SATHEE: Vectors 4 Question 4

Vectors 4 Question 4

4. Let $\vec{a}, \vec{b}$ and $\vec{c}$ be three non-zero vectors such that no two of them are collinear and $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \frac{1}{3} | \vec{b} | | \vec{c} | \vec{a}$ . If $θ$ is the angle between vectors $\vec{b}$ and $\vec{c}$ , then a value of $\sin θ$ is

(a) $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

(b) $\frac{- \sqrt{2}}{3}$

(c) $\frac{2}{3}$

(d) $\frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$

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Answer:

Correct Answer: 4. (a)

Solution:

Given,

$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \frac{1}{3} | \vec{b} | | \vec{c} | \vec{a}$

$\begin{array}{ll} \Rightarrow & - \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \frac{1}{3} | \vec{b} | | \vec{c} | \vec{a} \\ \Rightarrow & - (\vec{c} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{a} + (\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{b} = \frac{1}{3} | \vec{b} | | \vec{c} | \vec{a} \\ \Rightarrow & [\frac{1}{3} | \vec{b} | | \vec{c} | + (\vec{c} \cdot \vec{b})] a = (\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{b} \end{array}$

Since, $a$ and $b$ are not collinear.

$\begin{aligned} ∴ \vec{c} \cdot \vec{b} + \frac{1}{3} | \vec{b} | | \vec{c} | = 0 and \vec{c} \cdot \vec{a} = 0 \\ \Rightarrow | \vec{b} | | \vec{c} | \cos θ + \frac{1}{3} | \vec{b} | | \vec{c} | = 0 \Rightarrow | \vec{b} | | \vec{c} | (\cos θ + \frac{1}{3}) = 0 \\ \Rightarrow \cos θ + \frac{1}{3} = 0 [∵ | b | \neq 0, | c | \neq 0] \\ \Rightarrow \cos θ = - \frac{1}{3} \Rightarrow \sin θ = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \end{aligned}$

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