, \frac{\pi}{4} \Bigg ] $ है।

~~ 14. दिखाएं कि $\sin ^{-1} \frac{8}{17}+\sin ^{-1} \frac{3}{5}=\sin ^{-1} \frac{77}{85}$ है।

~~ 15. दिखाएं कि $\sin ^{-1} \frac{5}{13}+\cos ^{-1} \frac{3}{5}=\tan ^{-1} \frac{63}{16}$ है।

~~ 16. दिखाएं कि $\tan ^{-1} \frac{1}{4}+\tan ^{-1} \frac{2}{9}=\sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}}$ है।

~~ 17. $4 \tan ^{-1} \frac{1}{5}-\tan ^{-1} \frac{1}{239}$ का मान ढूंढें।

~~ 18. दिखाएं कि $\tan \left(\frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{3}{4}\right)=\frac{4-\sqrt{7}}{3}$ और स्पष्टिकरण दें कि दूसरा मान $\frac{4+\sqrt{7}}{3}$ को नजरअंदाज क्यों किया जाता है।

19. यदि $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ एक अंकगणितीय प्रगति है जिसकी सामान्य विभिन्नता $d$ है, तो निम्नलिखित समीकरण का मूल्यांकन करें।

$ \tan \left[\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_1 a_2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_2 a_3}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_3 a_4}\right)+\ldots+\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_{n-1} a_n}\right)\right] . $

उद्देश्य प्रकार के प्रश्न

20 से 37 तक के प्रश्नों में से दिए गए चार विकल्पों में से सही उत्तर का चयन करें (एम.सी.क्यू.).

~~ 20. कौन सा निम्नलिखित कोस तिर्यक का मुख्य मूल्य शाखा है? $\cos ^{-1} x$ ?

(A) $ \Bigg [\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \Bigg ] $

(B) $ \quad(0, \pi ) $

(C) $[0, \pi]$

(D) $\quad(0, \pi)- \lbrace \frac{\pi}{2} \rbrace $

~~ 21. कौन सा निम्नलिखित अवस्थान $ cosec ^{-1} x$ का मुख्य मूल्य शाखा है?

(A) $ \Bigg (\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \Bigg)$

(B) $[0, \pi]- \lbrace \frac{\pi}{2} \rbrace $

(C) $ \Bigg [\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \Bigg ]$

(D) $ [ \frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ] $ - {0}

~~ 22. यदि $3 \tan ^{-1} x+\cot ^{-1} x=\pi$, तो $x$ का मान क्या होगा?

(A) 0

(B) 1

(C) -1

(D) $\frac{1}{2}$.

~~ 23. $\sin ^{-1}\left(\cos \left(\frac{33 \pi}{5}\right)\right)$ का मान है

(A) $\frac{3 \pi}{5}$

(B) $\frac{-7 \pi}{5}$

(C) $\frac{\pi}{10}$

(D) $\frac{-\pi}{10}$

~~ 24. भांज जगह $\cos ^{-1}(2 x-1)$ की डोमेन है

(A) $[0,1]$

(C) $(-1,1)$

(B) $[-1,1]$

(D) $[0, \pi]$

~~ 25. फ़ंक्शन $f(x)=\sin ^{-1} \sqrt{x-1}$ d्वारा परिभाषित करने की भांज है

(A) $[1,2]$

(C) $[0,1]$

(B) $[-1,1]$

(D) इनमें से कोई भी नहीं

~~ 26. यदि $\cos \Bigg ( \sin ^{-1} \frac{2}{5}+\cos ^{-1} x \Bigg ) =0$, तो $x$ के बराबर है

(A) $\frac{1}{5}$

(B) $\frac{2}{5}$

(C) 0

(D) 1

~~ 27. $\sin (2 \tan ^{-1}(.75))$ का मान समान है

(A) $\cdot 75$

(B) 1.5

(C) $ 96$

(D) $ \sin 1 \cdot 5$

~~ 28. $\cos ^{-1} ( \cos \frac{3 \pi}{2} ) $ का मान समान है

(A) $\frac{\pi}{2}$

(B) $\frac{3 \pi}{2}$

(C) $\frac{5 \pi}{2}$

(D) $\frac{7 \pi}{2}$

~~ 29. अभिव्यक्ति $2 \sec ^{-1} 2+\sin ^{-1} (\frac{1}{2})$ का मान है

(A) $\frac{\pi}{6}$

(B) $\frac{5 \pi}{6}$

(C) $\frac{7 \pi}{6}$

(D) 1

~~ 30. यदि $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y=\frac{4 \pi}{5}$, तो $\cot ^{-1} x+\cot ^{-1} y$ के बराबर होंगे

(A) $\frac{\pi}{5}$

(B) $\frac{2 \pi}{5}$

(C) $\frac{3 \pi}{5}$

(D) $\pi$

~~ 31. यदि $\sin ^{-1}\left(\frac{2 a}{1+a^2}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{1-a^2}{1+a^2}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)$, जहाँ $\left.a, x \in\right] 0$, 1, तो $x$ का मान है

