SATHEE: Optics 2 Question 29

Optics 2 Question 29

28. Light is incident at an angle $α$ on one planar end of a transparent cylindrical rod of refractive index $n$ . Determine the least value of $n$ so that the light entering the rod does not emerge from the curved surface of the rod irrespective of the value of $α$ .

$(1992, 8$ M)

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Answer:

Correct Answer: 28. $\sqrt{2}$

Solution:

$\sin θ_{c} = \frac{1}{n} (θ_{c} =$ critical angle $)$

$\begin{aligned} r^{'} & = 90^{\circ} - r \Rightarrow {(r^{'})}_{min} = 90^{\circ} - (r)_{max} \\ and n & = \frac{\sin (i)_{max}}{\sin (r)_{max}} = \frac{\sin 90^{\circ}}{\sin (r)_{max}} (∵ i_{max} = 90^{\circ}) \end{aligned}$

Then, $\sin (r)_{max} = \frac{1}{n} = \sin θ_{c}$

$(r)_{max} = θ_{c} or {(r^{'})}_{min} = (90^{\circ} - θ_{c})$

Now, if minimum value of $r^{'}$ i.e. $90^{\circ} - θ_{c}$ is greater than $θ_{c}$ , then obviously all values of $r^{'}$ will be greater than $θ_{c}$ i.e., total internal reflection will take place at face $A B$ in all conditions. Therefore, the necessary condition is

${(r^{'})}_{min} \geq θ_{c}$

$\begin{aligned} (90^{\circ} - θ_{c}) \geq θ_{c} \\ \sin (90^{\circ} - θ_{c}) \geq \sin θ_{c} \\ \cos θ_{c} \geq \sin θ_{c} \\ \cot θ_{c} \geq 1 \\ \sqrt{n^{2} - 1} \geq 1 \\ n^{2} \geq 2 \\ n \geq \sqrt{2} \end{aligned}$

Therefore, minimum value of $n$ is $\sqrt{2}$ .

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