SATHEE: Simple Harmonic Motion 3 Question 7

Simple Harmonic Motion 3 Question 7

7. One end of a long metallic wire of length $L$ is tied to the ceiling. The other end is tied to a massless spring of spring constant $k$ . A mass $m$ hangs freely from the free end of the spring. The area of cross-section and the Young’s modulus of the wire are $A$ and $Y$ respectively. If the mass is slightly pulled down and released, it will oscillate with a time period $T$ equal to

(1993, 2M)

(a) $2 π (m / k)^{1 / 2}$

(b) $2 π \sqrt{\frac{m (Y A + k L)}{Y A k}}$

(d) $2 π (m L / Y A)^{1 / 2}$

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Answer:

Correct Answer: 7. (b)

Solution:

$k_{e q} = \frac{k_{1} k_{2}}{k_{1} + k_{2}} = \frac{\frac{Y A}{L}}{\frac{Y A}{L} + k} = \frac{Y A k}{Y A + L k}$

$\begin{aligned} \begin{aligned} ∴ T & = 2 π \sqrt{\frac{m}{k_{e q}}} \\ = 2 π \sqrt{\frac{m (Y A + L k)}{Y A k}} \end{aligned} \end{aligned}$

NOTE Equivalent force constant for a wire is given by $k = \frac{Y A}{L}$ . Because in case of a wire, $F = \frac{Y A}{L} Δ L$ and in case of spring , $F = k . Δ x$ . Comparing these two, we find $k$ of wire $= \frac{Y A}{L}$ .

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