(A) 0

(B) $\frac{a}{2}$

(C) $a$

(D) $\frac{2 a}{1-a^2}$

~~ 32. cot $\left[\cos ^{-1}\left(\frac{7}{25}\right)\right]$ का मान है

(A) $\frac{25}{24}$

(B) $\frac{25}{7}$

(C) $\frac{24}{25}$

(D) $\frac{7}{24}$

~~ 33. अभिव्यक्ति $\tan \left(\frac{1}{2} \cos ^{-1} \frac{2}{\sqrt{5}}\right)$ का मान है

(A) $2+\sqrt{5}$

(B) $\sqrt{5}-2$

(C) $\frac{\sqrt{5}+2}{2}$

(D) $5+\sqrt{2}$

विषय: $\left[\right.$ संकेत $\left.: \tan \frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}\right]$

~~ 34. यदि $|x| \leq 1$ हो, तब $2 \tan ^{-1} x+\sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)$ का मान क्या होगा

(A) $4 \tan ^{-1} x$

(B) 0

(C) $\frac{\pi}{2}$

(D) $\pi$

~~ 35. यदि $\cos ^{-1} \alpha+\cos ^{-1} \beta+\cos ^{-1} \gamma=3 \pi$ हो, तो $\alpha(\beta+\gamma)+\beta(\gamma+\alpha)+\gamma(\alpha+\beta)$ का मान क्या होगा

(A) 0

(B) 1

(C) 6

(D) 12

~~ 36. वक्रीकरण $\sqrt{1+\cos 2 x}=\sqrt{2} \cos ^{-1}(\cos x)$ की $x$ में वास्तविक समाधानों की संख्या $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ में कितनी होगी

(A) 0

(B)

(C) 2

(D) अनंत

~~ 37. यदि $\cos ^{-1} x>\sin ^{-1} x$ हो, तो

(A) $\frac{1}{\sqrt{2}}<x \leq 1$

(B) $\quad 0 \leq x<\frac{1}{\sqrt{2}}$

(C) $-1 \leq x<\frac{1}{\sqrt{2}}$

(D) $x>0$

प्रत्येक अभ्यास के 38 से 48 में रिक्त स्थान भरें प्रत्येक अभ्यास के 38 से 48 में रिक्त स्थान भरें।

~~ 38. मूल मान $\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$ का मुख्य मान है_________________

~~ 39. मान $\sin ^{-1}\left(\sin \frac{3 \pi}{5}\right)$ है_________________

~~ 40. यदि $\cos \left(\tan ^{-1} x+\cot ^{-1} \sqrt{3}\right)=0$ हो, तो $x$ का मान होगा_________________

~~ 41. निर्धारित मान $\sec ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ का सेट है_________________

~~ 42. मूल मान $\tan ^{-1} \sqrt{3}$ है________________

~~ 43. मान $\cos ^{-1}\left(\cos \frac{14 \pi}{3}\right)$ है_________________

~~ 44. व्यक्तिगत $\cos \left(\sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x\right),|x| \leq 1$ का मान है_________________

~~ 45. अभिव्यक्ति $\tan \left(\frac{\sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x}{2}\right)$ का मान होगा, जब $x-\frac{\sqrt{3}}{2}$ होगा_________________

~~ 46. यदि $y=2 \tan ^{-1} x+\sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)$ तब________________ $<y<$ ________________

~~ 47. परिणाम $\tan ^{-1} x-\tan ^{-1} y=\tan ^{-1}\left(\frac{x-y}{1+x y}\right)$ तब सत्य होता है जब $x y$ किसी मान होगा_________________

~~ 48. $x \in \mathbf{R}$ के लिए कोट^(-1)(-x) का मान $\cot ^{-1} x$ के समान होगा________________

वाक्य सही या गलत है प्रत्येक अभ्यास 49 से 55 में ح [%].

~~ 49. सभी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का उल्टा उनके संबंधित डोमेन में संयोज्य होता है।

50. अभिव्यक्ति $\left(\cos ^{-1} x\right)^2$ का मान $\sec ^2 x$ के समान होता है।

51. त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का डोमेन उनकी आपसी पेड़ (वास्तविक मूल्य नहीं आवश्यक) में संकेंद्रित किया जा सकता है ताकि उनके उल्टा फ़ंक्शन प्राप्त करने के लिए।

52. एक्सयुप्त त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का सबसे छोटा न्यूमेरिक मान, सकारात्मक या नकारात्मक, कोण $\theta$ को मुख्य मूल्य कहलाता है।

53. उल्टा त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का चित्र उनके संबंधित त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के चित्र से प्राप्त किया जा सकता है, $x$ और $y$ ढांचें बदलकर।

54. पर्याप्त मान $n$ का सबसे छोटा मूल्य, सकारात्मक या नकारात्मक, जब $\tan ^{-1} \frac{n}{\pi}>\frac{\pi}{4}, n \in \mathrm{N}$, सत्य होता है।

55. विशेष दिए गए $n$ के लिए $\cos ^{-1} n=\frac{\pi}{2}$ है।

55. $\sin^{-1}\left[\cos\left(\sin^{-1}\frac{1}{2}\right)\right]$ का मुख्य मान $\frac{\pi}{3}$ है।

समाधान

~~ 1. 0

~~ 2. -1

~~ 3. $\frac{-\pi}{12}$

~~ 4. $-\frac{\pi}{3}$

~~ 5. $0,-1$

~~ 6. $\frac{14}{15}$

~~ 7. $\frac{-3}{4}, \frac{3}{4}$