SATHEE: Vectors 3 Question 12

Vectors 3 Question 12

12. If $\vec{a}, \vec{b}$ and $\vec{c}$ are three non-coplanar vectors, then $(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot [(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} + \vec{c})]$ equals

(1995, 2M)

(a) 0

(b) $[\vec{c} \vec{b} \vec{c}]$

(c) $2 \cdot [\vec{c} \vec{b} \vec{c}]$

(d) $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$

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Answer:

Correct Answer: 12. (d)

Solution:

$(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot [(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} + \vec{c})]$

$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot [\vec{a} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{a} + \vec{b} \times \vec{c}]$

$= \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) + \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{a}) + \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) +$ { $\vec{b} \cdot \vec{a} \times \vec{c}$

$+ \vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{a}) + \vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) + \vec{c} \cdot (\vec{b} \times \vec{a}) + \vec{c} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$

$= [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] + [\vec{b} \vec{a} \vec{c}] + [\vec{c} \vec{b} \vec{a}] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$

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