SATHEE: Vectors 4 Question 10

Vectors 4 Question 10

10. The vector(s) which is/are coplanar with vectors $\hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}$ and $\hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$ , are perpendicular to the vector $\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ is/are

(2011)

(a) $\hat{j} - \hat{k}$

(b) $- \hat{i} + \hat{j}$

(c) $\hat{i} - \hat{j}$

(d) $- \hat{j} + \hat{k}$

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Answer:

Correct Answer: 10. (a, d)

Solution:

Let $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}, \vec{b} = \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$ and $\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$

$∴$ A vector coplanar to $\vec{a}$ and $\vec{b}$ , and perpendicular to $\vec{c}$ $= λ (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = λ (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{v} - (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a}$

$\begin{aligned} = λ (1 + 1 + 4) (\hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}) - (1 + 2 + 1) (\hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}) \\ = λ 6 \hat{i} + 12 \hat{j} + 6 \hat{k} - 6 \hat{i} - 6 \hat{j} - 12 \hat{k} \\ = λ 6 \hat{j} - 6 \hat{k} = 6 λ \hat{j} - \hat{k} \end{aligned}$

For $λ = \frac{1}{6} \Rightarrow$ Option (a) is correct.

and for $λ = - \frac{1}{6} \Rightarrow$ Option (d) is correct.

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