SATHEE: Centre of Mass 4 Question 6

Centre of Mass 4 Question 6

7. Two point masses $m_{1}$ and $m_{2}$ are connected by a spring of natural length $l_{0}$ . The spring is compressed such that the two point masses touch each other and then they are fastened by a string. Then the system is moved with a velocity $v_{0}$ along positive $x$ -axis. When the system reaches the origin the string breaks

$(t = 0)$ . The position of the point mass $m_{1}$ is given by

$x_{1} = v_{0} t - A (1 - \cos ω t)$ where $A$ and $ω$ are constants.

Find the position of the second block as a function of time. Also, find the relation between $A$ and $l_{0}$ .

$(2003, 4$ M)

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Answer:

Correct Answer: 7. $x_{2} = v_{0} t + \frac{m_{1}}{m_{2}} A (1 - \cos ω t), l_{0} = \frac{m_{1}}{m_{2}} + 1 A$

Solution:

(a)

$v = 10 m / s$

$\begin{aligned} x_{1} = v_{0} t - A (1 - \cos ω t) \\ x_{C M} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}}{m_{1} + m_{2}} = v_{0} t \\ ∴ x_{2} = v_{0} t + \frac{m_{1}}{m_{2}} A (1 - \cos ω t) \\ a_{1} = \frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} = - ω^{2} A \cos ω t \end{aligned}$

The separation $x_{2} - x_{1}$ between the two blocks will be equal to $l_{0}$ when $a_{1} = 0$

or $\cos ω t = 0$

$\begin{aligned} x_{2} - x_{1} & = \frac{m_{1}}{m_{2}} A (1 - \cos ω t) + A (1 - \cos ω t) \\ or l_{0} & = \frac{m_{1}}{m_{2}} + 1 A (∵ \cos ω t = 0) \end{aligned}$

Thus, the relation between $l_{0}$ and $A$ is,

$l_{0} = \frac{m_{1}}{m_{2}} + 1 A$

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