SATHEE: Vectors 2 Question 21

Vectors 2 Question 21

21. If $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ are four distinct vectors satisfying the conditions $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{d}$ and $\vec{a} \times \vec{c} = \vec{b} \times \vec{d}$ , then prove that $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{d} \neq \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{d}$ .

(2004, 2M)

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Solution:

Given, $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{d}$ and $\vec{a} \times \vec{c} = \vec{b} \times \vec{d}$

$\Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} - \vec{a} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{d} - \vec{b} \times \vec{d}$

$\begin{array}{lc} \Rightarrow & \vec{a} \times (\vec{b} - \vec{c}) = (\vec{c} - \vec{b}) \times \vec{d} \\ \Rightarrow & \vec{a} \times (\vec{b} - \vec{c}) - (\vec{c} - \vec{b}) \times \vec{d} = 0 \\ \Rightarrow & \vec{a} \times (\vec{b} - \vec{c}) - \vec{d} \times (\vec{b} - \vec{c}) = 0 \\ \Rightarrow & (\vec{a} - \vec{d}) \times (\vec{b} - \vec{c}) = 0 \Rightarrow (\vec{a} - \vec{d}) | (\vec{b} - \vec{c}) \\ ∴ & (\vec{a} - \vec{d}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) \neq 0 \\ \Rightarrow & \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{d} \cdot \vec{c} \neq \vec{d} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} \end{array}$

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