SATHEE: Work Power and Energy 1 Question 6

Work Power and Energy 1 Question 6

7. A force $F = - k (y \hat{i} + x \hat{j})$ (where, $k$ is a positive constant) acts on a particle moving in the $x - y$ plane. Starting from the origin, the particle is taken along the positive $X$ -axis to the point $(a, 0)$ and then parallel to the $Y$ -axis to the point $(a, a)$ . The total work done by the force $F$ on the particle is

(a) $- 2 k a^{2}$

(b) $2 k a^{2}$

(c) $- k a^{2}$

(d) $k a^{2}$

(1998, 2M)

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Answer:

Correct Answer: 7. (c)

Solution:

$d W = F \cdot d s$ , where $d s = d x \hat{i} + d y \hat{j} + d z \hat{k}$

$\begin{aligned} and & F & = - k (y \hat{i} + x \hat{j}) \\ ∴ & d W & = - k (y d x + x d y) \\ = - k d (x y) \\ W & = \int_{0, 0}^{a, a} d W = - k \int_{0, 0}^{a, a} d (x y) = - k [x y]_{0, 0}^{a, a} \\ W & = - k a^{2} \end{aligned}$

Alternate Answer

While moving from $(0, 0)$ to $(a, 0)$ along positive $X$ -axis,

$y = 0 ∴ F = - k x \hat{j}$ i.e. force is in negative $y$ -direction while the displacement is in positive $x$ -direction. Therefore, $W_{1} = 0$ (Force $⊥$ displacement). Then, it moves from $(a, 0)$ to $(a, a)$ along a line parallel to $Y$ -axis $(x = + a)$ . During this $F = - k (y \hat{i} + a \hat{j})$

The first component of force, $- k y \hat{i}$ will not contribute any work, because this component is along negative $x$ -direction $(- \hat{i})$ while displacement is in positive $y$ -direction $(a, 0)$ to $(a, a)$ .

The second component of force i.e. $- k a \hat{j}$ will perform negative work $\begin{aligned} F_{y} = - k a \hat{j} & s = a \hat{j} \end{aligned}, W_{2} = (- k a) (a) = - k a^{2}$

$∴ W = W_{1} + W_{2} = - k a^{2}$

NOTE In the given force, work done is path independent. It depends only on initial and final positions. Therefore, first method is brief and correct

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