SATHEE: Kinematics 2 Question 3

Kinematics 2 Question 3

5. In a car race on a straight path, car $A$ takes a time $t$ less than car $B$ at the finish and passes finishing point with a speed ’ $v$ ’ more than that of car $B$ . Both the cars start from rest and travel with constant acceleration $a_{1}$ and $a_{2}$ respectively. Then ’ $v$ ’ is equal to

(2019 Main, 09 Jan II )

(a) $\frac{2 a_{1} a_{2}}{a_{1} + a_{2}} t$

(b) $\sqrt{2 a_{1} a_{2}} t$

(c) $\sqrt{a_{1} a_{2}} t$

(d) $\frac{a_{1} + a_{2}}{2} t$

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Answer:

Correct Answer: 5. (c)

Solution:

Let car $B$ takes time $(t_{0} + t)$ and car $A$ takes time $t_{0}$ to finish the race.

Then,

$\begin{aligned} Given, v_{A} - v_{B} = v = (a_{1} - a_{2}) t_{0} - a_{2} t \\ s_{B} = s_{A} = \frac{1}{2} a_{1} t_{0}^{2} = \frac{1}{2} a_{2} {(t_{0} + t)}^{2} \\ or \sqrt{a_{1}} t_{0} = \sqrt{a_{2}} (t_{0} + t) \\ or \sqrt{a_{1}} t_{0} = \sqrt{a_{2}} t_{0} + \sqrt{a_{2}} t \\ or (\sqrt{a_{1}} - \sqrt{a_{2}}) t_{0} = \sqrt{a_{2}} t \\ or t_{0} = \frac{\sqrt{a_{2}} \cdot t}{(\sqrt{a_{1}} - \sqrt{a_{2}})} \end{aligned}$

Substituting the value of $t_{0}$ from Eq. (ii) into Eq. (i), we get

$\begin{aligned} v & = (a_{1} - a_{2}) \frac{\sqrt{a_{2}} t}{\sqrt{a_{1}} - \sqrt{a_{2}}} - a_{2} t \\ = (\sqrt{a_{1}} - \sqrt{a_{2}}) (\sqrt{a_{1}} + \sqrt{a_{2}}) \cdot \frac{\sqrt{a_{2}} t}{(\sqrt{a_{1}} - \sqrt{a_{2}})} - a_{2} t \\ or v & = (\sqrt{a_{1}} + \sqrt{a_{2}}) \cdot \sqrt{a_{2}} t - a_{2} t \\ = \sqrt{a_{1} a_{2}} \cdot t + a_{2} t - a_{2} t \\ or v & = \sqrt{a_{1} \cdot a_{2}} t \end{aligned}$

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