SATHEE: Electromagnetic Induction and Alternating Current 7 Question 5

Electromagnetic Induction and Alternating Current 7 Question 5

####5. An $L - C - R$ circuit is equivalent to a damped pendulum. In an $L - C - R$ circuit, the capacitor is charged to $Q_{0}$ and then connected to the $L$ and $R$ as shown.

If a student plots graphs of the square of maximum charge $(Q_{Max}^{2})$ on the capacitor with time $(t)$ for two different values $L_{1}$ and $L_{2} (L_{1} > L_{2})$ of $L$ , then which of the following represents this graph correctly? (plots are schematic and not drawn to scale)

(2015 Main)

(a)

(b)

(c)

(d)

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Answer:

Correct Answer: 5. (d)

Solution:

At a general time $t$ , suppose charge on capacitor is $q$ and current in the circuit is $i$ , then applying Kirchhoff’s loop law, we have

Putting

$\frac{q}{c} - i R - L \frac{d i}{d t} = 0$

In the above equation, we have

$\frac{d^{2} q}{d t^{2}} + \frac{R}{L} \frac{d q}{d t} + \frac{q}{L C} = 0$

Comparing this equation with the standard differential equation of damped oscillation,

$\frac{d^{2} X}{d t^{2}} + \frac{b}{m} \frac{d X}{d t} + \frac{K}{m} X = 0$

Which has a general solution of amplitude, $A = A_{0} e^{\frac{- b t}{2 m}}$ The general solution of Eq. (i) will be

$Q_{max} = Q_{0} e^{\frac{- R t}{2 L}} or Q_{max}^{2} = Q_{0}^{2} e^{\frac{- R t}{L}}$

Hence, $Q_{max}^{2}$ versus time graph is exponentially decreasing graph. Lesser the value of self inductance, faster will be the damping.

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