SATHEE: Trigonometrical Ratios and Identities 1 Question 7

Trigonometrical Ratios and Identities 1 Question 7

7. For any $θ \in \frac{π}{4}, \frac{π}{2}$ , the expression $3 (\sin θ - \cos θ)^{4} + 6 (\sin θ + \cos θ)^{2} + 4 \sin^{6} θ$ equals (2019 Main, 9 Jan I) (a) $13 - 4 \cos^{4} θ + 2 \sin^{2} θ \cos^{2} θ$

(b) $13 - 4 \cos^{2} θ + 6 \cos^{4} θ$

(d) $13 - 4 \cos^{6} θ$

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Answer:

Correct Answer: 7. $\frac{1}{8}$

(c)

Solution:

Given expression

$= 3 (\sin θ - \cos θ)^{4} + 6 (\sin θ + \cos θ)^{2} + 4 \sin^{6} θ$ $= 3 {((\sin θ - \cos θ)^{2})}^{2} + 6 (\sin θ + \cos θ)^{2} + 4 {(\sin^{2} θ)}^{3}$

$= 3 (1 - \sin 2 θ)^{2} + 6 (1 + \sin 2 θ) + 4 {(1 - \cos^{2} θ)}^{3}$

$[∵ 1 + \sin 2 θ = (\cos θ + \sin θ)^{2}$

and $1 - \sin 2 θ = (\cos θ - \sin θ)^{2}]$

$= 3 (1^{2} + \sin^{2} 2 θ - 2 \sin 2 θ) + 6 (1 + \sin 2 θ)$

$+ 4 (1 - \cos^{6} θ - 3 \cos^{2} θ + 3 \cos^{4} θ)$

$[∵ (a - b)^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b$

and $(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2}]$

$= 3 + 3 \sin^{2} 2 θ - 6 \sin 2 θ + 6 + 6 \sin 2 θ + 4$

$- 4 \cos^{6} θ - 12 \cos^{2} θ + 12 \cos^{4} θ$

$= 13 + 3 \sin^{2} 2 θ - 4 \cos^{6} θ - 12 \cos^{2} θ + 12 \cos^{4} θ$

$= 13 + 3 (2 \sin θ \cos θ)^{2} - 4 \cos^{6} θ - 12 \cos^{2} θ (1 - \cos^{2} θ)$

$= 13 + 12 \sin^{2} θ \cos^{2} θ - 4 \cos^{6} θ - 12 \cos^{2} θ \sin^{2} θ$

$= 13 - 4 \cos^{6} θ$

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Trigonometrical Ratios and Identities 1 Question 7

7. For any $θ \in \frac{π}{4}, \frac{π}{2}$ , the expression $3 (\sin θ - \cos θ)^{4} + 6 (\sin θ + \cos θ)^{2} + 4 \sin^{6} θ$ equals (2019 Main, 9 Jan I) (a) $13 - 4 \cos^{4} θ + 2 \sin^{2} θ \cos^{2} θ$

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7. For any θ∈π4,π2, the expression 3(sin⁡θ−cos⁡θ)4+6(sin⁡θ+cos⁡θ)2+4sin6⁡θ equals (2019 Main, 9 Jan I) (a) 13−4cos4⁡θ+2sin2⁡θcos2⁡θ

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7. For any $θ \in \frac{π}{4}, \frac{π}{2}$ , the expression $3 (\sin θ - \cos θ)^{4} + 6 (\sin θ + \cos θ)^{2} + 4 \sin^{6} θ$ equals (2019 Main, 9 Jan I) (a) $13 - 4 \cos^{4} θ + 2 \sin^{2} θ \cos^{2} θ$