SATHEE: Vectors 3 Question 17

Vectors 3 Question 17

17. For non-zero vectors $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} |, (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} |$ $= | \vec{a} | | \vec{b} | | \vec{c} |$ holds, if and only if

(1982, 2M)

(a) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0, \vec{b} \cdot \vec{c} = 0$

(b) $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0, \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$

(c) $\vec{c} \cdot \vec{a} = 0, \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

(d) $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$

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Answer:

Correct Answer: 17. (d)

Solution:

Given

$\begin{array}{r} ∣ \vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} | = | \vec{a} | | \vec{b} | \vec{c} ∣ \\ \Rightarrow | | \vec{a} | | \vec{b} | \sin θ \hat{n} \cdot \vec{c} | = | \vec{a} | | \vec{b} | \vec{c} | \end{array}$

$\Rightarrow | \vec{a} | | \vec{b} | | \vec{c} | | \sin θ \cdot \cos α | = | \vec{a} | | \vec{b} | | \vec{c} |$

$\begin{array}{ll} \Rightarrow & | \sin θ | \cdot | \cos α | = 1 \Rightarrow θ = \frac{π}{2} and α = 0 \\ ∴ & \vec{a} ⊥ \vec{b} and \vec{c} | \hat{n} \end{array}$

i.e. $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ and $\vec{c}$ perpendicular to both $\vec{a}$ and $\vec{b}$ .

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