SATHEE: Vectors 2 Question 8

Vectors 2 Question 8

8. If $\vec{a}$ and $\vec{b}$ are vectors such that $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{29}$ and $\vec{a} \times (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) \times \vec{b}$ , then a possible value of $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (- 7 \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k})$ is

(2012)

(a) 0

(b) 3

(d) 8

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Answer:

Correct Answer: 8. (b)

Solution:

Plan If $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{a} \times \vec{c}$

$\begin{aligned} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} - \vec{a} \times \vec{c} = 0 \Rightarrow \vec{a} \times (\vec{b} - \vec{c}) = 0 \\ i.e. \vec{a} | (\vec{b} - \vec{c}) or \vec{b} - \vec{c} = λ \vec{a} \end{aligned}$

Here, $\vec{a} \times (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) \times \vec{b}$

$\Rightarrow \vec{a} \times (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) - (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) \times \vec{b} = 0$

$\Rightarrow (\vec{a} + \vec{b}) \times (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) = 0$

$\Rightarrow \vec{a} + \vec{b} = λ (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k})$

Since, $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{29}$

$\Rightarrow \pm λ \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$

$\Rightarrow λ = \pm 1$

$∴ \vec{a} + \vec{b} = \pm (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k})$

Now, $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (- 7 \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) = \pm (- 14 + 6 + 12) = \pm 4$

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8. If $\vec{a}$ and $\vec{b}$ are vectors such that $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{29}$ and $\vec{a} \times (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) \times \vec{b}$ , then a possible value of $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (- 7 \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k})$ is

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8. If a→ and b→ are vectors such that |a→+b→|=29 and a→×(2i^+3j^+4k^)=(2i^+3j^+4k^)×b→, then a possible value of (a→+b→)⋅(−7i^+2j^+3k^) is

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8. If $\vec{a}$ and $\vec{b}$ are vectors such that $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{29}$ and $\vec{a} \times (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) \times \vec{b}$ , then a possible value of $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (- 7 \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k})$ is