SATHEE: Properties of Matter 4 Question 17

Properties of Matter 4 Question 17

19. When the gas bubble is at a height $y$ from the bottom, its temperature is

(a) $T_{0} {(\frac{p_{0} + ρ_{l} g H}{p_{0} + ρ_{l} g y})}^{2 / 5}$

(b) $T_{0} {(\frac{p_{0} + ρ_{l} g (H - y)}{p_{0} + ρ_{l} g H})}^{2 / 5}$

(c) $T_{0} {(\frac{p_{0} + ρ_{l} g H}{p_{0} + ρ_{l} g y})}^{3 / 5}$

(d) $T_{0} {(\frac{p_{0} + ρ_{l} g (H - y)}{p_{0} + ρ_{l} g H})}^{3 / 5}$

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Answer:

Correct Answer: 19. $\frac{1}{720} N - s / m^{2}$

Solution:

When the tube is not there,

$\begin{aligned} p + p_{0} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g H = \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + p_{0} \\ ∴ p + ρ g H = \frac{1}{2} ρ (v_{2}^{2} - v_{1}^{2}) \\ A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2} \\ v_{1} = \frac{A_{2} v_{2}}{A_{1}} \\ ∴ p + ρ g H = \frac{1}{2} \times ρ [v_{2}^{2} - {(\frac{A_{2}}{A_{1}} v_{2})}^{2}] \\ = \frac{1}{2} \times ρ \times v_{2}^{2} [1 - {(\frac{π (0.3)^{2}}{π (0.9)^{2}})}^{2}] \\ = \frac{1}{2} \times ρ \times (10)^{2} [1 - \frac{1}{81}] \\ = \frac{4 \times 10^{3} ρ}{81} \\ = \frac{4 \times 10^{3} \times 900}{81} \\ = \frac{4}{9} \times 10^{5} N / m^{2} \end{aligned}$

This is also the excess pressure $Δ p$ .

By Poiseuille’s equation, the rate of flow of liquid in the capillary tube

$Q = \frac{π (Δ p) a^{4}}{8 η l}$

$\begin{aligned} ∴ & 8 \times 10^{- 6} & = \frac{(π a^{2}) (Δ p)}{8 η} (\frac{a^{2}}{l}) \\ ∴ η & = \frac{(π a^{2}) (Δ p) (\frac{a^{2}}{l})}{8 \times 8 \times 10^{- 6}} \end{aligned}$

Substituting the values, we have

$\begin{aligned} η & = \frac{(10^{- 6}) (\frac{4}{9} \times 10^{5}) (2 \times 10^{- 6})}{8 \times 8 \times 10^{- 6}} \\ = \frac{1}{720} N - s / m^{2} \end{aligned}$

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