SATHEE: Rotation 2 Question 16

Rotation 2 Question 16

16. The distance $r$ of the block at time $t$ is

(a) $\frac{R}{2} \cos 2 ω t$

(b) $\frac{R}{2} \cos ω t$

(c) $\frac{R}{4} (e^{ω t} + e^{- ω t})$

(d) $\frac{R}{4} (e^{2 ω t} + e^{- 2 ω t})$

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Answer:

Correct Answer: 16. (c)

Solution:

Force on block along slot $= m ω^{2} r = m a = m \frac{v d v}{d r}$

$\begin{aligned} \int_{0}^{y} v d v = \int_{R / 2}^{r} ω^{2} r d r \Rightarrow \frac{v^{2}}{2} = \frac{ω^{2}}{2} r^{2} - \frac{R^{2}}{4} \\ \Rightarrow v = ω \sqrt{r^{2} - \frac{R^{2}}{4}} = \frac{d r}{d t} \Rightarrow \int_{R / 4} \frac{d r}{\sqrt{r^{2} - \frac{R^{2}}{4}}} = \int_{0}^{t} ω d t \\ \ln \frac{r + \sqrt{r^{2} - \frac{R^{2}}{4}}}{\frac{R}{2}} - \ln \frac{R / 2 + \sqrt{\frac{R^{2}}{4} - \frac{R^{2}}{4}}}{\frac{R}{4}} = ω t \\ \Rightarrow r + \sqrt{r^{2} - \frac{R^{2}}{4}} = \frac{R}{2} e^{ω t} \\ \Rightarrow r^{2} - \frac{R^{2}}{4} = \frac{R^{2}}{4} e^{2 ω t} + r^{2} - 2 r \frac{R}{2} e^{ω t} \\ \Rightarrow r = \frac{\frac{R^{2}}{4} e^{2 ω t} + \frac{R^{2}}{4}}{R e^{ω t}} = \frac{R}{4} (e^{ω t} + e^{- ω t}) \end{aligned}$

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