SATHEE: Modern Physics 1 Question 10

Modern Physics 1 Question 10

7. A particle of mass $m$ moves in a circular orbit in a central potential field $U (r) = \frac{1}{2} k r^{2}$ . If Bohr’s quantization conditions are applied, radii of possible orbitals and energy levels vary with quantum number $n$ as

(Main 2019, 12 Jan I)

(a) $r_{n} \propto n, E_{n} \propto n$

(b) $r_{n} \propto n^{2}, E_{n} \propto \frac{1}{n^{2}}$

(c) $r_{n} \propto \sqrt{n}, E_{n} \propto n$

(d) $r_{n} \propto \sqrt{n}, E_{n} \propto \frac{1}{n}$

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Solution:

As, for conservative fields $F = - \frac{d U}{d r}$

$∴$ Magnitude of force on particle is

$\begin{array}{ll} \Rightarrow & F = \frac{d U}{d r} = \frac{d}{d r} \frac{1}{2} k r^{2} \\ \Rightarrow & F = k r \end{array}$

This force is acting like centripetal force.

$∴ \frac{m v^{2}}{r} = k r$

So, for $n^{th}$ orbit,

$\begin{aligned} \Rightarrow m^{2} v_{n}^{2} = m k r_{n}^{2} \\ \Rightarrow \frac{n^{2} h^{2}}{4 π^{2} r^{2}} = m k r_{n}^{2} ∵ v_{n} = \frac{n h}{2 π m r} \\ Therefore, r_{n}^{4} \propto n^{2} \\ \Rightarrow r_{n}^{2} \propto n \\ So, r_{n} \propto \sqrt{n} \end{aligned}$

Energy of particle is

$\begin{aligned} E_{n} = P E + K E & = \frac{1}{2} k r_{n}^{2} + \frac{1}{2} m v_{n}^{2} \\ = \frac{1}{2} k r_{n}^{2} + \frac{1}{2} k r_{n}^{2} [using Eq. (i)] \\ = k r_{n}^{2} \end{aligned}$

So, energy, $E_{n} \propto r_{n}^{2}$

$\Rightarrow E_{n} \propto n$

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